2021年江苏省南通市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

江苏省南通市2021年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符

合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算1白，结果正确的是（）

A.3B.1C.-1D.-3

2.据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次.将1370000

用科学记数法表示为（）

A-0.137x107B-1.37x107C0.137x106D.1.37x106

3.下列计算正确的是（）

A336B336C2353

-a+a=a-a.a=a-（a）=a（ab）3:ab

4.以下调查中，适宜全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间B.调查某批次汽车的抗撞击能力

C.调查春节联欢晚会的收视率D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数

5.如图，根据三视图，这个立体图形名称是（）

主视图左视图

V

俯视图

A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥

6.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（）

A.24B.20C.10D.5

7.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长

几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长

多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（）

A.俨二y+4.5B.jy=x+4.5C.俨=y+4.5D.ry=x+4.5

=y+11-y=x+1tF=y-1[5y=x7

8.若关于x的不等式组［2x+3>12恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）

1x-a40

A.7<a<8B.7<a<8C.7<a<8D.7<a<8

9.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,DE±AB.CF±AB,垂足分别为E,F,且AE=EF=FB=5cm,DE=12cm■动

点P,。均以Icm/s速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD4CXB运动到点8停止，点。沿AB运动到点8停止,

设运动时间为t（s）,△APQ的面积为y（cm2），则>与/对应关系的图象大致是（）

10.平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线_七八〜相父于A,2两点，其中点A在用一象限.设M（m,2）

y二］K>々

为双曲线丫=乂k>2）上一点，直线\M，BM分别交V轴于C。两点，则0C4D的值为（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分.不需写

出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.分解因式：x2_8y2=

12,正五边形每个内角的度数是.

13.圆锥的母线长为2cm,底面圆的半径长为1cm,则该圆锥的侧面积为cm2.

14.下表中记录了一次试验中时间和温度数据.

时间/分钟0510152025

温度/℃102540557085

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃.

15.如图，一艘轮船位于灯塔尸的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达

位于灯塔P的北偏东45。方向上的8处，此时8处与灯塔尸的距离为海里(结果保留根号).

16.若犯〃是一元二次方程+3x_l=0的两个实数根，则小+n12n的值为

3mT

17.平面直角坐标系xOy中，已知点p(m,3n2-8)，且实数很，”满足m52+4=0，则点尸到原点。的距离的最小值

为___________

18.如图，在△ABC中，AC=BC.ZACB=90°,以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D过点C

作CE〃AB,交困于点E,连接BE,则生的值为

三、解答题(本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤)

19.(1)化简求值：(2x~l)2+(x+6)(x-2)'其中x=-A/3；

(2)解方程23

/丁=0

20.如图，利用标杆DE测量楼高，点A,D,8在同一直线上，DE±AC.BC±AC,垂足分别为E,C.若测得AE=1m.

DE=1.5m,CE=5m,楼高BC是多少？

B

21.某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查.在相同条件下，随机抽

取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分

的统计图表.

甲、乙两种西瓜得分表

序号1234567

甲种西瓜（分）75858688909696

乙种西瓜（分）80838790909294

甲、乙两种西瓜得分折线统计图

平均数中位数众数

甲种西瓜88a96

乙种西瓜8890b

（1）a=,b=i

（2）从方差的角度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；

（3

）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写出他们的理

由.

22.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球标号的和等于5的概率.

23.如图，AB为O0的直径，C为Q0上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为ZCAD=35。，

连接BC.

（1）求NB的度数；

（2）若AB=2,求品的长.

24.A,8两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

8超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300x0.9+（500-300）*0.7=410（元）；

去B超市的购物金额为：100+（500700）x0.8=420（元）.

（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于尤的函数解析式；

（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

25.如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A,。重合），点A关于直线BE对称点为点E连接CF,设

NABE二a•

（备用图）

（1）求NBCF的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点C作CG±AF,垂足为G,连接DG.判断DG与CF的位置关系，并说明理由；

（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90。得到△CBH,点E的对应点为点H连接BF,HF.当△BFH为等腰三角形

时，求sina的值.

26.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点（1,1）是

函数1》咱勺图象的”等值点”.

（1）分别判断函数V_X+2v-x2-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果

y一x乙,y-xK

不存在，说明理由；

（2）设函数3h的图象的“等值点”分别为点48,过点8作BC±X轴,垂足为c当△ABC

y-x〈x〉uj,y--K十D

的面积为3时，求b的值；

（3）若函数y=X2_2（X）m）的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2.当Wi,W2两部分组成的图象上

恰有2个“等值点”时，直接写出机的取值范围.

江苏省南通市2021年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符

合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.计算1_2,结果正确的是（）

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】C

【分析】原式利用有理数的减法法则计算即可得到结果.

【详解】解：1-2=-（2-1）=-1,

故选：C.

【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键.

2.据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次.将1370000

用科学记数法表示为（）

A776D6

-0.137xioB.1.37xio00137xio-1.37x10

【答案】D

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1W同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解:将1370000用科学记数法表示为：1.37X106.

故选：D.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为0X10"的形式，其中上同＜10,w为整数，表

示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.下列计算正确的是（）

336

A-a+a=aB.a3.a3=a6C,着）3=D.（ab）3=ab3

【答案】B

【分析】根据合并同类项、同底数累的乘法、累的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可.

【详解】解：Aa3+a3=2a3,选项计算错误，不符合题意；

B.a3,3,6,选项计算正确，符合题意；

C.Q2）3=a6,选项计算错误，不符合题意；

D.（ab）3=a3b3,选项计算错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数鬲的乘法、鬲的乘方、积的乘方的运算，熟

练掌握运算法则是解本题的关键.

4.以下调查中，适宜全面调查的是（）

A.了解全班同学每周体育锻炼的时间B.调查某批次汽车的抗撞击能力

C.调查春节联欢晚会的收视率D.鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数

【答案】A

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似

进行判断.

【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；

B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；

C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；

D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，

一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高

的调查，事关重大的调查往往选用普查.

5.如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）

V

俯视图

A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥

【答案】A

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.

故选：A.

【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能

力和综合能力.

6.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（）

A.24B.20C.10D.5

【答案】B

【分析】根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解.

【详解】解：如图所示：

:四边形ABCD是菱形，BD=8,AC=6,

AACXBD,OA=OC=3,OD=OB=4,

RtAAOD中，AD=-\/0A2+OD2=5,

，菱形ABCD的周长为：4X5=20,

故选B.

【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

7.《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长

几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长

多少尺？设木长尤尺，绳长y尺，可列方程组为（）

Afx=y+4.5B.fy=x+4.5C.fx=y+4.5D.fy=x+4.5

|=y+1［尹=x+l12X=丫-112y=xT

【答案】D

【分析】本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；木长=1绳长+1,据此可列方程组求解.

2

详解】解：设木长X尺，绳长y尺，

依题意得（y=x+4.5,

['=xT

故选：D.

【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解.

8.若关于x的不等式组[2x+3>12恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）

[x-a40

A.7<a<8B.7<a<8C.7<a<8D.7<a<8

【答案】C

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案.

【详解】解：解不等式2x+3>12,得：v>2，

X2

解不等式x-a40,得：x《a,

・・•不等式组只有3个整数解，即5,6.7,

••74av8,

故选：C

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组

整数解的个数得出关于a的不等式组.

9.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,DE±AB.CF±AB,垂足分别为E,F,且AE=EF=FB=5cm,DE=12cm•动

点尸，。均以lcm/s的速度同时从点A出发，其中点尸沿折线AD4CXB运动到点8停止，点。沿AB运动到点8停止,

设运动时间为t（s）,△APQ的面积为y（cm2），则>与I对应关系的图象大致是（）

【答案】D

【分析】分四段考虑，①点尸在上运动，②点尸在。C上运动，且点Q还未到端点尻③点尸在。C上运动,

且点。到达端点8,④点P在8c上运动，分别求出y与，的函数表达式，继而可得出函数图象.

【详解】解：在MADE中+DE?=13(皿)，

在中，BC=AyBp2+Cp2_13(cm),

AB=AE+EF+FB=15(cm),

①点尸在A。上运动，AP=t,AQ=t,即。4t413,

如图，过点尸作PGLAB于点G,

此时y=lA。xPG=22(。<t<13)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；

213X

②点尸在。。上运动，且点。还未到端点B,即13vtv15.

此时y=]A0xDE=6t(13<t<15),图象是一段线段；

2

③点尸在。C上运动，且点。到达端点8,即154t418,

④点尸在8C上运动，PB=31-t,即18<t431,

如图，过点P作于点”，

.口CFPH,贝1]PH=i2卬+、，

smB=记=用西(31-t)

此时y=2ABxPH=_901170(18<t<31),图象是一段线段；

213t13

综上，只有D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与f的函数关系式，

10.平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线k、吟相交于A,B两点,其中点A在第一象限.设M(m,2)

为双曲线y=E(k>2)上一点，直线AM,BM分别交y轴于c,。两点，则OC_OD的值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据直线y2x与双曲线=E（k>2）相交于4B两点，其中点A在第一象限求得、（返,/）

B（&!E-7久y再根据M（m,2）为双曲线y=%>2）上一点求得M,2）；根据点A与点M的坐标求得直线AM解

析式为2、颂T（24）、须，进而求得“2x^-kV^,根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为

y二+0c二出

2d+4（2T）也，进而求得“kdeg,最后计算oc~OD即可.

y=+7MTT0D二d+k

【详解】解：：直线y=2x与双曲线丫=%k>2）相交于4B两点,

...联立可得：（y=2x,

:点A在第一象限，

,,A^（A/aZ）,B（^P，-V2k）'

：M（m,2）为双曲线丫=%>2）上一点，

‘2=--

m

解得：k.

m=-

%忘2）,

设直线AM的解析式为y=kix+bl,

将点Aff,/）与点M（Q）代入解析式可得：卜演=k「学+b,

[2=ki-1+bi,

解得：（,

kl=声，

'2y/2k-ky/2k

[bl=g.

直线AM的解析式为2A/^Y2-V5k-kX^k.

y=+a

:直线AM与y轴交于C点，

xc=0•

2A75k-42%/2k-k\/2k2\^2k-^/2k.

yc=+g=g

qc3)

*-*k>2.

12A/5k-kV5kI2y/2k-k\/2k.

0C二I标.|二百.

设直线3M的解析式为y二k2X+b2，

将点B(车,V)与点心2)代入解析式可得=k"£)+b2,

'k

2=k2《+b2,

解得：("-2©+4

k2"再+k，

'2y/2k-ky/2k

悭二kk.

直线的解析式为_2匹.42dAg.

y-+kx+二+k

:直线与y轴交于。点，

•e•XD=0•

2%/2k+42A/5k-kV§k2%/2k-kV2k.

yD

=了.「0+x^k+k=+k

叩，kC

：k>2,

/.12V5k-kV§kIkV2k-2\^k.

0D二Ikk|二kk

.\nr八八_2d-k标k例

“ID-依f一#+k

(2\/2k-k%/2k)(\S+k)(kV2k-2%/2k)(-\/2k-k)

一(%/2kA)(%/2k+k)-(\/5k+k)(V5k-k)

_4k-2k2+2k\/^-lAy^2k2-4k-k\/^+2k\/^

2k-k2-2k-k2

_8kYk2

-2k42

_4(2一)

-2k-k2

=4.

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解,

正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键.

二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分.不需写

出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11.分解因式：x2_0y2=

【答案】(x-3y)(x+3y)-

【分析】根据平方差公式分解即可.

22

【详解】解-x-0y=(x-3y)(x+3y>

故答案为(x-3y)(x+3y)-

【点睛】本题考查了多项式因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键.

12.正五边形每个内角的度数是.

【答案】108°

【分析】先求出正”边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数.

【详解】解：•••正多边形的内角和为(n白)x180。，

二正五边形的内角和是(5~2)x180°=540°,

则每个内角的度数是540。+5=108°-

故答案为：io©

【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识.

13.圆锥的母线长为2cm,底面圆的半径长为1cm,则该圆锥的侧面积为cm2.

【答案】2勿

【分析】利用圆锥的底面半径为1,母线长为2,直接利用圆锥的侧面积公式求出即可.

【详解】解：依题意知母线长=2,底面半径41,

则由圆锥的侧面积公式得S=m7=?rxlx2=2兀.

故答案为：2万.

【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键.

14.下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.

时间/分钟0510152025

温度/℃102540557085

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃.

【答案】52

【分析】根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间f的式子表示此时的温度T

,利用一次函数的性质即可解决.

【详解】解：设时间为f分钟，此时的温度为T,

由表格中的数据可得，

每5分钟，升高15℃,故规律是每过1分钟，温度升高3℃,

函数关系式是7=3什10；

则第14分钟时，即占14时，T=3x14+10=52℃,

故答案为：52.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

15.如图，一艘轮船位于灯塔尸的南偏东60。方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达

位于灯塔尸的北偏东45。方向上的8处，此时3处与灯塔尸的距离为海里（结果保留根号）.

【答案】25\/6-

【分析】先作PCLAB于点C,然后利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：如图，作尸CUB于点C,

在RrZkAPC中，4尸=50海里，ZAPC=90°-60°=30°

•••AC=JAP=25海里，PC=A/5024>52=25代海里，

在放△PCB中，PC=25%/§海里，NBPC=90°-45°=45°

PC=BC=25-\/§海里，

,'-PB=V(25A/3)2+(25^/3)2=25小海里

故答案为：257@.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问

题，解决的方法就是作高线.

16.若机，〃是一元二次方程+3x-l=0的两个实数根，则亡*的值为

3mT

【答案】3

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到%2+3〃”1=0,则3机-1=-机2,根据根与系数的关系得出m+n=-3,再将

其代入整理后的代数式计算即可.

【详解】解：是一元二次方程/+3尤-1=0的根，

3m-l=-m2,

,：m,n是一元二次方程x2+3x-l=0的两个根，

m+n=-3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了根与系数关系：若XI,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a大0)的两根时，7?

a

C,也考查了一元二次方程的解.

X1X2=；

17.平面直角坐标系xOy中，已知点p(m,3n2-8)，且实数见〃满足mf2+4=o，则点「到原点。的距离的最小值

为.

【答案】Ww

10

【分析】由已知得到点尸的坐标为(m,3m+3),求得PO=.#+―(3m+3)2二+18m+9)利用一次函数

的性质求解即可.

【详解】解：:小一小+4二0，

**n2=m+41贝一9=3m+3，

・,•点尸的坐标为(m,3m+3)।

+(3m+3产二^/10m2+18m+9)

1->10>0,

•1-10m2+18m+9当m一竺=-2时，有最小值，

1,12010

且最小值为2，

10

的最小值为国3-710.

AjH)-io

故答案为：地.

10

【点睛】本题考查了点的坐标,二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键.

18.如图，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点过点C

作CE〃AB,交困于点E,连接3E,则皿的值为

【答案】亚.

【分析】连接AE,过作延长EC交于点尸，过E作EGL8C于点G,设AC=BC=a,求出AF=CF=«5,

二a

由勾股定理求出CE,再由勾股定理求出8E的长即可得到结论.

【详解】解：连接AE,过作延长EC交AF于点，过E作EGL8C于点G,如图,

设AC=BC=a,

'•*ZACB=90°

AB=A/AC2+BC2=■X^a，/CAB=ZCBA=45°

AE=\/5a，ZCAF=45°

'-'CE//AB

ZECB=ZCBA=45°

ZACB=90°

ZACF=45

•ZAFC=90°

AF=CF=1AC='a

设CE=无，则在K5

-^-a+x

在M△Af'E中，AF?+EF2=AE2

浮a)+浮a+x)=(y/2a)2

解得，小M(不符合题意，舍去)

xi=---aX2=---a

/中

CE=­g—a

ZECB=45°,ZEGC=90°

ZCEG=45°

•-CG=GE=%E考,亭a=与a

**BG=BC-CG=a^j^-a二

在RtABGE中，BG?+GE2二BE2

,\E=J(亭a)2+学a)2=3)a

CE__2_a_V2

BE-(V/3-l)a~~2

故答案为：亚.

2

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直

角三角形是解答此题的关键.

三、解答题(本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤)

19.(1)化简求值：(2x7)2+(x+6)(x-2)'其中、=-A/3;

(2)解方程23

有二二0

【答案】(1)原式=4；(2)x=9.

【分析】(1)先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为5x271，再将已知条件代入即可；

(2)根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可.

【详解】解:(1)(2x7)2+(x+6)(x0

=4X2^X+1+x2+4x72

=5x2-41

当x=f/5时，原式=5、：11=5%(^\/3)2-11=4；

(2)23_

彘X-0

去分母得：2X-3(X-3)=0,

解得：x=9,

经检验，x=9是原方程的解.

则原方程的解为：x=9.

【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程

要检验.

20.如图，利用标杆DE测量楼高，点A,D,8在同一直线上，DE±AC,BC±AC,垂足分别为E,C.若测得AE=1m,

DE=1.5m,CE=5m,楼高BC是多少？

【答案】楼高BC是9米.

【分析】先求出AC的长度，由DE〃BC,得到包="，即可求出BC的长度.

AC-BC

【详解】解：二lm>CE=5m.

•AC=6犯

*DE_LAC,BC_LAC,

・DE〃BC,

.AEDE,

AC-BC

,DE=1.5m,

.1_1.5,

6~BC

・BC=9；

•楼高BC是9米•

【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

21.某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查.在相同条件下，随机抽

取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分

的统计图表.

甲、乙两种西瓜得分表

序号1234567

甲种西瓜（分）75858688909696

乙种西瓜（分）80838790909294

甲、乙两种西瓜得分折线统计图

平均数中位数众数

甲种西瓜88a96

乙种西瓜8890b

（1）a=,b=i

（2）从方差的角度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写出他们

的理由.

【答案】（1）。=88,6=90；（2）乙；（3）见解析

【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；

（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；

（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案.

【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88,所以中位数是88,即。=88,

将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90,即6=90,

故答案为:a=88,6=90；

（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得Sz2<S甲2,

故答案为：乙；

（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些,

是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高.

【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前

提.

22.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球标号的和等于5的概率.

【答案】（1）1；⑵1.

24

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是5的情况，再利用概

率公式求解即可求得答案；

【详解】解：（1）:一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1,2,3,4,

随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：?_£；

4-2

故答案为：1.

2

（2）画树状图得：

共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4种；

两次取出小球标号的和等于5的概率为：%.

16-4

【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，AB为©0的直径，C为00上一点，弦AE的延长线与过点。的切线互相垂直，垂足为DZCAD=35。,

连接BC.

（1）求NB的度数；

（2）若AB=2,求兄的长.

【答案】（1）55°；（2）三7.

18

【分析】（1）连接0C,如图，利用切线的性质得到OCA.CD,则判断OC〃A£所以ND4C二NOCA,然后利用

N0C4=N0AC得到N0A5的度数，即可求解；

⑵利用⑴的结论先求得NAEO二ZEAO=70°,再平行线的性质求得NCOE=70。，然后利用弧长公式求解即

可.

【详解】解：（1）连接0c如图，

•・・C。是。。的切线，

・•・OCLCD,

U：AE.LCD,

：.OC//AE,

：.ZDAC=Z0CA,

•：OA=OC,ZCAD=35°,

：.ZOAC=ZOCA=ZCAD=35°,

TAB为。。的直径，

・•・ZACB=90°,

：.ZB=90°-ZOAC=55°；

(2)连接OEOC,如图,

由(1)ZEAO=ZOAC+ZCAD=70°,

U：OA=OE,

：.ZAEO二ZEAO二70°,

OC//AE,

：.ZCOE=ZAEO=70°,

：.AB=2,贝IJOOO石=1,

・,・日的长为比二业7%.

180-180~13

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.

24.A,5两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：

A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

8超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为：300x0.9+(500-300)x0.7=410(元)；

去8超市的购物金额为：100+(500.400)x0.8=420(元),

(1)设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于龙的函数解析式；

(2)促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

【答案】(1)A商场y关于x的函数解析式：_C0.9x(0<x<300)；B商场y关于x的函数解析式：

yA-I60+0.7x(x>300)

_fx(0<x<100)；

yB~120+0.8x(x>100)

(2)当200Vx<400时，去8超市更省钱；当x=400时，去42超市一样省钱；当x〉400时，去A超市更省钱.

【分析】(1)利用促销方式，分别写出A、8两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数；

(2)小刚一次购物的商品原价超过200元，则可以确定8的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数

值即可，注意分段讨论.

【详解】解：⑴A商场y关于尤的函数解析式：_f0.9x(0<x<300),即：

yA-10.9x300+0.7(x-300)(x>300)

_fO.9x(04x4300)；

yA-t60+0.7x(x>300)

8商场y关于x的函数解析式：_/x(0<x<100)，即：_fx(0<x<100)；

yB-1100+0.8(x700)(x〉100)yB~120+0.8x(x>100)

(2):小刚一次购物的商品原价超过200元

•••当200<x<300时，y.\-yB=0.9x-(20-0.8x)=0.1x40,

令y，\-yB=0,x=200,

所以，当200<x<300时，即yA-yB〉0,去8超市更省钱；

当X〉300时，yA-yB=(60+0.7x)—(20+0.8x)=40-0.lx.

令yA-yB=0，x=400.

所以，当x二400时)即yA-yB=0>此时去A、B超市一样省钱；

当300Vx<400时，8PyA_yB>0,去2超市更省钱;

当x〉400时，即yA-yB<0,去A超市更省钱；

综上所述，当200Vx<400时，去8超市更省钱；当x=400时，去A、8超市一样省钱；当x〉400时，去A超市更

省钱.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B商场根据

商品原价的取值范围分情况讨论.

25.如图，正方形ABCD中，点E在边AD上(不与端点人。重合)，点A关于直线BE的对称点为点£连接CF,设

(备用图)

(1)求NBCF的大小(用含a的式子表示)；

(2)过点C作CG±AF,垂足为G,连接DG.判断DG与CF的位置关系，并说明理由；

(3)将△ABE绕点8顺时针旋转90。得到△CBH,点E的对应点为点“，连接BF,HF.当△BFH为等腰三角形

时，求sina的值.

【答案】(1)45°+a

(2)DG//CF.理由见解析.

⑶让.

5

【分析】(1)作辅助线BE用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等.再用三角形内角和为180。算出NBCF.

(2)作辅助线8F、AC,先导角证明△CFG是等腰直角三角形、△ADC是等腰直角三角形.再证明

△ADMooAAGC、△DGCs*AFC,最后用内错角相等，两直线平行，证得DG〃CF.

(3)ABFII为等腰三角形，要分三种情况讨论：①“②8尸=口/③8尸=8”，根据题目具体条件，舍掉了②、③

种，第①种用正弦函数定义求出比值即可.

【详解】(DS：连接BF,设AF和8E相交于点N.

点A关于直线BE的对称点为点F

BE是AF的垂直平分线

BE±AF,AB=BF

NBAF=NBFA

ZABE=a

NBAF=90°-a-NBFA

ZEBF=180°-90°-（90°-a）=。