高中数学学业水平考试精 品讲义及专题训练04 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（教师版）

学考专题04函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）考点归纳考点归纳定义域①分式函数定义域：②偶次根式函数的定义域：③次幂型函数的定义域：④对数函数的定义域：⑤正切函数的定义域：单调性单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：真题训练真题训练一、单选题1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，且，则（

）A．1 B．3 C．4 D．7【答案】C【分析】直接由偶函数求函数值即可.【解析】由偶函数的性质得.故选：C.2．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，在其定义域上是增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【解析】对于A选项，函数在定义域上为减函数，A不满足条件；对于B选项，函数在定义域上不单调，B不满足条件；对于C选项，函数在定义域上为增函数，C满足条件；对于D选项，函数在定义域上不单调，D不满足条件.故选：C.3．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B． C．y=|x| D．【答案】D【分析】判断每个函数的奇偶性与单调性得答案.【解析】，都是奇函数，排除A，B.，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D．4．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.【解析】、是奇函数，不符合题意.在上单调递减，不符合题意.是偶函数，且，所以在上单调递增.故选：D5．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数在上不是增函数的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【解析】解：对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在上单调递增，在上单调递减，故B错误；对于C：在定义域上单调递减，故C正确；对于D：，函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误；故选：C6．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案.【解析】对于A，在区间上是增函数，故A错误；对于B，在区间上是减函数，故B正确；对于C，在上单调递增，故C错误；对于D，在区间上是增函数，故D错误；故选：B.7．（2023·广东·高三统考学业考试）若函数是偶函数，则可取一个值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的定义得,结合选项可确定答案.【解析】∵函数是偶函数，∴，即.∴或.当时，可得，不满足函数定义.当时，,若，解得，故A错误;若，解得，故B正确;若，解得，故C错误;若，解得，故D错误;故选:B.8．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围【解析】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D9．（2023秋·广东·高三统考学业考试）偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（

）A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值【答案】A【分析】根据偶函数的性质分析即得解.【解析】解：偶函数在区间上单调递减，则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增，即有最小值为，最大值对照选项，A正确．故选：A10．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（

）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】C【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.【解析】令，则,且，既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令，则,且，是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C11．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则(

)A．－12 B．12 C．9 D．－9【答案】B【分析】先计算出，然后利用函数的奇偶性即可完成.【解析】，因为函数是定义在上的奇函数，所以，故选：B.12．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知奇函数的图象经过点，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据以及函数的奇偶性确定正确答案.【解析】A选项，，A选项错误.B选项，，B选项错误.C选项，是偶函数，C选项错误.D选项，为奇函数，符合题意.故选：D13．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知定义在R上的偶函数在是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由偶函数和在单减直接比较大小即可求解.【解析】由函数为偶函数，在单减，则，，所以.故选：D14．（2023·广东·高二统考学业考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.【解析】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，所以f（x）在区间上单调递减，因为，所以，所以，解得，所以a的取值范围是，故选：C二、填空题15．（2022秋·广东·高二统考学业考试）函数是上的偶函数，当时，，则．【答案】9【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【解析】是偶函数，所以.故答案为：16．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是偶函数，当时，，则.【答案】【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【解析】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.17．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的奇函数，当时，，则＝；【答案】－6【分析】运用奇函数性质即可求得结果.【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，又因为当时，，所以，所以.故答案为：.18．（2023·广东·高三统考学业考试）已知是奇函数，且当时，.若，则.【答案】-3【分析】当时，代入条件即可得解.【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．【方法小结】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．19．（2023·广东·高三学业考试）已知是定义在R上的偶函数，当x≥0时，，则不等式的解集是；【答案】【分析】判断函数当时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解析】∵当x≥0时，，∴偶函数在[0,＋∞)上单调递增，且，所以，即，∴，解得.故答案为：.20．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数，则的值是【答案】2【分析】由偶函数的定义求解即可【解析】因为函数为偶函数，所以，所以，所以，所以，故答案为：221．（2023·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则.【答案】9【分析】根据题意，结合，代入即可求解.【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，则.故答案为：.22．（2023·广东·高三学业考试）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为.【答案】【分析】当时，，由可得结果.【解析】当时，，.故答案为：.23．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数对任意，都有成立．有以下结论：①；②是上的偶函数；③若，则；④当时，恒有，则函数在上单调递增．则上述所有正确结论的编号是【答案】①③【分析】对于①，通过赋值可得，①正确；对于②，通过赋值可证为奇函数，②错误；对于③，通过赋值可得，③正确；对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证在上单调递减，④错误．【解析】对于①令，则，解得，①正确；对于②令，则，∴，∴是上的奇函数，②错误；对于③令，则，∴，③正确；对于④设，则，∴，则，∴在上单调递减，④错误．故答案为：①③．三、解答题24．（2023·广东·高三统考学业考试）函数，（且）(1)讨论的奇偶性(2)若函数的图像经过点,求．【答案】(1)偶函数；(2)【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断的奇偶性；(2)根据函数的图象经过点，可以求出的值，然后求．【解析】解：(1)函数定义域为，，且．，是偶函数．(2)的图象过点，即，解得或且，或．即．25．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数f(x)＝x2＋2|x－a|，a∈R．(1)若f(x)为偶函数，求a的值；(2)若函数g(x)＝af(x)＋2的最小值为8，求a的值．【答案】(1)0(2)2【分析】（1）利用偶函数的定义，列出关系式，即可求出a的值；（2）化简函数为分段函数，通过讨论a的范围，列出关系式求解即可．【解析】（1）因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故x2＋2|－x－a|＝x2＋2|x－a|，所以|x＋a|＝|x－a|，即x2＋2ax＋a2＝x2－2ax＋a2，化简得4ax＝0，因为x∈R，所以a＝0．（2）①若a＝0，则g(x)＝2，不合题意；②若a＜0，则g(x)无最小值，不合题意；③若0＜a≤1，当x≥a时，g(x)在[a，＋∞)上