新高考数学一轮复习讲与练第18讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（练）（解析版）

第01讲空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（讲）一、单选题1．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，SKIPIF1<0底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SKIPIF1<0，则这个“阳马”的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把四棱锥SKIPIF1<0补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥SKIPIF1<0的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥SKIPIF1<0补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥SKIPIF1<0的外接球直径，设球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，球表面积为SKIPIF1<0．故选：C．2．如图，平行四边形SKIPIF1<0是水平放置的一个平面图形的直观图，其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则原图形的面积是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为SKIPIF1<0，计算即可.【详解】解：平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以平行四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以原平面图形的面积是SKIPIF1<0.故选：B3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成SKIPIF1<0角，则这个圆台的侧面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案.【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：则圆台的高SKIPIF1<0，上底面半径SKIPIF1<0，下底面半径SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，母线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，圆台的侧面积SKIPIF1<0.故选：B.4．如图，已知正方体的棱长为SKIPIF1<0，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0，所以面积为SKIPIF1<0，所以拼成的几何体的表面积为SKIPIF1<0.故选：C.5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，还原回原图形后，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以原图形的面积为SKIPIF1<0．故选：D6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，SKIPIF1<0，当底面ABC水平放置时，液面高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用相似比得到四边形SKIPIF1<0和三角形SKIPIF1<0的面积比，再根据等体积的思路列等式即可求解.【详解】如图，设SKIPIF1<0靠近点SKIPIF1<0的三等分点为点SKIPIF1<0，当底面SKIPIF1<0水平放置时，液面高度为SKIPIF1<0，此时液体体积SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.二、填空题7．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0两两互相垂直，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，将三棱锥补形为立方体，从而求出立方体的体对角线即为外接球的直径，求出半径，进而求出外接球的体积.【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0两两互相垂直，所以三棱锥SKIPIF1<0可补形为立方体，三棱锥SKIPIF1<0的外接球即为立方体的外接球，则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥SKIPIF1<0的外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则外接球体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．圆锥SKIPIF1<0轴截面的顶角为SKIPIF1<0，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0为圆锥的任意两条母线，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后利用三角形的面积公式表示出SKIPIF1<0，从而可求出其范围.【详解】设SKIPIF1<0为圆锥的任意两条母线，SKIPIF1<0，则由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<09．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】设球的半径为SKIPIF1<0，计算出圆柱和球的表面积，即可得解.【详解】设球的半径为SKIPIF1<0，则圆柱的表面积SKIPIF1<0，球的表面积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题10．如图，直三棱柱SKIPIF1<0的体积为4，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．求A到平面SKIPIF1<0的距离；【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等体积法求出棱锥的高即可.【详解】在直三棱柱SKIPIF1<0中，设点A到平面SKIPIF1<0的距离为h，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.11．如图，已知正三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，侧面上的斜高SKIPIF1<0，求经过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0且平行于底面的截面SKIPIF1<0的面积（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）．【答案】SKIPIF1<0.【分析】利用正三棱柱的性质可得SKIPIF1<0，根据面面平行的性质可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，即得.【详解】连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵棱锥SKIPIF1<0是正三棱锥，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中心，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴截面SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．一、单选题1．公元SKIPIF1<0年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体SKIPIF1<0，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与SKIPIF1<0的体积相同的是（

）A．图①，长为SKIPIF1<0､宽为SKIPIF1<0的矩形的两端去掉两个弦长为SKIPIF1<0､半径为SKIPIF1<0的弓形B．图②，长为SKIPIF1<0､宽为SKIPIF1<0的矩形的两端补上两个弦长为SKIPIF1<0､半径为SKIPIF1<0的弓形C．图③，长为SKIPIF1<0､宽为SKIPIF1<0的矩形的两端去掉两个底边长为SKIPIF1<0､腰长为SKIPIF1<0的等腰三角形D．图④，长为SKIPIF1<0､宽为SKIPIF1<0的矩形的两端补上两个底边长为SKIPIF1<0､腰长为SKIPIF1<0的等腰三角形【答案】B【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，根据在SKIPIF1<0轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体SKIPIF1<0母线长对比可排除③④；假设SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得SKIPIF1<0与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于两点时，内圆半径SKIPIF1<0，则在该位置旋转一周所得圆环面积为SKIPIF1<0；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，对于③，双曲线实轴长为SKIPIF1<0，③中SKIPIF1<0轴的最短距离为SKIPIF1<0，不合题意，③错误；对于④，几何体SKIPIF1<0母线长为SKIPIF1<0，④中SKIPIF1<0轴的最长距离为SKIPIF1<0，不合题意，④错误；对于①，在SKIPIF1<0轴的最短距离为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，与几何体SKIPIF1<0吻合；当SKIPIF1<0与①中图形相交时，两交点之间距离为SKIPIF1<0，此时圆环面积为SKIPIF1<0，不合题意，①错误对于②，在SKIPIF1<0轴的最长距离为SKIPIF1<0，矩形高为SKIPIF1<0，与几何体SKIPIF1<0吻合；当SKIPIF1<0与②中图形相交时，两交点之间距离为SKIPIF1<0，此时圆面积为SKIPIF1<0，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B.2．半径为SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内边长为SKIPIF1<0的正三角形，线段SKIPIF1<0分別与球面交于点SKIPIF1<0，那么三棱锥SKIPIF1<0的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出SKIPIF1<0的面积及三棱锥的体积.【详解】连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为直径，所以SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必过点SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故选：A3．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0上移动，且SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起来得到棱锥SKIPIF1<0，则该棱锥的体积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意，可得SKIPIF1<0的具体形状，由折叠，可得当面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时，此时的点SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离最大，设SKIPIF1<0，将四棱锥中底面积和高，都用SKIPIF1<0表示出来，整理出体积的函数，利用导数求最值，可得答案.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0为直角，对SKIPIF1<0的任何位置，当面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时，此时的点SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离最大，此时SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角，设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0时，该棱锥的体积最大，为SKIPIF1<0.故选：C.4．如图所示，正方形SKIPIF1<0的边长为2，切去阴影部分后，剩下的部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设围成的正四棱锥的一个侧面为三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0于点H，然后根据图形的特征表示出SKIPIF1<0，从而可表示出正四棱锥的侧面积，化简后结合基本不等式可求出其范围.【详解】如图，设围成的正四棱锥的一个侧面为三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0于点H，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴正四棱锥的侧面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，因为SKIPIF1<0，所以取不到等号，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴S的取值范围为SKIPIF1<0，故选：D．5．在三棱锥SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，如图是其底面SKIPIF1<0用斜二测画法所画出的水平放置的直观图SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据斜二测画法，还原可得SKIPIF1<0的三边长，由正弦定理与余弦定理，求得SKIPIF1<0的外接圆圆心和半径，过该圆心作底面垂线，设出三棱锥外接球的球心，构造直角三角形可得半径，可得答案.【详解】根据斜二测画法，还原图象可得：由题意可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理，可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理，可得SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0作图如下：作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取点SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，则SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，易知四边形SKIPIF1<0为正方形，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积SKIPIF1<0.故选：D.二、填空题6．已知四边形SKIPIF1<0是边长为3的菱形，把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得点D到达点P，则三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，其外接球半径为_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】利用三棱锥体积最大时平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求出体积函数，利用导数求最大值，确定SKIPIF1<0，再由球截面的性质确定球心，根据正弦定理求截面圆半径，据此求出SKIPIF1<0,再由勾股定理求出球的半径.【详解】取SKIPIF1<0中点G，连接SKIPIF1<0，如图，当三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0时三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设E，F分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的外接圆圆心，圆的半径为SKIPIF1<0，过点E作平面SKIPIF1<0的垂线，过点F作平面SKIPIF1<0的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心，由正弦定理可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，所以外接球半径SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，其外接球半径SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据祖暅原理构造一个圆柱挖去一个圆锥的模型即可.【详解】设瓷碗所在球的半径为R，则有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设从瓷碗截面圆心SKIPIF1<0处任意竖直距离SKIPIF1<0（SKIPIF1<0也可在SKIPIF1<0下方，此时SKIPIF1<0）如图1所示，则瓷碗的截面圆半径SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，图2中,在以过球心的截面圆为底面圆，以SKIPIF1<0为高的圆柱中挖去一个等底等高的圆锥，易知SKIPIF1<0，故圆环面积也为SKIPIF1<0，即在求瓷碗体积时，符合祖暅原理，（备注：瓷碗是图3中上方倒扣的部分）当SKIPIF1<0时，如图4所示：此时：SKIPIF1<0由祖暅原理得：图3中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间部分几何体的体积：SKIPIF1<0圆柱的体积SKIPIF1<0圆锥的体积SKIPIF1<0，所以瓷碗的体积SKIPIF1<0（注：半球体积SKIPIF1<0SKIPIF1<0）故答案为：SKIPIF1<0.8．如图所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，棱柱的侧面均为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一动点，则SKIPIF1<0的最小值为_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】连接SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0所在直线为轴，将SKIPIF1<0所在平面旋转到平面SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的新位置为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解SKIPIF1<0即可.【详解】连接SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0所在直线为轴，将SKIPIF1<0所在平面旋转到平面SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的新位置为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0三点共线时，则SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0的最小值.在三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.

同理可求：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，所以在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0三、解答题9．近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于SKIPIF1<0与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有SKIPIF1<0个面角，每个面角是SKIPIF1<0，所以正方体在各顶点的曲率为SKIPIF1<0，故其总曲率为SKIPIF1<0.(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为SKIPIF1<0，棱数为SKIPIF1<0，面数为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.【解析】（1）四棱锥有SKIPIF1<0个顶点,SKIPIF1<0个三角形面,SKIPIF1<0个凸四边形面,故其总曲率为SKIPIF1<0（2）设多面体有SKIPIF1<0个面,给组成多面体的多边形编号,分别为SKIPIF1<0号.设第SKIPIF1<0号SKIPIF1<0多边形有SKIPIF1<0条边.则多面体共有SKIPIF1<0条棱.由题意，多面体共有SKIPIF1<0个顶点.SKIPIF1<0号多边形的内角之和为SKIPIF1<0,故所有多边形的内角之和为SKIPIF1<0故多面体的总曲率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以满足题目要求的多面体的总曲率为SKIPIF1<0.一、单选题1．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为SKIPIF1<0，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱SKIPIF1<0及直三棱柱SKIPIF1<0组成，作SKIPIF1<0于M，如图，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为重叠后的底面为正方形，所以SKIPIF1<0,在直棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BHC，则SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设重叠后的EG与SKIPIF1<0交点为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0则该几何体的体积为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：SKIPIF1<0），则该几何体的体积（单位：SKIPIF1<0）是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圆台的下底面半径为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以该几何体的体积SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C．3．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔SKIPIF1<0时，相应水面的面积为SKIPIF1<0；水位为海拔SKIPIF1<0时，相应水面的面积为SKIPIF1<0，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0时，增加的水量约为（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为SKIPIF1<0(m)，所以增加的水量即为棱台的体积SKIPIF1<0．棱台上底面积SKIPIF1<0，下底面积SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C．4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径SKIPIF1<0，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设球心到上下底面的距离分别为SKIPIF1<0，球的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0符合题意，所以球的表面积为SKIPIF1<0．故选：A．5．（2022·全国·高考真题（理））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积SKIPIF1<0.故选：B.6．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为SKIPIF1<0，侧面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，体积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设母线长为SKIPIF1<0，甲圆锥底面半径为SKIPIF1<0，乙圆锥底面圆半径为SKIPIF1<0，根据圆锥的侧面积公式可得SKIPIF1<0，再结合圆心角之和可将SKIPIF1<0分别用SKIPIF1<0表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为SKIPIF1<0，甲圆锥底面半径为SKIPIF1<0，乙圆锥底面圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以甲圆锥的高SKIPIF1<0，乙圆锥的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为SKIPIF1<0，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为SKIPIF1<0又设四棱锥的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为SKIPIF1<0，底面所在圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以该四棱锥的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高SKIPIF1<0.故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为SKIPIF1<0，底面所在圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以该四棱锥的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0．故选：C.8．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥SKIPIF1<0的六条棱长均为6，S是SKIPIF1<0及其内部的点构成的集合．设集合SKIPIF1<0，则T表示的区域的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出以SKIPIF1<0为球心，5为半径的球与底面SKIPIF1<0的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点SKIPIF1<0在底面上的投影为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆，而三角形SKIPIF1<0内切圆的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的轨迹圆在三角形SKIPIF1<0内部，故其面积为SKIPIF1<0故选：二、多选题9．（2022·全国·高考真题）如图，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记三棱锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的体积分别为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】直接由体积公式计算SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0，依次判断选项即可.【详解】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四边形SKI