6.4.1平面几何中的向量方法练习高一下学期数学人教A版

6.4.1平面几何中的向量方法一、基础巩固1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()A.梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,则FD·FE的值是(A.34 B.89 C.143.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(4,2),则该四边形的面积为()A.5 B.25 C.5 D.104.已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=()A.1 B.2 C.3 D.45.在四边形ABCD中,AB=CD,AC·BD=0,则四边形A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形6.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E,F分别为BC,CD的中点,则(AE+AF)·BD=7.正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,则cos∠DOE=.8.已知点A(1,2),B(0,2),且2|AD|=3|BD|,若点D在线段AB上,求点D的坐标.9.已知在正方形ABCD中,点E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.二、能力提升10.在△ABC中,D为BC边的中点,已知AB=a,AC=b,则下列向量中与AD同向的是()A.a+b|C.a-b|11.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=12BC,则A.52 B.52 C.5412.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则A.2 B.2 C.0 D.113.如图,设点P为△ABC内一点,且2PA+2PB+PC=0,则S△ABPA.15 B.25 C.1414.在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足|MN|=2,则BM·BN的取值范围为15.如图所示,若点D是△ABC内的一点,且AB2AC2=DB2DC2,求证:AD⊥BC.16.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值.三、拓展创新17.(多选题)已知P为△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若PA+3PB+2PC=0,则点P在△ABC的中位线上B.若PA+PB+PC=0,则PC.若AB·AC>0,则△D.若AP=13AB+23AC,则参考答案一、基础巩固1.答案:A解析:∵AB=(3,3),CD=(2,2),∴AB=32CD,∴AB又|AB|≠|CD|,∴该四边形为梯形.2.答案:B解析:因为FD=且OD=OE,所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE)3.答案:C解析:∵AC·BD=0,∴AC⊥∴四边形ABCD的面积S=12|AC||BD|=12×54.答案:A解析:建立平面直角坐标系,如图所示.设AD=t(t>0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),故AC=(1,t),BC=(1,t).由AC⊥BC,知AC·BC=1+t2解得t=1,故AD=1.5.答案:D解析:∵AB=CD,即AB=∴AB与DC平行且相等,∴四边形ABCD是平行四边形.又AC·BD=0,∴AC⊥BD,即∴四边形ABCD是菱形.6.答案:9解析:如图,以A为坐标原点,以AB,AD的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),C∵点E,F分别为BC,CD的中点,∴E2,12∴AE+AF=∴(AE+AF)·BD=3×(2)+32×17.答案:4解析:以OA,OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,由题意知,OD=(1,12),OE=(12,1故cos∠DOE=OD·即cos∠DOE的值为458.解:设D(x,y),由题意知,2|AD|=3|BD|,且点D在线段AB上,所以2AD=3DB,即2(x+1,y2)=3(x,2y).所以2x+2=故点D的坐标为-29.证明:建立平面直角坐标系如图所示,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)∵BE=(1,2),CF=(2,1),∴BE·CF=(1)×(2)+2×(1)∴BE⊥CF,即BE⊥(2)设点P坐标为(x,y),则FP=(x,y1),FC=(2,1),∵FP∥FC,∴x=2(y1),即x=2y2,同理,由BP∥BE,得y=2由x∴点P的坐标为65∴|AP|=652+852即AP=AB.二、能力提升10.答案:A解析:AD=12AB+12AC=111.答案:C解析:因为BD=12BC,所以点则AD=12所以AD·BD=12(AB+AC)·12(AC-AB)=14(|AC|2|12.答案:A解析:∵AF=∴AB·AF=AB·(AD+DF∴|DF|=1,|CF|=21,∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·CF+BE·BC=13.答案:A解析:设点D为AB的中点,连接PD(图略).∵PA+PB=2PD=12PC,∴∴点P为CD的五等分点,∴△ABP的面积为△ABC的面积的1514.答案:3解析:不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,分别以等腰直角三角形ABC的直角边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y2=0(0≤x≤2).设M(a,2a),N(a+1,1a)(0<a<1),所以BM=(a,2a),BN=(a+1,1a),所以BM·BN=a(a+1)+(2a)(1a)=2a22a+2=2又0<a<1,所以由二次函数的知识可得BM·15.证明:设AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2b2=(e+c)2(e+d)2=c2+2e·c2e·dd2,又已知a2b2=c2d2,所以e·c=e·d,即e·(cd)=0,得AD·CB所以AD⊥BC.16解:方法一:如图(1),(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是BC,AC边的中点,BC=4,AC=6.则CD=2,CE=3,所以|AD|=AC2+C|BE|=BC2AD·EB=(AC+CD)=AC·EC+AC·CB+CD·EC+CD·CB=设AD与EB的夹角为则cosθ=AD·故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为1310方法二:如图(2)所示,(2)以点C为坐标原点,CB,CA的方向分别为x轴、y其中点A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),则AD=(2,6),EB=(4,3),所以AD·EB=2×4+(6)×(3)|AD|=22+(-6|EB|=42+(-设AD与EB的夹角为则cosθ=AD·故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为1310三、拓展创新17.答案:ABD解析:对于A,设AB中点为D,BC中点为E,∵PA+3PB+2PC=0,∴PA+2(PB+PC),∴2PD=4PE,即PD=2EP,∴P,D,E三点共线,又DE为△ABC的中位线,∴点P在△ABC的中位线上,A正确;对于B,设AB中点为D,由PA+PB+PC