八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线教学课件（新版）沪科版

第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线（第1课时）温故知新什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB的平分线呢？ABO折纸法度量法尺规作图ABOAOEBCPD

将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.折一折作法：1、以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；2、分别以

为圆心，

大于

的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3、作射线

，

就是所求作∠AOB的平分线.点O任意M，NPOPOP尺规作图AＢNMP

Ｏ为什么OP是角平分线呢？BANMP

Ｏ已知：OM=ON，PM=PN.求证：OP平分∠AOB.证明：在△OMP和△ONP中，

OM=ON（已知），

MP=NP（已知），

OP=OP（公共边），∴△OMP≌△ONP.（SSS）∴∠MOP=∠NOP.

即OP平分∠AOB.想一想大胆挑战ABOP当∠AOB=180°时，角平分线怎么画？已知：直线AB及一点C，

求作：直线AB的垂线，使它经过点C.解：分两类情况作图.ABCDEF1.当点C在直线AB上时，作平角ACB的平分线CF，直线CF就是所求的垂线.小试牛刀经过已知直线上一点作这条直线的垂线.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.作法：

1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁；

2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E;3)分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F；

4)作直线CF.

直线CF是所求的垂线.2.当C在直线AB外时.ABCDEFK探索如图，是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD.将点A放在角的顶点,AB,CD沿着角的两边入放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？在△ADC和△ABC中,

AB=AD,

AC=AC,

DC=BC,∴△ADC≌△ABC.(SSS)∴∠DAC=∠BAC,

AE平分∠BAD.证明：尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：

１．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．

２．分别以M，N为圆心、大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点C．

３．作射线OC．射线OC即为所求．老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？

O想一想：已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分∠AOB.证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC.（SSS）∴∠MOC=∠NOC.

即OC平分∠AOB.探索２将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OABAOBED操作、测量:OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.

1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_______.

PDPE第一次第二次

第三次

COBAPD=PEPDE结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.AOBPEDC已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于点E.求证：PD=PE.AOBEDPC例1：∵PD⊥OA，PE⊥OB,证明：∴∠PDO=∠PEO=90°.在△POD和△PEO中,

∴△PDO≌△PEO.（AAS）

∠PDO＝∠PEO,∠AOC＝∠BOC,OP=OP,∴PD＝PE.角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

到角的两边的距离相等的点在角平分线上.结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE,∴点Q在∠AOB的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上,∴QD＝QE.用数学语言表示为：用数学语言表示为：思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路例2已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.

求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPMN练习：如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线