2021高中数学人教A版必修二（第一单元 空间几何体）章节练习试题（含详细解析）

2021年09月18日试卷

一、单选题（共20题；共0分）

1.（0分）三棱锥尸-/此的四个顶点都在休积为等的球的表面上，底面ABC所在的小

圆面积为167r,则该三棱锥的高的最大值为（）

A.7B.7.5C.8D.9

2、（0分）在正三棱锥A-BCD中，E,F分别是AB,BC的中点，EF1DE,且BC=1,则正三

极锥A-BCD的体积等于（）

A.叵B.立C.2D.3

12241224

3、（0分）棱长为1的正方体ABCDA田£1Di中，点M、N分别在线段ABi,BCi

上，且AM=BN,给出以下结论：

①AAi±MN

②异面直线AB1,BCi所成的角为60c

③四面体B1DiCA的体积为1

3

④AjC±ABi,AiC±BCi,其中正确的结论的个数为（）

D________.

插

除一X

CB

A.1B.2C.3D.4

4、（0分）己知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为

（）

A.叵B.fD-\

2C.1

5、（0分）某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（)

A.8誉B.8-^D.y

C.8-27r

6、（0分）一条射线在平面内的正投影是（)

A.射线B.点C.直线D.射线或点

7、（0分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,1,

则此三棱锥外接球的表面积为（）

C.47rD.57r

8、（0分）正四面体ABCD的棱长为4,E为棱4B的中点，过E作此正四面体的外接球的截

面，则截面面积的最小值是（）

A.47rB.8TTC.12nD.167r

9、（0分）如图，已知平面al平面0,48是平面a与平面0的交线上的两个定点，DAu

G，CBu0,且ZM_LA8,CB148,4D=4,BC=8,48=6,在平面a上有一个动点P,使乙4PO=

乙BPC,则四棱锥P-/BCD体积的最大值是（

A.24⑰B.16C.144D.48

10、（0分）下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的外接

球的表面积为（）

42C.417rD.317T

11、（0分）已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2,则该三棱锥的

外接球的表面积是（）

A.67rB.127rC.187rD.247r

12、（0分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的

体积的取值范围是（）

A.（0,竽］B.（0,争C.（0,争D.（0,竽］

13、（0分）一个儿何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,则该儿何体的体积为

)m

(<e«o>

79

B.CD.

3-\4

14、（0分）一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）

U.2>/3C.7T+苧D.2加+苧

B.2oTT+—

3

15、（0分）某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为

2cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm的圆（包括圆心），

则该零件的体积

是（）

A47r3n87r3n207r3

A.—cm^B.—cm^D.—cm^

33C.4ncm3

16、（0分）三棱柱ABC-AiB£1中，AA1与AC、AB所成角均为60。，Z.BAC=90°,

且AB=AC=AA产1,则A】B与AC1所成角的余弦值为（）

C.D.T

A.1B.-1

17、（0分）如下图，网格纸上小正方形的边长为1,图中实线画的是某几何体的三视图，

则该几何体最长的棱的长度为（）

A.4B.3V2c.2V2D.2V3

18、（0分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.64B.32C.96【）.48

19、（0分）《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名

著.其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几

何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是

多少？若短取3,估算该圆堡的体积为（1丈二10尺）（）

A.1998立方尺B.2012立方尺C.2112立方尺D.2324立方尺

20、（0分）如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）

A.2B.4C.4D.8

二、填空题（共10题；共0分）

21、（0分）半径为4的球的表面积为________________.

22、（0分）己知P,E,G,尸都在球面C上，且P在/EFG所在平面外，PE1EF.PELEG,

PE=2GF=2EG=4,NEG产=120。，在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P—E/G内的概率

为

23、（0分）一个棱锥的三视图如图，最长侧棱（单位：cm）是____cm,体积是________cm

24、（0分）如图所示的一块长方体K料中，已知泗=禹包=福疝&设阖为底面遮建的中

心，且解=加螃则店提%,则该长方体中经过点蕊四产的截面面积的最小值为

25、（0分）己知正方体ABCD-A,B£iDi的棱长为1,且点E为棱AB上任意一个动

点.当点B।到平面AIEC的距离为等时，点E所有可能的位置有几个

26、（0分）下列说法正确的是________________（填序号）.

①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；

②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台；

③三棱锥的任何一个面都可看作底面.

27、（0分）过球。表面上一点力引三条长度相等的弦AB.AC.AD,且两两夹角都为

60°,若球半径为R,求弦的长度_____________.

28、（0分）高为江，体积为M的圆柱的侧面展开图的周长为_____________.

29、（0分）正三棱柱48。-48传1的底面边长为2,侧棱长为6，。为BC中点，则三棱锥4-

BiDG的体积为.

30、（0分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的

体积之比为

俯视图

三、解答题（共5题；共。分）

31、（0分）如图，四边形/月।8]8为边长为3的正方形，8产2,CCx//AAlf

CC!//BBu请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请

你用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体

的名称.

32、（0分）如图，直线AB为圆弧BC所在圆的直径，NBAC=45°.将这个平面图形绕直线

AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.

33、（0分）如图，四边形ABCD是边长为企的正方形，CGJ■平面ABC。，DE//BF//CG,DE=

BF^CG.P为线段EF的中点，4P与平面4BCD所成角为60。.在线段CG上取一点”，使得

GH=JG.

（I）求证：PH1平面4EF；

（II）求多面体A8DEFH的体积.

34、（0分）如图，，理“就魂部分别是空间四边形曲院遛吠阅簿飒上的点，且,统与南簪交于

点松，求证：星疆:廊三点共线.

4

35、（0分）说出下图是由什么几何体组合而成的？

四、计算题（共1题；共0分）

36、（0分）圆锥的高为h,底面半径为r,过两条母线作一截面，截得底面圆弧的；，求

该截面的面积.

五、作图题（共5题；共0分）

37、（0分）如图所示，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，将其恢更

成原图形.

(I)(2)

图.

40、（0分）画出经过A,B,C的四棱锥的截面

正

试卷答案

1.【答案】c

窗4地？拗鲍缄

【解析】【解答】由苹海”=一十求得球的半径为愚=与,由封=题户=飒求得

底面ABC所在的小圆的半径h=4,则球心0到底面ABC所在小圆的圆心II的距离

|*|=JF牙=整。当点P在底面ABC的投影与C重合时，该三棱锥的高最大，求得最

大值为所卜蹩川3|二配故选C。

2.【答案】B

【解析】【解答】作平面所以遥为中点，连接

就遇，正三棱锥中有螂,钺嬲1.威阊

二加C_,方感二,4辑一平面，愈理一4，在正三棱锥中

，1_xc=只荔体积为

3.【答案】D

【解析】【解答】连结CiD.DB、DiBI、AD,易证平面CWB//平面D出A且垂直平

分A£,则在平行四边形AB£W中，作ME//AD交CW于E,连结NE,可得平面DNE//平

面ABCD,可得AAi±MN,①对，ABi//CD三角形CWB为等边三角形，则异面直线

ABHBC।所成的角为60°②正确，

1,AiC±BCi④正确，故选D.

4.【答案】B

【解析】【解答】根据题意，由于三棱锥的俯视图为直角三角形，正视图为直角三角形,

且斜边长为2,直角边长为［1JT;,那么结合图像可知其侧视图为底面边长为1,高为

在I"与一

2的三角形，因此其面积为1224，故选B.

解决的关键是根据三棱锥的三视图来得到底面积和高进而求解侧视图，属于基础题。

5.【答案】A

【解析】由三视图可知，此儿何体为一个正方体里面挖了一个底面在上，顶点在下的圆

锥，正方体的棱长为2,圆锥底面半径为1,高为2,故它的体积为

口嘈|劭觞=怒姆髭厘=gBS-

6.【答案】D

【解析】本题考查射线的正投影.

当射线与平面垂直时，正投影为点，其他位置关系时正投影均为射线.

7.【答案】B

【解析】由已知条件及三视图，可知此三棱锥的四个顶点位于长、宽、高分别为2,1卷的长

方体的四个顶点，所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，从而可得结果.

由已知条件及三视图得，

此三棱锥的四个顶点位于如图所示的长方体ABC。-的四个顶点，

即为三棱锥A-CBiDi，且长方体ABCD-A/IGDI的长、宽、高分别为2,以，

所以此三棱锥的外接球即为长方体,48。。-必当的。1的外接球，

外接球的直径等于长方体的对角线长，

半径”匕鼠=亨,

2

所以三棱锥外接球的表面积为S=4nR2=47r（苧）=等，故选B.

本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档

题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其

“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相

等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单

组合为三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和测视图，确定组合体的形

状.

8.【答案】A

【解析】将四面体力BCD放置在正方体中，如图所示,

可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，

因为正四面体力BC。的棱长为4,

所以正方体的棱长为2VL可得外接球的半径满足2R=2&xV5=2乃，即/?=遍,

又E为的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心。的距离最大时，

此时截面圆的面积最小，

此时球心。到截面的距离等于正方体棱长的一半，

可得截面圆的半径为r=y/R2—2=2,得到截面圆的面积的最小值为S=nr2=4H,

故选A.

9.【答案】D

【解析】由题设可得40_148,"：8且吟=能即PB=2P4以4B所在直线为x釉，其中垂

APPB

线为y轴建立平面直角坐标系，则4一3,0),8(3,0),设P(%,y),则/+于+]()%+9=o,即

(x+5)2+y2=16,则圆心M(-5,0),半径r=4,所以到动点P到％轴的距离最大，即的最大

值为r=4,此时四棱锥锥P-力BCD的体积的最大值为V=3Sr=*竽x6)x4=48,应选答

案Do

点睛：解答本题的思路是先依据题设中角度相等得到煞=言，即PB=2P4再构造平面直

角坐苏系，探寻出点P的轨迹是以M(-5,0)为圆心，半径r=4的圆，四边形4BCD的面积是定

值，故当高等于半径「=4时，体积最大，从而使得问题获解。

10.【答案】C

【解析】分析：还原几何体得四棱锥，根据球心到各顶点的距离相等列方程可得解.

详解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥0-ABCD,正方体的棱长为

2,

其中BO=4A泛,CO=4.

根据几何体可以判断：球心应该在过A,D的平行于底面的中截面上，

设球心到截面BCO的距离为x,则到AD的距离为：4-x,

/.R2=X2+(2V2)5R2=22+(4-x)2,

解得出：x=^,R=亨，

该多面体外接球的表面积为：4nR2=41TT,

故选：C.

点晴：对于外接球问题，若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线,

再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径.

11.【答案】A

【解析】【解答】设该正三棱锥为皆->4■，依题意趾3疏矍;

.4®,=^，所以僦:，懿=,酬=石，且该正三棱锥的外接球与以翻卜球跳2为邻边

的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为丘,体对角线长为匾,故球的半

以土—工筹=磷於婷=飒总乌=酗

径为香，所以球的表面积为4，故选A.

12.【答案】A

【解析】【解答】设AB,8的中点分别为M,N,则球心。到相和的距离

是相等的，即ON在同一直线上,■JLg四

面体"CO的体积最大,故选A.

此类问题实质上都是转化为线线垂直来解决，线面平行和线线平行之间的转化要熟练

13.【答案】C

【解析】由三视图可知原几何体是3个半棱长为1的正方体，，当二兽2,幽啊既=幻选

Co

14.【答案】B

【解析】由三视图得，该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的：并且圆柱的底面半径为

1,高为2,体积为况*《我留念二题，四棱锥的底面边长为心,高为

所以该几何体的体积为蹒*¥

疹至二6，体积为

故选B.

15.【答案】C

【解析】【解答】由题意易知该几何体为一半球内部挖去一圆锥所成，故体积为

静=2施总唠5—工就总好次工=飒

故选C.

16.【答案】c

【解析】【解答】将三棱柱上，下底面补成平行四边形，第到跺1/踏够，连g;,则多面

体/谭曲总一M嫡心£平行六面体，连接则，及将〃侬；，所以相交线，窗

与，金；所成的锐角或直角即为异面直线，的盘gq；所成的角.

；,所以；,即•璃出=或孵二1；

在平行四边形，您与1；中，角以阳二痴二率=，毓1二：］；，所以

在平行四边形,磁沉?中，因为所以平行四边形,磁沉?为矩形,又

.感?=.雨=1，所以/Q-：•姮所以三角形戚g；为直角三角形,

由以侬=空

,2,抬整

17.【答案】D

【解析】根据几何体的三视图还原几何体形状，判断最长的棱长，求解可得答案.利用

“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位四棱锥P-ABCD

如图所示，其中，正方体棱长为2,故选：D.

由三观图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面

的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然

后再艰据三视图进行调整.

18.【答案】A

【解析】根据几何体的三视图如图所示可知，该几何体为一个长方体挖去一个顶点在长方

体的下底面，底面为正方形且与长方体的上底面相同的四棱锥，体积为长方体的体积减去四

棱锥的体积4、4乂6-3*4乂4乂6=64,故正确答案为人.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，

高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯

视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面

的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然

后再根据三视图进行调整.

19.【答案】A

【解析】试题分析：由底面半径为广则2;?T=48，又；r=3，所以〃=8，所以该圆堡的体

积为方二歌侬察&麒立方尺，故选A.

考点：1.数学文化；2.旋转体的表面积与体积.

20.【答案】B

1*

【解析】试题分析：如图所示斜二测画法下的三角形的面积为押一3

那么原来平面图形的面积丝=磐/反舞瓶=.%故选B.

考点：斜二测画法

21.【答案】64n

【解析】【解答】解：球的半径为4,所以球的表面积为：4nr2=64n.

故答案为：64Ji.

利用球的面积公式，直接求解即可.

22.【答案】普.

327r

【解析】分析：根据△GEF中的边角数值，可以求出aGEr的面积；因为PE1EF,PEL

EG,所以可以求得力_GEF=gxgx4=手。根据正弦定理，求出△GE尸的外接圆半径为2,

利用球心到各个顶点的距离相等特征，求得外接球半径R=2式,因此可求得球的体积

匕=，（2鱼）3=手，所以两个体积的比值即为点C落在三棱锥P-”G内的概率。

详解：在△GEF中，GE=GF=2,NEGF=120。可求得

SAGEF=1x2x2sinl200=V3

因为PE1EF,PELEG,

所以Vp-GEF=|xV3x4=

△GEF中，GE=GF=2,Z.EGF=120°,所以可求得”=26

根据正弦定理，可求得△GEF的外接圆半径r

品=2「所以"2

设球半径为R,贝必常¥凉。解得卜之¥

所以％=我（2可=呼!

4br

所以生物=干=£_

V球64产327r

点睛；本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、三棱锥的体积、三角形外接圆半径的求

法、棱锥的外接球问题和几何概型，综合性强，对于各个知识点联系衔接紧密，对能力要

求较高，属于难题。

23.【答案】、自；；；4;;;

【解析】

根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面的三棱锥，结合图形，求出各条棱

长，即可得出最长的侧棱长是多少.然后求解体积即可.

根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC,

且侧面SAC_L底面ABC；又SD_LAC于D,工SD_L底面ABC；又BELAC与E,AAB=BC=

V22Z32=V13；SC==yfs,SA=V22+32=gAC=4，

22

BD=V32T12=V10SB=J2+V10=V14

，最长的侧棱长是SB,为VOcm.

几何沐的体积为：二X；X4X3X2T（/3）

故答案为：y/14i4

【点睛】

本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视羽还原出几何体的结构特

征，是基础题目.

24•【答案】竿

【解析】试题分析：如图所示：作出过点儿,F,E的截面力/NP,显然为平行四边形，延长

BA.NF,并设B/lnNF=G,再作4,LEG于H,连接必出则4/1%,再作/Q18C于Q,易

知4尸=4A=CN=QB,在直角4FQN中，可求得F/V=W奴2一2+2,由相似可得

AG=提，从而力”=22匕+2,所以4”=像^，所以SwNp=Nr-4H=4鱼X

V10A2-2A+l,其中owa盘，所以当；I=,时截面面积最小为番，故答案填」.

考点：1、长方体；2、平行四边形的面积；3、二次函数求最值.

【思路点晴】本题是一个关于几何体的截面面积的最值问题，属于难题.解决本题的基本

思路是首先应先做出过点4,瓦尸的截面，并判断出该截面是平行四边形，接着再求出这个

平行四边形的底边长和高，进而得到面积的表达式，最后再利用二次函数在闭区间上的最

值求法即可得到截面面积的最小值.

25.【答案】2

【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，

设E(a,0,0),C(1,1,0),A1(0,0,1),B!(1,0,1).

则港二(1,1,-1)，可*(a,0,-1)

设平面AFC的一个法向量为n=(x,y,z)

・•

n,A]C=0x+y-z=0

______.，得八，

由(nn*AiE=0ax-z=0取z=a,则x=l,y=a-l.

•,•n=(1»a~1,a)•

A[B；=(1,0,0)

而；J1一一历解得，「土收

由而飞+/+-1)2-6,解得.奸14

，E所有可能的位置有2个.

故答案为：2.

建立如图所示空间直角坐标系，设出E点坐标，利用B।到平面A(EC的距离为经求得

a的值得答案.

26.【答案】③

【解析】【解答】解：①根据棱锥的几何特征：棱锥各侧面的三角形必须有公共的顶点，

故错，吴；

②根据棱台的几何特征：截得棱台的截面必须和底面平行，故错误；

③根据棱锥的几何特征：三棱锥也叫四面体，各个面均可为底面.

故答案为：③

①棱推各侧面的三角形必须有公共的顶点；②截得棱台的截面必须和底面平行；③三棱锥

也叫四面体，各个面均可为底面.

27.【答案】。=竽/?

【解析】试题分析：依题意可知，这是一个正四面体的外接球.若一个正四面体边长为

Q,其外接球半径公式为：前2,即第2=凡。=衅？

oo3

考点：球的内接几何体.

【思路点睛】对棱相等的三棱锥，设三对棱长分别为a,b,c,如下图所示三棱锥A-夕CD,请

同学们推导其外接球半径R公式/?2=贮等，特别地，若一个正四面体边长为凡其外接球半

径公式为：［。2.设几何体底面外接圆半径为居常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，

它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.2.若长方

体长宽高分别为a,b,c则其体对角线长为所中不长方体的外接球球心是其体对角线中

点.找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线，交点即

为球心.

28.【答案】67r

【解析】试题分析：底面积S=?=7r,底面半径r=l,侧面展开图周长为27r•2+兀-2=6加

考点：圆柱侧面展开图.

29.【答案】1

【解析】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为V5,。为BC中点，

所以底面々DC］的面积为gx2xV5=V5,A到底面的距离为就是底面正三角形的高V5,所以

三棱维的体积为1.

考点：几何体的体积的计算.

30.【答案】1：1

【解析】分析：在半球里挖去一个圆锥，计算半球和圆锥的体积即可。

详解：球的半径为2,故体积的公式为，=*旧3=哥，圆锥的体积丫=/2仃2)=?

剩余部分与挖去部分的体积之比1：1

点睛，组合体的体积，要弄懂组合体的结构，哪些被挖去，哪些是留下来的。

31.【答案】见解析

【解析】

根据凌柱有两个互相平行的面可知该几何体不是棱柱，通过作出两个平行平面可截得三棱

柱.

•・•这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，

，这个几何体不是棱柱.

如图，在4/1i上取点E,使AE=2,在劭।上取点F,使冷2,连接。।EF,

C1F,

则过C1,E,〃的截面将原几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC-EFCH其侧

楂长为2；

另一部分是四棱锥CI-EA、B1F,即截去的几何体是一个四棱锥.

【点睛】

本题主要考查了棱柱的概念，属于基础题.

32.【答案】见解析

【解析】本题考查旋转体的结构特征.

如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.

33.【答案】（I）详见解析；（H）竽.

【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的判定定理推证；（2）借助等价转化的数学思想

分析恭求：

试题解析：

解：（I）连接交于点。，连接0P,则。为BD中点，

•••OP1DE，OP1平面48CD,

"4。为4P与平面48CD所成角，二LPAO=60°.

RMAOP中，AO=1,OP=\f3,AP=2CG=乎,CH=乎.

REZL4HC中，AH=>JAC2+CH2=苧

梯形OPHC中，PH=呼.

AP2+PH2=AH2AP1PH.

又EH=FH/.PH1EF.

又APCEF=PPH1¥®AEF.

(II)由(1)知，OP_1_平面ABCD：.OP±AC.

又AC18D,BDCOP=0.•.