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第10章线性控制系统的运动分析10.1线性定常齐次系统状态方程的解10.2状态转移矩阵

10.1线性定常齐次系统状态方程的解

10.1.1标量微分方程的解设标量微分方程为

10.1.2齐次状态方程的解

标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当矩阵阶次n=1时的特例,因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性,由此得出如下结论:

n阶线性定常齐次状态方程

的解为

式中

10.2状态转移矩阵10.2.1状态转移矩阵的性质由式(105)和式(106)可以得到线性定常系统状态转移矩阵的几个重要性质:

10.2.2几个特殊的状态转移矩阵

当矩阵A为特殊矩阵时,其状态转移矩阵有固定形式,可以直接得到。

(1)若矩阵A为对角线标准型,即

则

(2)若矩阵A为一个m×m的约当块,即

则

(3)若矩阵A为一个约当矩阵,即

(4)若矩阵A通过非奇异变换矩阵P化为对角线矩阵,即

则

(5)若矩阵A为

则

10.2.3状态转移矩阵的一般求法

式(107)和式(108)中,齐次状态方程的解x(t)=eA(t-t0)x(t0)或x(t)=eAtx(0),所以状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵,即矩阵指数函数eAt。

1.直接计算法

由式(103)可知,矩阵指数函数eAt可以表示为状态转移矩阵的无穷项级数的和,即

根据式(1014)可以计算出状态转移矩阵。

2.拉氏变换法

对于n阶线性定常齐次状态方程

3.化矩阵A为标准型

根据前面介绍,当矩阵A通过非奇异变换矩阵P化为对角线标准型或约当标准型时,即

来计算矩阵指数eAt。

例102考虑如下矩阵A:

试用化矩阵A为对角线标准型法求矩阵指数eAt。

解由于A的特征值为0和-2,故可求得所需的变换矩阵P为

因此,由式(1018)可得

例103考虑如下矩阵A:

试求矩阵A的矩阵指数eAt。

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