2024-2025版高中数学第二章数列2.3.2等差数列习题课素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE等差数列习题课(20分钟35分)1.(2024·汉中检测)数列{an}的前n项的平均值是n+1,则这个数列的第18项是 ()A.13 B.33 C.36 D.37【解析】选C.由数列{an}的前n项的平均值是n+1,所以Sn=n(n+1)=n2+n,所以Sn-1=n(n-1)=n2-n,n≥2,所以an=Sn-Sn-1=2n,n≥2,所以这个数列的第18项是a18=2×18=36.【补偿训练】已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则过P(1,a1),Q(2,a2)两点的直线的斜率是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为Sn=n2+n,所以a1=S1=2,a2=S2-S1=6-2=4.所以过P,Q两点直线的斜率k=QUOTE=QUOTE=2.2.数列{an}的通项公式是an=QUOTE,若前n项和为10,则项数为 ()A.11 B.99 C.120 D.121【解析】选C.因为an=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以Sn=a1+a2+…+an=(QUOTE-1)+(QUOTE-QUOTE)+…+(QUOTE-QUOTE)=QUOTE-1,令QUOTE-1=10,得n=120.3.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2km,以后每分钟通过的路程增加2km,在达到离地面240km的高度时,火箭与飞船分别,则这一过程大约须要的时间是 ()A.10分钟 B.13分钟C.15分钟 D.20分钟【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的改变成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=QUOTE·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满意Sn=2n+2-3,则an=.

【解析】依据题意,数列{an}满意Sn=2n+2-3,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1,当n=1时有a1=S1=8-3=5,不符合an=2n+1,故an=QUOTE.答案:QUOTE5.(2024·大庆高一检测)已知在数列{an}中,若a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=.

【解析】由已知可以推断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63.因为a1<0,d>0,a21=0,a22>0,所以数列前30项的肯定值之和为S30-2S21=30×(-60)+QUOTE×3-2×QUOTE=765.答案:7656.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=QUOTE,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意知QUOTE解得a1=1,d=2.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE所以Tn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知公差不为0的等差数列{an}满意QUOTE=a1·a4,Sn为数列{an}的前n项和,则QUOTE的值为 ()A.-2 B.-3 C.2 D.3【解析】选C.因为公差d≠0的等差数列{an}满意QUOTE=a1·a4,所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),即a1=-4d,则QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.2.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于 ()A.200 B.-200 C.400 D.-400【解析】选B.由题意可得数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),所以a1=1,a2=-5,a3=9,a4=-13,…,a99=393,a100=-397.所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=-4×50=-200.3.(2024·大庆高一检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,依据年龄从大到小的依次依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 ()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤【解析】选B.用a1,a2,…,a8表示8个儿子依据年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,所以8a1+QUOTE×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.4.已知数列{an}:QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE,…,那么数列{bn}=QUOTE的前n项和Sn为 ()A.4QUOTE B.4QUOTEC.1-QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】选A.因为an=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以bn=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.所以Sn=41-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=4QUOTE.5.正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满意Sn·QUOTE-Sn-1·QUOTE=2QUOTE(n≥2),则a10= ()A.72 B.80 C.90 D.82【解析】选A.由Sn·QUOTE-Sn-1·QUOTE=2QUOTE(n≥2),两边同除以QUOTE,得QUOTE-QUOTE=2;而S1=a1=1,所以QUOTE=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=4n2-4n+1;再依据an=Sn-Sn-1,得an=8n-8,所以a10=8×10-8=72.【补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为 ()A.61 B.62 C.65 D.67【解析】选D.对n分状况探讨当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,所以an=QUOTE由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a10,所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.二、填空题(每小题5分,共15分)6.数列{an}的通项公式an=ncosQUOTE,其前n项和为Sn,则S2019等于.

【解析】由题意知,a1+a2+a3+a4=2,a5+a6+a7+a8=2,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2,k∈N,故S2019=504×2+a2017+a2018+a2019=1008+0-2018+0=-1010.答案:-10107.(2024·郑州高二检测)若数列{an}满意a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,则a2019=.

【解析】数列{an}满意a1=12,a1+2a2+3a3+…+nan=n2an,①当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)2an-1,②①-②得(n-1)2an-1=(n2-n)an,所以QUOTE=QUOTE,…,QUOTE=QUOTE,全部的式子相乘得QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE(n≥2),因为a1=QUOTE=12,即首项符合通项公式,故an=QUOTE,所以a2019=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知数列{an}满意a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=.

【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①当n≥2,n∈N*时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1),②①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N*).又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,所以an=3(n+1),n∈N*.答案:3(n+1)(n∈N*)8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于随意n>1,n∈N*,满意Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则S10=.

【解析】当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3=2(a1+a2+1),又a1=1,a2=2,解得a3=4.当n>1,n∈N*时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),两式相减得an+2+an=2an+1,故数列{an}从其次项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+2×9+QUOTE×2=91.答案:91三、解答题(每小题10分,共20分)9.数列{an}满意an=6-QUOTE(n∈N*,n≥2).(1)求证:数列QUOTE是等差数列.(2)若a1=6,求数列{lgan}的前999项的和S.【解析】(1)数列{an}满意,an=6-QUOTE(n∈N*,n≥2),所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以数列QUOTE是等差数列.(2)因为a1=6,所以QUOTE=QUOTE.由(1)知:QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE,所以lgan=lg3+lg(n+1)-lgn.所以数列{lgan}的前999项和S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999)=999lg3+lg1000=999lg3+3.10.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a3=QUOTE,求λ的值;(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为Sn=λan-1,所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.由a1=λa1-1,可知λ≠1,所以a1=QUOTE,a2=QUOTE,a3=QUOTE.因为a3=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则2a2=a1+a3,由(1)可得QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE,即QUOTE=0,明显不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*),则S21的值为.

【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=QUOTE+QUOTE=231.答案:2312.在如图所示的数表中,已知每行、每列中的数都构成等