新高考数学一轮复习讲与练第21讲 空间向量在立体几何中的应用（练理科专用）（原卷版）

第04讲空间向量在立体几何中的应用一、单选题1．如图所示，若正方体SKIPIF1<0的棱长为a，体对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点O，则有（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三向量共面，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．33．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，E，F分别在棱SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0​ B．2 C．SKIPIF1<0​ D．SKIPIF1<0​二、填空题5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则二面角A-PB-C的余弦值为______．6．下列结论中，正确的序号是________．①若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，则存在实数x、y，使得SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共面，则不存在实数x、y，使得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共线，则存在实数x、y，使得SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面．三、解答题7．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一点.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的中点，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角大小.8．如图，已知圆锥的顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0上的一点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0.(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.9．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．10．如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.一、单选题1．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若SKIPIF1<0＝xSKIPIF1<0＋ySKIPIF1<0＋zSKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<03．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为SKIPIF1<0的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角SKIPIF1<0的平面角大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题5．化学中，晶体是由大量微观物质单位（原子、离子、分子等）按一定规则有序排列的结构．构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点），则图中原子连线BF与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则SKIPIF1<0________.三、解答题7．如图所示，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：PA∥平面MBD；(2)若AB=AD=PA=2，∠BAD=120°，求二面角B-AM-D的正弦值．9．如图所示，多面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.10．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0为等腰三角形.(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值的取值范围.11．如图多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.一、解答题1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0的中点，E为SKIPIF1<0的中点，F为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，点F在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0的面积最小时，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0．设M，N分别为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．4．（2022·全国·高考真题）如图，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．5．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)求PD与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．6．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别为SKIPIF1<0，AC的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．7．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为4，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求A到平面SKIPIF1<0的距离；(2)设D为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．8．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0