第12章 控制系统的稳定性

第12章控制系统的稳定性12.1概述12.2李雅普诺夫稳定性定义12.3李雅普诺夫稳定性理论12.4线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析12.5线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析

12.1概述

稳定性是控制系统能正常工作的前提条件,控制系统的稳定性通常有外部稳定性和内部稳定性两种。其中外部稳定性是指系统在零初始条件下通过其输入量、输出量所定义的外部稳定性,即有界输入有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。而内部稳定性是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性,即状态稳定。

内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在满足一定条件下两种定义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性,只和系统本身的结构和参数有关,与输入输出无关。在经典控制理论中,一般用劳斯赫尔维茨稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据研究系统的稳定性。而在现代控制理论中,李雅普诺夫(Lyapunov)稳定性分析是解决系统稳定性问题的一般方法。

12.2李雅普诺夫稳定性定义12.2.1平衡状态1.稳定性的定义图12-1(a)是一个单摆的例子。在静止状态下,小球处于A位置。若用外力使小球偏离A而到达A',就产生了位置偏差。去除外力后,小球从初始偏差位置A',经过若干次摆动后,最终回到A点,恢复到静止状态。图12-1(b)是处于山顶的一个足球。足球在静止状态下处于B位置。如果我们用外力使足球偏离B位置,足球不可能再自动回到B位置。对于单摆,我们说A位置是小球的稳定位置,而对于足球来说,B则是不稳定的位置。图12-1稳定位置和不稳定位置

由此看出,处于某平衡工作点的控制系统在扰动作用下会偏离其平衡状态,产生初始偏差。若扰动消失后,控制系统能由初始偏差回复并稳定到原平衡状态,则称系统是稳定的。若偏离平衡状态的偏差越来越大,系统就是不稳定的。

2.平衡状态的定义

设系统的状态方程为

总存在x=xe,对所有t,使得

则称xe为系统的平衡状态或平衡点。

当系统运动到xe点时,系统状态各分量将维持平衡,不再随时间变化。

如果系统是线性定常的,也就是说f(x,t)=Ax,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可有一个或多个平衡状态。

12.2.2范数的概念

1.范数

n维状态空间中,向量x的长度称为向量x的范数,用‖x‖表示,则图12-2球域S(ε)

2.向量的距离

由范数的定义可知,向量(x-xe)的范数可写成

通常又将‖x-xe‖称为x与xe的距离。当向量(x-xe)的范数限定在某一范围之内时,则记为

式(12-1)表示,在三维空间内以xe为球心,以ε为半径的一个球域,可记为S(ε),如图12-2所示。

12.2.3李雅普诺夫稳定性

系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时,经过“足够长”的时间以后,系统恢复到平衡状态的能力。其定义与工程上经典的定义不完全一致,在概念上有

一些区别。

图12-3稳定性示意图

2.渐近稳定性

如果平衡状态xe=0在李雅普诺夫意义下是稳定的,并且始于域S(δ)的任一条轨迹,当时间t趋于无穷时,都不脱离S(ε),且收敛于xe=0,则称系统的平衡状态xe=0为渐近稳定的,如图12-3(b)所示。其中球域S(δ)被称为平衡状态xe=0的吸引域。

实际上,渐近稳定性比稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念,所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性

的最大范围或吸引域,它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。

3.大范围渐近稳定性

对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性,则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。或者说,如果系统的平衡状态xe=0渐近稳定,吸引域为整个状态空间,则称此时系统的平衡状态xe=0为大范围渐近稳定。显然,大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。

在控制工程问题中,总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。

4.不稳定性

如果对于某个实数ε>0和任一个实数δ>0,不管这两个实数多么小,在S(δ)内总存在一个状态x0,使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(ε),那么平衡状态xe=0称为不稳定的,如图12-3(c)所示。

图12-3(a)、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。其中,域S(δ)制约着初始状态x0,而域S(ε)是起始于x0的轨迹的边界。

注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除非S(ε)对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。

此外,在图12-3(c)中,轨迹离开了S(ε),这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在S(ε)外的某个极限环(如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远;但在非线性系统中,这一结论并不一定正确)。

对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。

以不受外力的小球为例,在几种典型情况下,图12-4(a)就是通常说的随遇平衡,在李雅普诺夫意义下,任意点都是大范围稳定的;而图12-4(b)属于局部稳定;图12-4(c)的平衡点是稳定的,而且是大范围渐近稳定的;图12-4(d)为局部渐近稳定;图12-4(e)为局部不稳定,图12-4(f)为全局不稳定。图12-4平衡状态稳定性示意图

12.3李雅普诺夫稳定性理论

12.3.1李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来判断系统的稳定性,通常又称为间接法。它适用于线性定常系统和线性时变系统以及非线性系统可以线性化的情况。对于线性定常系统渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部。

例12-1线性定常系统

试分析系统的状态稳定性。

解由A阵的特征方程

可得,特征值为

所以,系统的状态不是渐近稳定的。

12.3.2李雅普诺夫第二法的二次型函数

建立在李雅普诺夫第二法基础上的稳定性分析中,有一类标量函数起着很重要的作用,即二次型函数。在给出李雅普诺夫第二法稳定性判据之前,先介绍一些有关的预备知识,然后再介绍李雅普诺夫第二法。

1.二次型

1)二次型函数的定义

在代数式中我们常见的一种多项式函数如下:

式中每项的次数都是二次的,这样的多项式称为二次齐次多项式或二次型。如果将变量个数扩展到n,仍具有相同的含义。

n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式为

称为二次型函数,即二次型。式中aij为二次型系数。

2)二次型函数的矩阵表达式

由二次型函数的定义,式(12-3)可写成

显然二次型v(x1,x2,…,xn)完全由矩阵A确定,且A的秩称为二次型的秩。

例12-2已知二次齐次多项式

试求二次型矩阵A。

解

所以二次型矩阵

2.二次型的定号性

1)标量函数的正定性

如果对所有在域Ω中的非零状态x≠0,有v(x)>0,且在x=0处有v(0)=0,则在域Ω(域Ω包含状态空间的原点)内的标量函数v(x)称为正定函数,即

2)标量函数的负定性

如果-v(x)是正定函数,则标量函数v(x)称为负定函数,即

3)标量函数的正半定

如果标量函数v(x)除了原点以及某些状态等于零外,在域Ω内的所有状态都是正定的,则v(x)称为正半定标量函数,即

4)标量函数的负半定

如果-v(x)是正半定函数,则标量函数v(x)称为负半定函数,即

5)标量函数的不定性

如果在域Ω内,不论域Ω多么小,v(x)既可为正值,也可为负值,标量函数v(x)称为不定的标量函数。

3.二次型标量函数定号性判别准则

二次型v(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。由于二次型函数v(x)和它的二次型矩阵A是一一对应的,这样,二次型函数定号性等价于二次型矩阵A的定号性。

1)正定

二次型函数v(x)为正定的充要条件是矩阵A的各阶首主子行列式均为正值,即

此时,称矩阵A是正定的,记为A>0。

2)负定

二次型函数v(x)为负定的充要条件是矩阵A的各阶首主子行列式满足

即

此时,称矩阵A是负定的,记为A<0。

3)正半定

二次型函数v(x)为正半定的充要条件是矩阵A的各阶首主子行列式满足

此时,称矩阵A是正半定的,记为A≥0。

4)负半定

二次型函数v(x)为负半定的充要条件是矩阵A的各阶首主子行列式满足

即

此时,称矩阵A是负半定的,记为A≤0。

例12-3试证明二次型

是正定的。

12.3.3李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第一法称为间接法,它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统,只需要解出特征方程的根即可作出稳定性判定。对于非线性

不是很严重的系统,则可以通过线性化处理,然后根据其特征根来判断系统的稳定性。

李雅普诺夫第二法又称为直接法,运用这种方法不需求出微分方程的解,也就是说,采用李雅普诺夫第二法,可以在不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难,所以这种方法显示出极大的优越性。

1.李雅普诺夫函数

由力学经典理论可知,对于一个振动系统,如果系统总能量(正定函数)连续减小,直到平衡状态时为止,则振动系统是稳定的。

更为普遍地,如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。李雅普诺夫第二法就是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量,并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统,如果系统的能量随系统的运动和时间的增长而连续地减小,一直到平衡状态为止,则系统的能量将减少到最小,那么这个系统是渐近稳定的。

2.李雅普诺夫第二法

1)一致渐近稳定

定理12-1考虑如下系统

式中

如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x,t),且满足以下条件:

则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。

进一步地,若‖x‖→∞,有v(x,t)→∞,则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

例12-4考虑如下系统

试确定其稳定性。

解由平衡点方程得

解得,原点(x1=0,x2=0)是唯一的平衡状态,即xe=0。

选取李雅普诺夫函数为二次型函数,即

又当‖x‖→∞时,有v(x)→∞,故平衡点xe=0是大范围渐近稳定的。

例12-5试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

解由平衡点方程得

可知xe=0是唯一的一个平衡状态。

选取

2)李雅普诺夫意义下的一致稳定

3)不稳定性

例12-7试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

解原点为系统的平衡状态。选二次型函数作为李雅普诺夫函数,即

利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性,关键是如何构造一个满足条件的李雅普诺夫函数,而李雅普诺夫第二法本身并没有提供构造李雅普诺夫函数的一般方法,尤其是对

复杂系统,构造李雅普诺夫函数需要有相当的经验和技巧。不过,对于线性系统和某些非线性系统,已经找到了一些可行的方法来构造李雅普诺夫函数。

12.4线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析

定理12-5考虑如下线性定常系统式中,x为n维状态向量;A为n×n常数系统矩阵,且是非奇异的。在平衡状态xe=0处,渐近稳定的充要条件是:对任意给定的一个正定对称实矩阵Q,存在一个正定对称实矩阵P,且满足矩阵方程

值得注意的是: