四川省仁寿县铧强中学2025届高三数学12月月考试题理

PAGEPAGE11四川省仁寿县铧强中学2025届高三数学12月月考试题理选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1．已知集合，集合，则＝（）A． B． C． D．2.若，则（）A． B．0 C．1 D．23．记为等差数列的前项和，已知，则（）A．15 B．16 C．19 D．204．己知则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．5．已知非零向量满意，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．6．函数的图象大致为（）A．B．C． D．7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A.7πB.8πC.9π D.10π8．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（）A． B． C．2 D．410.设焦点、分别是椭圆左右焦点，若椭圆上存在异于顶点的一点P使得是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．11.已知函数，其中，其图象关于直线对称，对满意的，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）12.若函数，则函数的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.将一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.14.若实数满意约束条件，则的最小值是____.15.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点D，若F是AD的中点，则|FB|＝________．16.已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6个题，共70分）17.（本小题满分12分）已知是数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）设（1）求的单调增区间；（2）在锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求△ABC面积的最大值．19.（本小题满分12分）如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满意，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．（1）已知，为，上的动点，求证：；（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大独创”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场探讨人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为，市场占有率为（%），得结果如表年月2024.102024.112024.122024.12024.22024.3x123456y111316152021（1）视察数据看出，可用线性回来模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）；（2）求关于的线性回来方程，并预料该公司2024年4月份的市场占有率；（3）依据调研数据，公司确定再选购 一批单车扩大市场，现有选购 成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司确定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车运用寿命表如下车型报废年限1年2年3年4年总计甲款10304020100乙测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除选购 成本之外的其他成本，假设每辆单车的运用寿命都是整数年，且用频率估计每单车运用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．假如你是该公司的负责人，你会选择选购 哪款车型？参考数据： 参考公式：相关系数,回来方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，探讨函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.（二）选考题：22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满意，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）曲线上两点与点，求面积的最大值．23．【选修4-5不等式选讲】（本小题满分10分）

已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值．理科数学(参考答案)题号123456789101112答案CDBDAACBCAAB13.14.15.16.1.Ｃ：解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，（∁RA）∩B＝{x|x≥3}＝[3，+∞）．２.D解：因为，所以，所以，所以3.B设等差数列{an}的公差为d，由S5＝5，a6＝10，可得：5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解出即可得出。设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5，a6＝10，∴5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5，a1+5d＝10，解得：a1＝－5，d＝3，则a8＝－5+7×3＝16．４.D解：∵，∴1＜b＜a，又，∴c＜b＜a．故选：D．５..A解：因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选A．６.A解：函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以解除C,D,又因为当时，，当时，，所以解除B，故选：A.７.C由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥P－ABC，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，易知外接球的直径2R＝eq\r(22＋12＋22)＝3，故S球＝4πR2＝9π.８.Ｂ解：因为AB∥CD，即∠ECD为所求，连接ED，则三角形CDE为直角三角形，不妨设AB＝2a，则DE＝a，EC＝3a，则sin∠ECD＝＝，故选：B．９.C解：令，，，∴，点在直线上，则，即，∵，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．故选：C．１０.A【分析】设，因为是顶角为的等腰三角形，从而求出，再利用椭圆的定义即可求解.【详解】不妨设，且，则，由椭圆的定义可得，所以.故选：A１１.A解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满意|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再依据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，B解：函数，的零点即的根，设，则，先解方程的根t，再计算的解.时得；时得.如图所示，函数的图像，方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个.故选：B.二．填空题13.依据题意可得基本领件数总为个.点数和为5的基本领件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.14.－ln3解:由实数x，y满意约束条件作出可行域如图所示，联立，解得B（3,1），由目标函数z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值为＝，∴z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．故答案为﹣ln3．15.【分析】做出图像，依据焦准距为4，F是AD的中点，可求得AM的长度，利用抛物线定义，可得AF的长度，即可求出，在中，利用定义可得FB＝BN，即可求得答案.【详解】如图所示：过点A，B，F分别向准线引垂线，交准线于点M，N，E，由题意得FE＝2，且F是AD的中点，则EF为的中位线，所以AM＝4，则AF=DF＝4，所以，即,又由抛物线定义可得：FB＝BN，且BD＝2BN，所以3BF=DF=4，即，故答案为：16.解:由，可得，即.因为，所以问题可转化为恒成立，记，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，即实数的取值范围为.三、解答题（本大题共6个题，共70分）17．解：（1）因为，所以.相减得，2分所以，所以.又，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即的通项公式为.6分（2）由（1）可得.8分所以.12分18.解：（1）f（x）＝cos2x﹣2cos2（x+）+1＝cos2x﹣cos2（x+）＝cos2x﹣cos（2x+）＝cos2x﹣cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）， 3分 3分则由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． 3分 6分（2）若f（）＝1，则sin（2×+）＝sin（A+）＝1，∵A是锐角，∴A+＝，得A＝． 2分 8分∵a＝1，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，∴bc≤1，当且仅当b＝c时取等号， 2分 10分则三角形的面积S＝bcsinA≤＝，即三角形面积的最大值为． 2分 12分19.【详解】（1）证明：在图甲中，∵，∴，又∵，∴且，即在图乙中，，，又，故有平面，而平面，故有；（2）解：∵，，所以为二面角的平面角，则，在中，，，，由余弦定理，可知，满意，则有，由（1）知，平面，则，如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，取，所以直线与平面所成角满意．20.解：（1）由参考数据可得，接近1，∴y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回来模型进行拟合； 4分 4分（2）∵，，．，∴y关于x的线性回来方程为．2024年4月份代码x＝7，代入线性回来方程得，于是2024年4月份的市场占有率预报值为23%； 4分 8分（3）用频率估计概率，甲款单车的利润X的分布列为X﹣50005001000P0.10.30.40.2E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．乙款单车的利润Y的分布列为Y﹣3002007001200P0.150.40.350.1E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）．以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型． 4分 12分21.解：（1）因为a=12所以y=fx在区间0，（2）求导数可得，当a≥1时，fx≥0，函数当时，由fx>0可得，函数在上单调递增，在上单调递减；5分①当a≥1时，函数y=f∴fx≥f0②当时，函数在上单调递减，存在使得fx0综上可知实数的取值范围为，；7分（3）由（2）得当a=1时，不等式fx>1在即，，．9分即，，，，，将上述式子相加可得1原不等式得证12分若有其他解法，可酌情给分！（二）选考题：22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

解：（1）设的极坐标为（），的极坐标为（）．…1分

由题设知，．

由， ……3分

得，

所以的极坐标方程（），

因此的直角