工程硕士（GCT）数学模拟试卷7（共225题）

工程硕士（GCT）数学模拟试卷7（共9套）（共225题）工程硕士（GCT）数学模拟试卷第1套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、=()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：故选D2、实数a，b满足a>b>0，集合A：{0，a，b}，B={x｜x=uv，u，v∈A}，则集合B的子集共有()个．A、2B、4C、8D、16标准答案：D知识点解析：由题意，知B={0，ab，a2，b2}．所以集合B的子集个数为24=16．故选D3、两个码头相距198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要6h，逆流而上行完全程需要9h，那么该艘客轮的航速和这条河的水流速度分别是()km／h．A、27．5和5．5B、27．5和11C、26．4和5．5D、26．4和11标准答案：A知识点解析：两个码头相距198km，客轮顺流而行要6h，逆流而行需要9h，因此顺流速度为，逆流速度为．顺流速度是客轮的航速加上水流速度，逆流速度是客轮的航速减去水流速度，因此航速为,水流速度为33—27．5=5．5(km／km/h)．故选A。4、要使方程3x2+(m-5)x+m2-m一2=0的两个实根分别满足01<1和I2<2，那么，实数m的取值范围是()．A、一2B、一4C、一4D、一3标准答案：A知识点解析：如右图所示，设f(x)=3x2+(m一5)x+m2一m一2，则f(x)开口向上，与x轴交于(x1，0)和(x2，0)两点，有不等式组从而得m2一m一2>0；m2一4<0；m2+m>0．故选A。5、设p为质数，方程x2一px一580p=0的两根均为整数，则p属于范围是()．A、(0，10)B、(10，20)C、(20，30)D、(30，40)标准答案：C知识点解析：根据题意，有因为方程的根为整数，所以△=p2+4×1×580p=p(p+4×4×5×29)为完全平方式．又因为p为质数，所以p=29．故选C。6、设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是()．A、｜x｜≤1B、0≤x≤1C、｜x｜≤0．5D、0．5≤x≤1标准答案：D知识点解析：考虑解得0．5≤x≤1．即正确选项为D考虑排除法：观察答案，A、B、C中都有0，D中没有0，看0是否满足定义，将0代入g(x)，可知f(1+cos(π.0))=f(1+1)=f(2)，而2>1已经超出了f(x)的定义域，所以选D。7、设圆柱体的底半径和高之比为1：2，若体积增大到原来的8倍，底半径和高的比值仍为1：2，则底半径增大到原来的()．A、4倍B、3倍C、2．5倍D、2倍标准答案：D知识点解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则h=2r，体积V=πr2h=2πr3．由题意，有8V=2πr13，即16πr3=2πr12，即r1=2r．故底面的半径增大到原来的2倍．故选D。8、设，利用推导等列前n项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(一4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：9、平面内有4个红点、6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任何三点不共线，过这10个点中任意两点确定的直线中，过红点的直线有()条．A、27B、28C、29D、30标准答案：C知识点解析：平面内任两点均可连成一线，故按照题意，可进行分类考虑．1)只取一个红点和一个蓝点连线，共有C41C61一1=23条．2)取两个红点连成的直线，共有C42=6条，共计有29条．故选C。10、在共有10个座位的小会议室随机地坐上6个与会者，那么指定的4个座位被坐满的概率为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：10个座位中坐6个人，有A106种坐法，指定的4个座位被坐满有A64A62种可能．于是故选D。11、直线ax-by=0与圆x2+y2一ax+by=0(a，b≠0)的位置关系是()．A、相交B、相切C、相离D、由a，b的值而定标准答案：B知识点解析：由圆x2+y2一ax+bx=0(a，b≠0)，知圆心坐标为则圆心到直线ax一by=0的距离所以直线与圆相切．故选B。12、设正圆锥母线长为5，高为h，底面半径为r，在正圆锥的体积最大时，=()．A、B、1C、D、标准答案：C知识点解析：体积为计算最小值，求导数即可，令所以故选C。13、双曲线的离心率，则实数m的值是()．A、9B、±9C、D、标准答案：B知识点解析：该方程的曲线为双曲线，所以(m一1)(m+1)>0，得m>1或m<一1．当m>1时，a2=m一1，b2=m+1，所以c2=a2+b2=2m．解方程得m=9．同理，当m<一1时，a2=一m一1，b2=一m+1，c2=一2m．解方程得m=一9．故选B。14、在区间[0，+∞)内，方程()．A、无实根B、有且仅有一个实根C、有且仅有两个实根D、有无穷多个实根标准答案：B知识点解析：设，当x≥1时，f(x)>0，所以只需讨论在[0，1]上的情形．f(0)=一1<0，f(1)=1+sin1>0，f(x)在[0，1]上连续，由零点存在定理，f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根．又当x∈(0，1)时，，说明f(x)在(0，1)内是单调增加的．因此f(x)=0在(0，1)内只有唯一的实根，从而在[0，+∞)内只有一个实根．故选B。15、函数f(c)在[a，b]内有定义，其导数f’(x)的图形如图1所示，则()．A、(x1，f(y1))，(x2，f(x2))都是极值点B、(x1，f(x1))，(x2，f(x2))都是拐点C、(x1，f(x1))是极值点，(x2，f(x2))是拐点D、(x1，f(x1))是拐点，(f(x2，f(x2))是极值点标准答案：D知识点解析：在x1处，f’(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线f(x)由凸变凹，于是(x1，f(x1))是曲线的拐点；在x2处，f’(x1)的符号由负变为正，因此x1是f(x)的极小值点．故选D。16、设两条抛物线和所围成的图形面积为An，则=()．A、0B、1C、2D、5标准答案：A知识点解析：先求两条曲线交点的横坐标，又因曲线所围成的图形关于y轴对称，所以于是故选A。17、设x>0，，则y’=()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：故选A。18、方程根的个数为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：设则由零点存在定理得F(x)=0至少有一个根当x∈(一∞，+∞)时，又02x≤1，一l≤sinx≤1，所以有一1≤e-cos2xsinx≤1．注意到f’(0)=1>0，因此，f’(x)>0，从而有F(x)在(一∞，+∞)严格单调递增，由此，F(x)=0最多有一实根．综上所述，F(x)=0在(一∞，+∞)上有且仅有一个实根，故选B。19、设f(x)在[0，2]上连续，并且对任意的x∈[0，1]都有f(1一x)=一f(1+x)，则=().A、1B、0C、一1D、以上都不正确标准答案：B知识点解析：令则当x=0时，因此又因为f(1一sin(一t))=f(1+sint)=一f(1一sint)，上式最后一步利用了题设条件f(1一x)=一f(1+x)．所以f(1一sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即故选B。20、不等式｜x一3｜—｜x+1｜<1的解集为()．A、(一1，3)B、C、D、(3，+∞)标准答案：C知识点解析：如果要直接解不等式应分情况将绝对值符号去掉才行：x≥3；x一3一(x一1)=一4<1成立，x≤一1；3一x一(一x—1)=3+1=4<1不成立，-1再有一1结合第一种情况可得结果为一般常用特殊值法解决：比较答案，取x=3代入可得一4<1成立，所以x可以取3，A、B、D中都没有3，所以选择C。21、行列式展开式中，的系数是()•A、2B、一2C、1D、一1标准答案：A知识点解析：要使行列式展开式中含x4，则在行列式中，各不同的行、列都有x，即(2x.x.x.x)=2x4(即对角线上都为x)，故选A。22、桌上有6本中文书、6本英文书、3本俄文书，从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各一本的概率是()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：取3本书共有C153取法，恰有中文书、英文书、俄文书各一本的取法有C61C61C31种，所以结果为23、设A为4阶非零方阵，其伴随矩阵A*的秩r(A*)=0，则秩r(A)等于()。A、1或2B、1或3C、2或3D、3或4标准答案：A知识点解析：因，(A*)=0，r(A)≤4—2=2，故选A。24、设A为m×n的非零矩阵，方程组AX=0只有零解的充分必要条件是()．A、A的列向量线性无关B、A的列向量线性相关C、A的行向量线性无关D、A的行向量线性相关标准答案：A知识点解析：由Ax=0，得即a11x1+a12x2+…+a1nxn=0因此，A的列向量线性无关，即x1=x2=…=xn=025、已知三阶矩阵M的特征值为λ1=一1，λ2=0，λ3=1，它们所对应的特征向量为α1=(1，0，0)T，α2=(0，2，0)T，α3=(0，0，1)T，则矩阵M是()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：故选D。工程硕士（GCT）数学模拟试卷第2套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、电影开演时观众中女士与男士人数之比为5：4，开演后无观众入场．放映一段时间后，女士的百分之二十、男士的百分之十五离场，此时在场的女士与男士人数之比为[]．A、04:05B、01:01C、05:04D、20：17标准答案：D知识点解析：根据题意，所求比例为。故选D．2、＝[]．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：故选D．3、半径分别为60m和40m的两条圆形轨道在点P处相切．两人从P点同时出发，以相同的速度分别沿两条轨道行走，当他们第一次相遇时，沿小圆轨道行走的人共走了[]圈．A、2B、3C、4D、6标准答案：B知识点解析：两人从P点出发，等到相遇时，各自走的圈数应为正整数，大轨道半径是小轨道半径的1．5倍，两人速度相同，因此当走大轨道的人走2圈时，走小轨道的人正好走了3圈，此时两人第一次相遇．故选B．4、在一条长为180m的道路两旁植树，每隔2m已挖好一坑，由于树种改变，现改为每隔3m栽一棵树．则需重新挖坑和填坑的个数分别是[]．A、30，60B、60，30C、60120D、120，60标准答案：C知识点解析：这是一个关于植树问题和最小公倍数问题的综合题．为了求解问题，只需要讨论清楚6m长的道路情况便可．在6m长的道路上，一边需重新挖坑1个，填坑2个，两边则需重新挖坑2个，填坑4个．从而180m的道路上共需重新挖坑60个，填坑120个．故选C．5、已知x∈R，若(1—2x)2005＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2005x2005，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋…＋(a0＋a2005)＝[]．A、2003B、2004C、2005D、2006标准答案：A知识点解析：当x＝0时，可得a0—1．当x＝1时有a0＋a1＋a2＋…＋a2005＝(1—2)2005＝—1．所以(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋…＋(a0＋a2005)＝a0＋a1＋…＋a2005＋2004a0＝—1＋2004＝2003．故选A．6、同时抛掷3颗骰子，每颗骰子出现的点数之积为偶数的概率是[]．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：基本事件共有6×6×6个．其中点数之积为奇数的事件，即3颗骰子均出现奇数的事件，共有3×3×3个，所以点数之积为偶数的概率．故选D．也可考虑3颗骰子出现的点数有8种情况，即，奇奇奇、奇奇偶、奇偶奇、奇偶偶、偶奇奇、偶奇偶、偶偶奇、偶偶偶，它们都是等可能的．其中有7种情况乘积为偶数，所以。7、已知函数f(x)＝min{2—x2，x)，x∈R，f(x)的最大值为[]．A、—2B、0C、1D、2标准答案：C知识点解析：作函数y＝x和y＝2—x2的草图(见图)，直线和曲线有两个交点，交点横坐标由2—x2＝x解出x＝—2和x＝1．取两曲线在下方的部分，可知从图中见到f(x)最大值在x＝1处取到，f(1)＝1．故选C．8、若实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则有[]．A、ab＞acB、ac＞bcC、a｜b｜＞c｜b｜D、a2＞b2＞c2标准答案：A知识点解析：从条件a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，可知一定有a＞0，c＜0．从b＞c，两边乘正数a，便得到A．注意从a＞c，两边乘｜b｜，是得不到C的，因为可能b＝0．从a＞b，两边乘c也得不到B．因为c＜0，应得dc＜bc．因c＜0，D也是得不到的．故选A．9、方程的解集是[]．A、{0}B、{log73}C、(0，log73}D、(0，log37}标准答案：C知识点解析：解这类指数方程可以用两边取对数的方法，得到xlog73＝x2，x(x—log73)＝0．解得x＝0和x＝log73．所以解集为C．如果取以3为底的对数，得x＝x2log37,解得x＝0和，用对数的换底公式，也得到选项C．如果一时不好确定取什么为底的对数，也可以用lg或ln，再注意换底公式的应用．故选C．10、设n为非负整数，则｜n—1｜＋｜n—2｜＋…＋｜n—100｜的最小值是[]．A、2475B、2500C、4950D、5050标准答案：B知识点解析：观察当n＝0时和为S＝1＋2＋…＋100＝＝5050．当n＝1或n＝100时，有S＝0＋1＋2＋…＋99＝4950．再看n＝2或n＝99时，有S＝1＋0＋1＋2＋…＋98＝4852．看出从n＝1，2，3，…，50，S随n增加而递减，n＝51，52，…，100，则S随n增加而递增．当n＝50或51时，S＝49＋48＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋50＝(49×50＋50×51)＝2500．这是S的最小值．故选B．11、在圆心为0，半径为10的圆内有一点P．若OP＝8，则过P点的弦中，长度为整数的弦有[]条．A、9B、12C、16D、18标准答案：C知识点解析：过P作一条直径和与此直径垂直的弦AB(见图)．△OAP为直角三角形，其中OA＝10，OP＝8，所以PA＝6．过P点的弦中，最短的弦为BA，其长度为12．最长的弦为直径，其长度为20．所以长度为整数的弦的长度分别为12，13，14，15，16，17，18，19，20．其中长度为12和20的各有一条弦，其余各有两条弦，所以共有16条弦．故选C．12、AABC为锐角三角形，∠A，∠B，∠C的对边是a，b，C．已知∠B＝2∠A，则b：a的取值范围是[]．A、(—2，2)B、(0，2)C、D、标准答案：D知识点解析：由正弦定理由于，又因A＋B＋C＝3A＋C＝π，所以C＝π—3A．又因．所以即故选D．13、已知平面上A，B，C三点不共线，P是平面上一点，满足，则点P[]．A、在AABC外部B、在△ABC内部C、在直线AB上D、在直线AC上标准答案：D知识点解析：已知所以共线，P点在直线AC上．故选D．事实上，P是△ABC的AC边上一个三等分点．14、椭圆c的两个焦点为F1，F2，过F2作C长轴的垂线，交C于点P．若△F1PF2为等腰直角三角形，则C的离心率为[]．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：△F1PF2为等腰直角三角形，∠PF2F1＝90°，｜PF2｜＝｜F1F2｜．所以｜PF1｜2＝｜F1F2｜2＋｜PF2｜2＝2｜F1F2｜2．而｜F1F2｜＝2c，｜PF1｜＝2a—｜PF2｜＝2a—2c，所以(2a—2c)2＝2(2c)2，即c2＋2ac—a2＝0，两边同除a2得．解得离心率．故选D．15、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则将该三角形以AB边为轴旋转一周所得几何体的体积为[]．A、12πB、4πC、8πD、6π标准答案：B知识点解析：如图所示．该三角形中，BC＝ABsinA＝＝2，AC＝ABcosA＝．设AB边上的高为cD，则将三角形以AB为轴旋转一周后，所得几何体的体积为故选B．16、已知f(x)是(—∞，＋∞)上的奇函数，且f’(0)存在，设则函数F(x)在点x＝0处[]．A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：D知识点解析：因f’(0)存在，所以f(x)在x＝0连续．又因f(x)是奇函数，从而f(0)＝0，因而有这表明F(x)在x＝0处可导．故选D．17、方程x＋2＝ex根的个数是[]．A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：把方程改写为ex—x—2＝0，所以只需考查f(x)＝ex—x—2零点的个数．令f’(x)＝ex—1＝0，得x＝0．当x＜0时，f’(x)＜0；当x＞0时，f’(x)＞0．因此．f(x)在(—∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增．这表明f(x)分别在(—∞，0)和(O，＋∞)内至多有一个零点．又f(0)＝—1，f(—2)＝e—2＞0，f(2)＝e2—4＞0．由连续函数的零点存在定理可知，f(x)在(2，0)，(0，2)内分别至少有一个零点．综合上述，f(x)分别在(—∞，0)和(0，＋∞)内各只有一个零点．故选C．18、设函数，则[]．A、函数f(x)有极值点，且曲线f(x)有拐点B、函数f(x)有极值点，但曲线f(x)无拐点C、函数f(x)无极值点，但曲线f(x)有拐点D、函数f(x)无极值点，且曲线f(x)无拐点标准答案：B知识点解析：由(1)，(2)式可得曲线f(x)无拐点，在x＝—1处取得极大值．故选B．19、设f’(ex)＝x2e—x，且f(1)＝1，则f(x)＝[]．A、ln2xB、C、e2xD、标准答案：B知识点解析：在f’(ex)＝x2e—x中，则ex＝t，则x＝lnt，．于是将f(1)＝1代入上式得C＝1，所以．故选B．20、设f(x)是连续函数，且，则[]．A、当x∈(—1，1)时，f(z)＞0B、当x∈(—1，1)时，f(x)＜0C、在(—1，1)内f(x)至少有一个零点D、A、B、C均不正确标准答案：C知识点解析：由积分中值定理，存在ξ1∈[—1，0]使得因，所以ξ1≠0，所以存在ξ1∈[—1，0)使得于是得f(ξ1)＜0．同理存在ξ2∈(0，1]使，(ξ2)＞0，由连续函数的零点存在定理得存在η∈(ξ1，ξ2)使得f(η)＝0．故选C．21、f(x)满足方程，则f(x)＝[]。A、B、C、D、不确定标准答案：A知识点解析：设，对方程作[0，1]上的定积分，有故选A．22、方程f(x)＝＝0的根的个数是[]．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由于所以f(x)＝7x＝0只有一个根x＝0．故选B．23、设n阶方阵A，B，C满足ABC＝I，其中I是n阶单位阵，则下列等式中一定正确的是[]．A、BAC＝IB、ACB＝IC、CBA＝ID、BCA＝I标准答案：D知识点解析：由于ABC＝I，所以A(BC)＝1，故BC＝A—1，从而(BC)A＝BCA＝I．故选D．24、设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关．(1)若it’／维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出；(2)若n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出；(3)若n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关，则向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价；(4)n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是矩阵A＝(α1，α2，…，αm)的秩等于矩阵B＝(β1，β2，…，βm)的秩．上述命题中，正确命题的个数为[]个．A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：设α1＝(1，0，0)T，α2＝(0，1，0)T，β1＝(1，0，0)T，β2＝＝(0，0，1)T，则α1，α2线性无关，β1，β2也线性无关．但α2不．能由β1，β2线性表出，β2也不能由α1，α2线性表出，因此命题(1)，命题(2)都是错误的，从而命题(3)也是错误的．由排除法，只有命题(4)是正确的．故选A．事实上，可以证明命题(4)是正确的：必要性若向量组β1，β2，…，βm线性无关．则矩阵B＝(β1，β2，…，βm)的秩r(B)＝m，由题设向量组α1，α2，…，αm线性无关，因此矩阵A＝(α1，α2，…，αm)的秩r(A)＝m．从而有r(A)＝r(B)．充分性因r(A)＝r(B)，即r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βm)．又α1，α2，…，αm线性无关，因此r(α1，α2，…，αm)＝m，故r(β1，β2，…，βm)＝m，即β1，β2，…，βm线性无关．25、设三阶矩阵A满足｜A—2I｜＝0，｜2I＋A｜＝0，｜—3I＋2A｜＝0，则｜A｜＝[]．A、—12B、12C、—6D、6标准答案：C知识点解析：设λ0是A的一个特征值，则λ0必然满足方程f(λ0)＝｜λ0I—A｜＝0，因此满足f(λ0)＝｜λ0I—A｜＝0的λ0一定是A的一个特征值．由｜A—2I｜＝｜(—1)(2I—A)｜＝(—1)3｜2I—A｜＝0，可知λ1＝2是A的一个特征值．由｜2I＋A｜＝｜(—1)(—2I—A)｜＝(—1)3｜(—2)I—A｜＝0，可知λ2＝—2是A的一个特征值．由｜—3I＋2A｜＝是A的一个特征值．而A为三阶矩阵，最多只能有3个不同的特征值．利用矩阵特征值的性质得｜A｜＝λ1λ2λ3＝—6．故选C．工程硕士（GCT）数学模拟试卷第3套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、集合{0，1，2，3}的子集的个数为()．A、14B、15C、16D、18标准答案：C知识点解析：若集合中有n个元素，则集合子集的个数为2n．所以集合{0，1，2，3}的子集的个数为24=16．2、的值是()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：将分子中相邻的两个数两两结合，结果是一个等差数列，利用求和公式得到分子，即12一22+32一42+52一62+72一82+92一102=一3—7—11—15—19=×5×(一3—19)=一55．分母是一个首项为20=1，公比为2的等比数列，求和得．题中原式3、如图1所示，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于()．A、22B、20C、18D、11．25标准答案：B知识点解析：本题主要查的是比例性质的应用．由题意，，得x=20．4、方程的解为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：本题主要考查的是非负性相加知识的应用．因为所以解得5、甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A区到B区，甲需用30分钟，乙需用40分钟．如果乙比甲早出发5分钟去B区，则甲出发后经()分钟可以追上乙．A、10B、15C、20D、25标准答案：B知识点解析：设甲出发后x分钟可以追上乙，由题意，知：v乙(x+5)=v甲x因为v乙：v甲=3：4，所以有3(x+5)=4x，即x=15．6、一个圆柱形状的量杯中放有一根长为12厘米的细搅棒(搅棒直径不计),当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯口边缘2厘米，最多能露出4厘米，则这个量杯的容积为()立方厘米．A、72πB、96πC、288πD、384π标准答案：A知识点解析：由题意知，倾斜放置和垂直放置的细搅棒所在平面正好将量杯分成相等的两部分，量杯的高h=12—4=8，l=12—2=10．则量杯的底面圆直径，即r=3．量杯的容积为V=πr2h=π×32×8=72π．7、复数z=i+i2+i3+i4+i5+i6+i7，则｜x+i｜=()．A、2B、C、D、1标准答案：C知识点解析：先将复数z进行化简，z=i+i2+i3+i4+i5+i6+i7=i一1一i=一1则8、设二次函数y={ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，图像经过(2，0)则()．A、3B、2C、一2D、一3标准答案：D知识点解析：由题意可知图像经过(0，0)所以有可以解得b=一2a，代入y=f(x)=ax2一2ax，所以9、两个不等的实数a与b，均满足方程x2—3x=1，则的值等于()．A、一18B、18C、一36D、36标准答案：C知识点解析：先对进行通分：因为a，b满足x2一3x=1，所以a+b=3，ab=一1所以10、A，B，C，D，E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队已赛过2场,D队邑赛过1场，则此时E队已赛过()．A、1场B、2场C、3场D、4场标准答案：B知识点解析：由于A队已赛4场，故A队必须与其他四队都比赛过；D队已赛1场，D队只与A队比赛过；B队已赛3场，B队与A、C、E队分别比赛过；C队已赛2场，C队与A、B队分别比赛过．所以E队已赛2场．11、过点P(0，2)作圆x2+y2=1的切线PA和肋，A和B是两个切点，则AB所在直线的方程为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：如图所示，｜OA｜=1，｜OP｜=2，所以AB所在直线的方程为12、如图2所示，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：因E，F分别为AB，BC的中点，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故13、已知两平行平面α，β之间的距离为d(d>0)，l是平面α内的一条直线，则在平面β内与直线l平行且距离为2d的直线有()．A、0条B、1条C、2条D、4条标准答案：C知识点解析：如图可知，满足条件的有2条直线．14、正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为()．A、πB、C、D、标准答案：B知识点解析：设正圆锥的底面半径为R，母线长为l，则圆锥侧面积=πRl圆锥全面积=πR2+πRl因此故所求圆心角选B。15、已知的解集为()．A、B、C、D、(0,1)标准答案：B知识点解析：即为：又因为00，x—1<0，只要再结合016、若，则必定()．A、f(1)=4B、f(x)在x=1处无定义C、在x=1的某邻域(x≠1)中，f(x)>2D、在x=1的某邻域(x≠1)中，f(x)≠4标准答案：C知识点解析：根据极限的定义可知，某一点的极限是否存在与该点有无函数无关，因此可排除A、B两项；f(x)=4也满足题意，故可排除D对于C选项，因，则，故有在x=1的某邻域(x≠1)中，f(x)一2>0即f(x)>2．故正确答案选C。17、设，则=()．A、-1B、1C、D、标准答案：B知识点解析：因为所以所以18、设函数f(x)可导，且f(0)=1，f’(一lnx)=x，则f(1)=()．A、2一e－1B、1一e－1C、1+e－1D、e－1标准答案：A知识点解析：设一lnx=t，则x=e-t，由f’(一lnx)=x得f’(t)=e-t，又则f(x)=2一e-x，f(1)=2一e-1．19、图3中的三条曲线分别是的图形，按此排序，它们与图中所标示y1(x)，y2(x)，y3(x)的对应关系是()．A、y1(x)，y2(x)，y3(x)B、y1(x)，y3(x)，y2(x)C、y3(x)，y1(x)，y2(x)D、y3(x)，y2(x)，y1(x)标准答案：D知识点解析：分别为函数f(x)在区间[x，x+1]和区间[x，x+3]上的平均值．因为y1(x)，y2(x)，y3(x)在区间[x，x+1]和区间[x，x+3]上均有负值，其平均值应比f(x)的峰值小，因此f(x)=y3(x)．此时明显小于0，而y2(0)明显小于0，可知20、有两个独立报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率是0．95和0．92，则紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是()．A、0．920B、0．935C、0．950D、0．996标准答案：D知识点解析：已经说明是独立事件，设A表示第一个报警器发出信号的事件，B表示第二个报警器发出信号的事件，则至少有一个报警器发出信号就是A∪B。因为P(AB)=P(A)×P(B)，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)+P(B)一P(A)×P(B)=0．95+092—095×0．92=0.99621、已知f(x)在[0，1]上连续，f(x)≥0，记，则()．A、I123B、I312C、I231D、I232标准答案：B知识点解析：可以用特殊值法解决．令f(x)=1满足要求，代入计算，所以选B。22、行列式展开式中的常数项为()．A、4B、2C、1D、0标准答案：D知识点解析：因为所以行列式展开式中没有常数项．故选D.23、A*是的伴随矩阵，若三阶矩阵X满足A*X=A，则X的第3行的行向量是()．A、(2;1;1)B、(1;2;1)C、D、标准答案：C知识点解析：则矩阵A可逆且A*=｜A｜.A-1．A*X=A化为｜A｜A-1X=A，两边同乘以A，得则X的第3行的行向量为24、设，则当α=()时,方程组AX=b无解.A、一2B、一1C、1D、2标准答案：D知识点解析：方程组AX=b无解，知r(A)≠r(A：b)，对增广矩阵进行变换，若r(A)≠r(A：b)，则有得α=2．25、1与-1是矩阵的特征值，当t=()时，矩阵A可对角化。A、一1B、0C、1D、2标准答案：B知识点解析：根据特征值的性质知，特征值之和等于矩阵A对角线元素之和，则得第三个特征值为：(3—1—3)一(1—1)=一1，即一1为二重特征值．要使A对角化，则一1必对应两个线性无关的特征向量，即秩r(A+E)=1，对A+E进行等效变换：即t=0时，矩阵A可对角化．工程硕士（GCT）数学模拟试卷第4套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、如果直线x－2y+2=0过椭圆(a>b>0)的：左焦点F(－c，0)和短轴上的顶点(0，b)，则该椭圆的离心率等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：4、AABC中，∠A，∠B，∠C的对边a，b，c成等差数列，且知∠B＝30°，三角形面积，则b＝[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：，∠B＝30°推得ac＝6．由条件2b＝a＋c及余弦定理分别得4b2＝a2＋c2＋2ac，b2＝a2＋c2－2accos∠B．两式相减得．选项(B)的平方．故选B．5、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：6、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：7、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：8、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：9、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：10、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：11、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：12、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：13、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：14、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：15、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：16、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：17、某公司参加一次植树活动，平均每人要植树6棵．若只有女员工完成，每人应植树10棵；若只有男员工完成，每人应植树[]棵．A、12B、13C、14D、15标准答案：D知识点解析：假设该公司参加植树的员工总人数为x，其中女员工人数为y．由题设得6z＝10y，即．故男员工人数为，所以每人应植树的棵数为．故选D．18、曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1，y＝t(0＜t＜1)所围图形的面积情况为[]．A、当时，面积最大B、当时，面积最小C、当时，面积最大D、当时，面积最小标准答案：B知识点解析：由题意得，曲线y＝x2与3条直线所围图形面积令S’＝0得唯一的驻点是唯一的极小值点．因此它是最小值点，即当t＝时，S取最小值．故选B．19、已知A是n阶矩阵，且满足关系式A2＋3A＋4I＝0．则(A＋J)－1＝[]．A、A－1＋IB、C、D、A＋4I标准答案：C知识点解析：由A2＋3A＋4I＝0，可得(A＋I)(A＋2I)＝A2＋3A＋2I＝－2I，即故选C．20、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则将该三角形以AB边为轴旋转一周所得几何体的体积为[]．A、12πB、4πC、8πD、6π标准答案：B知识点解析：如图所示．该三角形中，BC＝ABsinA＝4×＝2，AC＝ABcosA＝．设AB边上的高为CD，则将三角形以AB为轴旋转一周后，所得几何体的体积为故选B．21、已知a为正整数，且关于x的方程lg(4—2x2)＝lg(a一x)＋1有实数根，则a等于[]．A、1B、1或2C、2D、2或3标准答案：A知识点解析：由对数方程可得4—2x2＝10(a一x)，即2x2－10x＋10a－4＝0，方程有实数根，所以判别式100—8(10a－4)≥0，即132—80a≥0．正整数a只能取1．故选A．22、△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC上的高等于[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设△ABC中∠A，∠B，∠C所对应的边的长度分别为a，b，c，即a＝BC，b＝AC，c＝AB．由余弦定理23、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析24、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：25、二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，如果∠ACB=60°，那么b2－4ac的值是()．A、4B、8C、10D、12标准答案：D知识点解析：工程硕士（GCT）数学模拟试卷第5套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：故选(B)．2、如果一个三角形的三边之比为2：2：3，那么这个三角形[]．A、一定有一个角是直角B、一定有一个角是钝角C、所有的角都是锐角D、三个角的大小不能确定标准答案：B知识点解析：设三角形的三边长分别为2a，2a，3a(a＞0)．因为(2a)2+(2a)2一8a2＜(3a)2，所以长为3a的边所对的角是钝角．故选(B)．3、长度是800m的队伍的行军速度为100m／min，在队尾的某人以3倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是[]min．A、2B、C、4D、6标准答案：D知识点解析：如图所示，设某人赶到排头所用的时间为t1，则有300t1=800+100t1，t1=4(min)．再设某人从排头返回队尾所用的时间为t2，则有100t2+300t2=800，t2=2(min)．因此总共用了6min．故选(D)．4、一水池有两个进水管A，B，一个出水管C．若单开A管，12h可灌满水池，单开B管，9h可灌满水池，单开C管，满池的水8h可放完．现A，B，C三管齐开，则水池灌满水需要[]．A、13h24minB、13h48minC、14h24minD、14h48min标准答案：C知识点解析：由题意，A管每小时灌入满池水量的，B管每小时灌入满池水量的，C管每小时放出满池水量的．三管齐开，则每小时灌入满池水量的(h)．故选(C)．5、若实数a，b满足=a+bi，则ab=[]．A、-15B、一3C、3D、5标准答案：B知识点解析：因为=-1+3i，依题意得a=一1，b=3．所以ab=一3．故选(B)．6、某班共有41名学生，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字．老师随机请2名同学解答问题，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有1人被选中的概率是[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：从41名学生中随机叫出2人的不同方式共有C412=，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有1人被选中的方式共有C21C391=2×39，所以要求的概率为故选(C)．7、已知f(x)是定义在(一∞，+∞)上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=[]．A、0B、1C、3D、5标准答案：A知识点解析：f(x)是奇函数，所以f(0)=0．图像关于x=对称，得f(1)=f(0)=0．f(x)是奇函数，所以f(一1)=0．图像关于x=对称，f(2)=f(一1)=0．由此类推得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0．故选(A)．8、已知x＞0，y＞0，且2x+3y=6，则y[]．A、有最大值1B、有最小值1C、有最大值D、无最大、最小值标准答案：A知识点解析：函数f(x)=[y(2一y)]的定义域是0＜y＜2，当y=1时，y(2一y)取得最大值1，以y=1代入，的最大值为1．故选(A)．9、设α是方程x9一1=0的一个根，则α+α2+α3+…+α8=[]．A、8B、0或8C、一1D、一1或8标准答案：D知识点解析：α满足方程x9一1=0，则α9一1=0，(α一1)(1+α+α2+…+α8)=0．若α=1，则α+α2+…+α8=8．若α≠1，则1+α+α2+…+α8=0，所以α+α2+…+α8=一1．故选(D)．10、已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a101=0，则有[]．A、a1+a101＞0B、a2+a100＜0C、a3+a99=0D、a51=51标准答案：C知识点解析：从已知条件，有101a1+=0，其中a1为{a1}的首项，d为公差，所以有a1+50d=0，即有a51=0，a1+a101=2a1+100d=0，a2+a100=2a1+100d=0，a3+a99=2a1+100d=0．只有(C)是正确的．故选(C)．11、若过点P(0，1)的直线l与双曲线x2一y2=1有且仅有一个公共点，则直线l斜率所取值的集合为[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：直线l与双曲线有一个交点，交点坐标满足将y代入第二个方程，得到x满足的方程(1一k2)x2一2kx一2=0．(*)当1一k2=0，即k=±1时，方程(*)是一次方程，有唯一的解x=一．当1一k2≠0时(*)为二次方程，其判别式△=4k2+8(1一k2)=8—4k2．当且只当k=一时，△=0，此时方程(*)有唯一的实根．所有斜率k可取的值为一1，1，一．故选(C)．12、已知x∈，则tan2x=[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：故选(B)．13、过直线x—y+=0上的点作圆x2+y2=1的切线，此点与切点间长度的最小值是[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：过直线上一点(x0，y0)作圆的切线，由勾股定理可知，此点与切点间线段的长度故选(B)．14、如图所示，对于抛物线C：y2=8x，其焦点为F，准线为l，已知P为l上一点，Q为直线PF与C的一个交点．若，则｜OF｜=[]．A、B、C、3D、2标准答案：C知识点解析：由题设可得F(0，2)，l：x=一2．如图所示，设l与x轴交于点S，过Q作l的垂线，垂足为R．由条件，有｜PQ｜：｜PF｜=．而｜FS｜=4，所以｜QR｜=3，由抛物线性质知｜QF｜=｜QR｜=3．故选(C)．15、一个四面体的体积为V，若过四面体交于每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的4个“角”(4个小四面体)，则余下部分的体积为[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：如图所示切下一个“角”，切下的小四面体各棱长和高均为对应的大四面体各棱长和高的．所以小四面体的体积为大四面体体积的()3．余下部分的体积为故选(C)．16、=[]．A、0B、1C、2D、不存在标准答案：B知识点解析：故选(B)．17、设常数k＞0，方程lnx-+k=0在(0，+∞)内根的个数为[]．A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：令f’(x)=0，得x=e．当0＜x＜e时，f’(x)＞0，因此f(x)在(0，e]上单调增加；当e＜x＜+∞时，f’(x)＜0，因此f(x)在(e，+∞)上单调减少，从而x=e是f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值f(e)=k＞0．由f(x)=一∞及极限的保号性质，存在x1，0＜x1＜e，使得f(x1)＜0．同理存在x2＞e，使得f(x2)＜0．f(x)在[x1，e]，[e，x2]上利用连续函数的零点存在定理，得出f(x)在(x1，e)，(e，x2)内各至少有一个零点的结论．又f(x)在(x1，e)，(e，x2)内是单调的．因而f(x)在(x1，e)，(e，x2)内最多各有一个零点．综合上述，f(x)在(x1，e)和(e，x2)内各有一个零点，即方程f(x)=0在(x1，e)及(e，x2)内各有一个根．故选(C)．18、图中给出了f’(x)的图形，设有以下结论：①f(x)的单调递增区间是(2，4)∪(6，9)；②f(x)的单调递增区间是(1，3)∪(5，7)∪(8，9)；③x=1，x=3，x=5，x=7是f(x)的极值点；④x=1，x=3，x=5，x=7是曲线y=f(x)的拐点横坐标．则以上结论中正确的是[]．A、①，②B、②，③C、③，④D、①，④标准答案：D知识点解析：如图所示，在区间(2，4)∪(6，9)上，f’(x)的图形在z轴上方，所以f’(x)＞0．因此y=f(x)在(2，4)∪(6，9)上单调增加．又f’(x)在x=1，x=3，x=5，x=7两侧单调性发生了变化，所以，上述四个点均为曲线y=f(x)拐点的横坐标．故选(D)．19、当｜y｜≤1时，F(y)=∫-11｜x—y｜exdx，则F’(0)=[]．A、一2一e—e-1B、2一e—e-1C、2+e-e-1D、2+e+e-1标准答案：B知识点解析：F(y)=∫-1y｜x—y｜exdx=∫-1y(y-x)exdx+∫y1(x-y)exdx=y∫-1yexdx一∫-1yxexdx+∫y1xexdx-y∫y1exdx，故F’(y)=∫-1yexdx+yey—yey—yey—∫y1exdx+yey=∫-1yexdx一∫y1exdx，F’(0)=∫-10exdx一∫01exdx=ex｜-10一ex｜01=2一e—e-1．故选(B)．20、设g(x)为连续函数，且满足，则I=∫abg(x)dx[]．A、＞0B、＜0C、=0D、无法确定标准答案：C知识点解析：从而有∫abg(x)dx=0．故选(C)．21、设f(x)是连续函数，且严格单调递减，0＜α＜β＜γ，I1=∫0αf(x)dx，I2=，则[]．A、I1＞I2B、I1＜I2C、I1=I1D、II1与II2的关系不确定标准答案：A知识点解析：由积分中值定理I1=∫0αf(x)dx=αf(ξ1)，ξ1∈[0，α]，I2=.(γ一β)f(ξ2)=αf(ξ2)，ξ2∈[β，γ]．因f(x)是严格单调递减函数，而ξ1＜ξ2，所以f(ξ1)>f(ξ2)．因此I1一I2=α[f(ξ1)一f(ξ2)]＞0，从而I1＞I2．故选(A)．22、设A是三阶矩阵，且｜A｜=，则｜(2A)-1+A*｜=[]．A、B、2C、5D、标准答案：B知识点解析：故选(B)．23、设n阶矩阵A=，则A的特征值为[]．A、λ1=0(n一1重)，λ2=mB、λ1=0(n一1重)，λ2=n一1C、λ1=0(n一1重)，λ2=1D、λ1=0，λ2=1(n一1重)标准答案：A知识点解析：对于矩阵A，由得矩阵A的所有特征值为λ1=0(n一1重)，λ2=n(单根)．故选(A)．24、向量组α1=(1，1，2)T，α2=(3，t，1)T，α3=(0，2，一t)T线性无关的充分必要条件是[]．A、t=5或t=一2B、t≠5且t≠一2C、t≠一5或t≠一2D、(A)，(B)，(C)均不正确标准答案：B知识点解析：本题中向量的个数与维数相等，它们线性无关的充要条件是它们组成的行列式｜α1α2α3｜≠0，而故选(B)．25、A是m×n矩阵，r(A)=r，B是m阶可逆方阵，C是m阶不可逆方阵，且r(C)＜r，则[]．A、BAx=0的基础解系由n一m个向量组成B、BAx=0的基础解系由n一r个向量组成C、CAx=0的基础解系由n一m个向量组成D、CAx=0的基础解系由n一r个向量组成标准答案：B知识点解析：Ax=0的基础解系含有n一r个解向量，又因矩阵B为可逆方阵，所以BAx=0与Ax=0是同解线性方程组，因而，应选(B)，而不选(A)．r(CA)≤min{r(A)，r(C))＜r，因而CAx=0的基础解系所含解向量个数大于n一r．由于矩阵C是一个不可逆矩阵，且r(C)＜r，矩阵A是m×n矩阵，r(A)=r，所以r(C)＜m，r(CA)≤min{r(A)，r(C))＜m，因而CAx=0的基础解系中所含解向量个数大于n—m，所以(C)和(D)都不正确．故选(B)．工程硕士（GCT）数学模拟试卷第6套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、P是数轴上的一定点，坐标为—1，Q是数轴上的一动点，若要求Q与P的距离不超过1，则点Q的坐标x的取值范围为[]．A、｜z—1｜＜1B、｜x—1｜≤1C、｜x＋1｜＜1D、｜x＋1｜≤1标准答案：D知识点解析：P点的坐标为—1，Q点的坐标为x，如图所示，P与Q的距离为｜x—(—1)｜＝｜x＋1｜，又P与Q的距离不超过1，即｜x＋1｜≤1．故选D．2、已知a，b，c是从小到大的3个相邻奇数．若ab＞132，bc＜342，且b是合数，则＝[]．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：由ab＞132＞121＝112，ab＜342＜361＝192可知11≤a＜b＜c≤19．根据b是合数可知a，b，c分别是13，15，17，所以．故选D．3、某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启动次数，从生产的一批洗衣机中任意抽取了5台，如果测得的每台无故障启动次数分别为11300，11000，10700，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为[]．A、10300B、10400C、10500D、10600标准答案：C知识点解析：这5台洗衣机的平均无故障启动次数为故选C．4、某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为x和y，若甲物品的价格在60元的基础上上涨10％，乙物品的价格在40元的基础上下降10％时，该产品的成本保持不变，那么x和y分别等于[]．A、50％，50％B、40％，60％C、60％，40％D、45％，55％标准答案：B知识点解析：每生产一单位的产品，需要甲物品和乙物品的量分别是x和y，其成本为60x＋40y．当甲、乙物品的价格改变后，其成本为66x＋36y，所以60x＋40y＝66x＋36y，从而，故x＝40％，y＝60％．故选B．5、把6个人分配到3个部门去调研，每部门去2人，则分配方案共有[]种．A、15B、105C、45D、90标准答案：D知识点解析：把6人先分为3组，每组2人，共有C62＝15种分法．然后再把这3组分配到3个部门，有P33＝6种分配方法．据乘法原理，总的分配方案有15×6＝90种．解这类有组合又有排列的问题，常常用先组合再排列的方法去考虑．故选D．6、某车间生产的一种零件中，一等品的概率是0．9．生产这种零件4件，恰有2件一等品的概率是[]．A、0．0081B、0．0486C、0．0972D、0．06标准答案：B知识点解析：4件产品中，2件一等品，2件非一等品的概率为C42×(0．1)2×(0．9)2＝0．0486．故选B．7、已知复数z的模｜z｜＝2，虚部Imz＝，实部Rez＜0，则z2＝[]．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：设复数x的实部为a，则，即a2＝1．因a＜0，所以a＝—1，得到．故选A．8、有下列3个不等式：①x—1＜(x—1)2，②，③4x＜2x＋1．则[]．A、①和②的解集相同B、②和③的解集相同C、③和①的解集相同D、①，②和③的解集各不相同标准答案：D知识点解析：不等式①化成x2—3x＋2＞0，其解集为(—∞，1)∪(2，＋∞)．不等式②化成不等式组其解集为(2，＋∞)．不等式③化成22x＜2x＋1，即2x＜x＋1，x＜1，解集为(—∞，1)．3个不等式解集各不相同．故选D．9、已知方程(x2—2x＋p)(x2—2x＋q)＝0的四个根构成一个首项为的等差数列，则｜p—q｜＝[]．A、1B、C、D、标准答案：C知识点解析：方程的4个根是二次方程x2—2x＋p＝0和x2—2x＋q＝0的根x1，x2，x3，x4．它们构成一个等差数列，设其公差为d．不妨设，x2＝x1＋d，x3＝x1＋2d，x4＝x1＋3d．因此有x1＋x4＝x2＋x3．而两个二次方程各自两根之和都等于2，所以x1和x4，x2和x3分别为两个方程的根，可以设x1＋x4＝2，x1x4＝P，x2＋x3＝2，x2x3＝q．已设．于是得故选C．10、{an}是等比数列，首项a1＜0，则{an}是递增数列的充分必要条件是公比q满足[]．A、q＜0B、q＜1C、q＞0D、0＜q＜1标准答案：D知识点解析：{an)是递增的等比数列，由a1＜0，a2＝a1q，a2＞a1，即a1q＞a1，就得到q＜1．但是如果q＜0，则a2＞0，a3＜0，与{an)递增矛盾．所以得到q＞0．在4个选项中只有选择D．事实上，若0＜q＜1，a1＜0，则数列a1，a1q，a1q2，…，a1qn—1，…各项都是负数，各项的绝对值是递减的，所以{an}是递增数列．故选D．11、记APQR的面积为S△PQR．已知△ABC的重心是G，P是△ABC内的一点，若，则P点[]．A、在△GAB内B、在△GBC内C、在△GCA内D、与G点重合标准答案：A知识点解析：画出△ABC，如图所示，对重心G有。对对于P点，已知，△PAB和△GAB有共同的底边AB，所以△PAB在AB边上的高为△GAB在AB边上高的一半，即P在△GAB平行于AB的中位线或其延长线上．同理分析△PCA在CA边上的高与△AGC在CA边上的高相等，若连PG，则PG／／AC．即可判定P在△GAB内．故选A．12、△ABC为锐角三角形．已知，｜BC｜＝5，则△ABC的面积等于[]．A、5B、C、D、10标准答案：D知识点解析：因为∠B和∠C均为锐角，由已知得故选D．13、已知平面向量a，b满足a＝(2，—1)，｜b｜＝1，则｜a—2b｜的最小值为[]．A、0B、C、D、标准答案：D知识点解析：设a，b的夹角为θ，则｜a—2b｜2＝(a—2b).(a—2b)＝｜a｜2＋4｜b｜2—4｜a｜｜b｜cosθ＝．当cosθ＝1时，｜a—2b｜最小，此时｜a—2b｜2＝．所以｜a—2b｜＝．故选D．14、如果直线l：x—2y＋2＝0过椭圆(a＞b＞0)的左焦点F1和短轴上的顶点(0，b)，则该椭圆的离心率等于[]．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：左焦点F1的坐标为(—c，0)，F1在l上，所以—c＋2＝0，c＝2．顶点(0，b)也在l上，所以—26＋2＝0，b＝1，故a2＝b2＋c2＝12＋22＝5。所以．故选D．15、棱长为1的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的面积等于[]．A、2πB、C、3πD、4π标准答案：C知识点解析：正方体的对角线是球的一条直径，设球的半径为r，则，即得．球面面积4πr2＝3π．故选C．16、设f(x)具有连续导数，且，则[]．A、f(0)＝0且f’(0)＝2B、f(0)＝0且f’(0)＝1C、f(0)＝—1且f’(0)＝2D、f(0)＝—1且f(0)＝1标准答案：C知识点解析：故选C．17、设则[]．A、f(x)在x＝0处间断B、f(x)在x＝0处连续但不可导C、f(x)在x＝0处可导，但导数在x＝0处不连续D、f(x)在x＝0处有连续导数标准答案：D知识点解析：首先注意到，这表明在x＝0附近有界且，所以(无穷小量乘有界量为无穷小量)，因而f(x)在x＝0处连续．所以f’(x)在x＝0处连续．故选D．18、在(0，＋∞)内，f’(x)＞0，若存在，则[]．A、在(0，＋∞)内f(x)＞0B、在(0，＋∞)内f(x)＜0C、在(0，1)内f(x)＞0，在(1，＋∞)内f(x)＜0D、在(0，1)内f(x)＜0，在(1，＋∞)内f(x)＞0标准答案：D知识点解析：因存在及x→2时分母的极限为0，所以(x—1)＝0．又f(x)可导，从而f(x)连续，故f(x—1)＝f(2—1)＝f(1)＝0．因f’(x)＞0，所以f(x)是严格单调递增的，于是，当x∈(0，1)时f(x)＜f(1)＝0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)＝0．故选D．19、在[e，e2]上的最大值为[]．A、0B、1C、2ln2D、标准答案：D知识点解析：I’(x)=(1/x)lnx，当x∈[e，e2]时，I’(x)＞0，所以I(x)在[e，e2]是单调递增函数，I(x)在e，e2]上的最大值是故选D．20、若lnx是f(x)的一个原函数，则｜xf(e—x)dx＝[]．A、x—x＋e—x＋CB、—xe—x—e—x＋CC、xex—ex＋CD、—xex＋ex＋C标准答案：C知识点解析：由原函数定义有f(x)＝(lnx)’＝，从而故选C．21、f(x)为连续函数，(a为常数)，则I＝[]．A、B、aC、2aD、0标准答案：A知识点解析：在中令a—x＝t，当x＝0时，t＝a；当x＝a时，t＝0；dx＝—dt．所以故选A．22、设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝0．若A的秩为3，则A的特征值为[]．A、1，1，1，0B、1，1，—1，0C、1，—1，—1，0D、—1，—1，—1，0标准答案：D知识点解析：因为A的秩为3，所以4阶实对称矩阵A有一个零特征值和三个非零特征值．设其非零特征值为λ，与λ对应的特征向量为x，则由A2＋A＝0可知(A2＋A)x＝(λ2＋λ)x＝0．故λ2＋λ＝0，即λ＝—1．故选D．23、设矩阵(aibi≠0，i，j＝1，2，…，n)，则矩阵A的秩为[]．A、0B、1C、nD、无法确定标准答案：B知识点解析：均为n维列向量．因此r(A)＝r(αβT)≤r(α)≤1，这说明A的秩要么是0，要么是1．又A中有非零元素a1b1≠0，所以A的秩是1．故选B．24、向量组α1＝(—1，—2，—1，1)T，α2＝(1，3，2，—1)T，α3＝(0，1，1，0)T，α4＝(1，4，3，—4)T的极大线性无关组是[]．A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α1，α2D、α3，α4标准答案：B知识点解析：A＝(α1，α2，α3，α4)＝＝(β1，β2，β3，β4)，显然r(α1，α2，α3，α4)＝r(A)＝r(B)＝3，α2，α3，α4为向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组．故选B．25、设α1，α2，α3均为三维向量，α2，α3线性无关，α1＝α2—2α3，A＝(α1，α2，α3)，b＝α1＋2α2＋3α3，k为任意常数，则线性方程组Ax＝b的通解为[]．A、k(1，—1，2)T＋(1，2，3)TB、k(1，2，3)T＋(1，—1，2)TC、k(1，1，—2)T＋(1，2，3)TD、k(1，2，3)T＋(1，1，—2)T标准答案：A知识点解析：b＝(α1，α2，α3)所以η＝(1，2，3)T是非齐次线性方程组的一个特解．系中含有一个解向量．因α1—α2＋2α3，即(α1，α2，α3)＝0，所以ξ＝(1，—1，2)T是齐次线性方程组的一个非零解．因此，方程的通解为k(1，—1，2)T＋(1，2，3)T．无法判断k(1，2，3)T＋(1，1，—2)T为齐次线性方程组的解，因此不选B，C，D。故选A。工程硕士（GCT）数学模拟试卷第7套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为n(n+2)=[(n+1)一1]×[(n+1)4-1]=(n+1)2一1，即n(n+2)+1=(n+1)2，所以故选(B)．2、已知对任意的正整数都成立，则an=[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：故选(D)．3、甲、乙两台车床3h共生产某种零件210个．两台车床同时生产这种零件，在相同时间内甲车床生产了666个，乙车床生产了594个．甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为[]．A、33，37B、37，33C、99，111D、111，99标准答案：B知识点解析：设甲车床生产666个零件所用时间为t(h)，则有=210，解得t=18，从而．即甲、乙两台车床每小时生产的零件个数分别为37和33．故选(B)．4、一列火车通过一座长为600m的桥梁用了15s，经过一根电杆用了5s，此列火车的长度为[]m．A、150B、200C、300D、400标准答案：C知识点解析：列车经过一根电杆用了5s，这说明列车用5s走过它自己的长度，同时列车用15s走过它的全长再加600m，因此列车走600m要用10s，5s走300m，因此列车长度为300m．故选(C)．5、设Ω1是底面直径与高均为2R的圆柱体，Ω2是Ω1的内切球体，K1是Ω1与Ω2的体积之比，K2是Ω1与Ω2的表面积之比，则K1，K2的值分别是[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：记Ωi(j=1，2)的体积为Vj，表面积为Sj，则V1=πR2．2R=2nR3，V2=πR3，S1=2πR．2R+2πR2=6πR2，S2=4πR2由此得故选(A)．6、从5位男教师和4位女教师中选出3人担任班主任，这3位教师中男、女教师都有的概率是[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：从9位教师中选3位，共有C93种不同选法．其中二男一女和一男二女的选法共有C52C41+C51C42种．所求概率为故选(B)．7、下列4个式子中，对一切非零实数x都成立的是[]．A、=sin｜x｜B、lnx2=2ln｜x｜C、arcsin(sinx)x=xD、=e|x|标准答案：B知识点解析：=｜sinx｜．所以(A)式子左端一定是非负数，而sin｜x｜可以是负数，(A)不对一切非零实数成立．由反正弦函数的性质，(C)中式子只对x∈时，sinx=-1，而arcsin(sinx)=arcsin(一1)=一，所以不能选(C)．(D)中式子左端，开方运算不是对x2的．所以(D)也不成立．只有(B)对一切非零实数x成立．故选(B)．8、已知a＞1，不等式＞a一x的解集是[]．A、(1，+∞)B、(，+∞)C、(a，+∞)D、标准答案：B知识点解析：设函数y=，两边平方得x2一y2=1，此函数的图像是等轴双曲线在x轴上方的部分(见图)．又设函数y=a一x，其图像是与双曲线一条渐近线平行的直线，它与y轴交于点(0，a)．直线与双曲线交点为P，其横坐标为x*=．当x＞x*时双曲线图像在直线图像上方．故选(B)．9、已知x＞0，y＞0，且x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是[]．A、0B、1C、2D、4标准答案：D知识点解析：x，a，b，y成等差数列，所以x+y=a+b．x，c，d，y成等比数列，所以xy=cd．当且仅当x=y时等号成立．故选(D)．10、如图所示，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB=2BC，且BC=2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则[]．A、CD=，∠DAB=30°B、CD=4，∠DAB=30°C、CD=，∠DAB=45°D、CD=4，∠DAB=45°标准答案：A知识点解析：由AB=2BC，BC=2得OC=4，OB=2．连结OD，因为OD⊥CD，所以△ODC是直角三角形，所以又因为OC=20D，所以圆心角∠DOB=60°，所以圆周角∠DAB=∠DOB=30°．故选(A)．11、下列四个选项的数中最大的是[]．A、(ln2)2B、ln(ln2)C、D、ln2标准答案：D知识点解析：函数y=lnx为单调递增函数，对数的底e＞2，所以0＜ln2＜1，故有(ln2)2＜ln2，＜ln2，ln(ln2)＜0＜ln2．故选(D)．12、AABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．已知则∠B等于[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由已知条件及正弦定理有故选(D)．13、已知a∈R，函数f(x)=x2+，则下列命题为真命题的是[]A、对一切a∈R，f(x)在(0，+∞)是增函数B、对一切a∈R，f(x)在(0，+∞)是减函数C、存在一个a∈R，使f(x)是偶函数D、存在一个a∈R，使f(x)是奇函数标准答案：C知识点解析：若取a=0，则f(r)=x2为偶函数，所以(C)为真命题．故选(C)．注意当a=0时，f(x)=x2在(0，+∞)不是减函数，故(B)为假命题．若取a=1，则f(x)=x2+时，f’(x)＜0，f(x)在(0，+∞)不是增函数，故(A)为假命题．而对所有a∈R，f(x)+f(一x)=x2+=2x2，所以f(x)=一f(一x)不能恒成立，即f(x)不是奇函数，故(D)也是假命题．故选(C)．14、椭圆=1的焦点为F1，F2．点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则=[]．A、8B、7C、6D、5标准答案：B知识点解析：因为c2=a2一b2=12—3=9，故c=3．所以F1，F2两点的坐标分别为(一3，0)，(3，0)。PF1中点在y轴上，故可设P(3，y)。代入椭圆方程，有=7．故选(B)．15、如图所示，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54cm2，OB的长为9cm，OD的长为16cm，此长方形的面积为[]cm2．A、300B、192C、150D、96标准答案：A知识点解析：阴影部分直角三角形面积为54cm2，OB=9cm，因此△ABD的面积等于BD．AO，因此长方形面积为BD．AO=(BO+OD)．AO=(9+16)×12=300(cm2)．故选(A)．16、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜x｜)，若要使F(x)在x=0处可导，则必有[]．A、f(x)=0B、f(0)=1C、f’(0)=0D、f’(0)=1标准答案：A知识点解析：要使故选(A)．17、设f(lnx)=，则∫f(x)dx=[]．A、e-xln(1+ex)一x+1n(1+ex)+CB、一e-xln(1+ex)一x+ln(1+ex)+CC、一e-xln(1+ex)+z—ln(1+ex)+CD、e-xln(1+ex)+x—ln(1+ex)+C标准答案：C知识点解析：故选(C)．18、函数f(x)在[a，b]内有定义，其导数f’(x)的图形如图所示，则[]．A、x1，x2都是极值点B、(x1，f(x1))，(x2，f(x2))都是拐点C、x1是极值点，(x2，f(x2))是拐点D、(x1，f(x1))是拐点，x2是极值点标准答案：D知识点解析：在x1处，f(x)由单调递减变为单调递增，因此曲线f(x)由凸变为凹，于是(x1，f(x1))是曲线的拐点；在x2处，f’(x2)=0，f’(x)的符号由负变为正，因此x2是f(x)的极小值点．故选(D)．19、设f(x)是连续函数，且∫01f(x)dx=2，令g(x)=∫01f(xt)dt，已知g’(1)=1，则f(1)=[]．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：在g(x)=∫01f(xt)dt中，令xt=u，则dt=且当t=0时，u=0；当t=1时，u=x．于是在上式中令x=1，得g’(1)=f(1)一∫01f(u)du，所以f(1)=g’(1)+∫01f(u)du=1+2=3．故选(C)．20、设f(a一x)g(x)dx=∫bcf(x)g(a一x)dx(a≠0)，则必有[]。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：在f(a—x)g(x)dx中，令a一x=t，则当x=a时，t=0，当x=，且dx=一dt，因此有故选(A)．21、已知抛物线y=px2+x(其中p＜0)在第一象限内与直线x+y=5相切，则此抛物线与x轴所围的面积S=[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因直线x+y=5与抛物线y=px2+x相切，所以它们有唯一的公共点，由方程组得px2+2x-5=0，其判别式必等于零，即△=22一4×p×(一5)=4+20p=0，从而得p=一x2+x．抛