高斯数学五年级

第一讲巧算小数运算

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(1)小数的加法、减法、乘法、除法的运算法则，力口、减、乘、除混合运算的运算顺序。

(2)运算定律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律和乘法分配律。

(3)商不变性质。

(4)积不变的性质：若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，则积不变。

(5)补数定义：如果两数的和恰好能凑成10,100,1000,…那么，其中的一个数就叫做另一个数的

补数，且这两个数互为补数。

(6)会用a?—人2=(a+/?)x(a-b)

例题精讲

例1：计算：72.19+6.48+27.81-1.38-5.48-0.62

练习

计算：176.2+348.3+42.47+252.5+382.23

例2：计算：1.25x67.875+125x6.7875+1250x0.053375

练习：计算：4.65x32+2.5x46.5+0.465x430

例3：计算:

1999+199.9+19.99+1.999

练习

1888+188.8+18.88+1.888

例4：计算:

(1+0.33+0.44)x(0.33+0.44+0.55)-(1+0.33+0.44+0.55)x(0.33+0.44)

练习

(1+0.23+0.45)x(0.45+0.67+0.89)-(1+0.45+0.67+0.89)x(0.23+0.45)

例5：计算：I2-22+32-42+52-62+----1002+1012

练习

计算：21234-42+62-82+102-122----482+502

课堂练习：

1,(0.1+0.12+0.123+0.1234)X(0.12+0.123+0.1234+0.12345)-(0.1+0.12+0.123+0.1234

+0.12345)X(0.12+0.123+0.1234)

2、2.32.14+64.28X0.5378X0.25+0.5378X64.28X0.75-8X64.28X0.125X0.5378

3、32-42+52-62+---2002+2012

家庭作业

1.3.49+4.47+3.51+2.38+4.53+2.62

2.0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999

3.0.035x935+0.035+3x0.035+0.07x61x0.5

4.19.98x37-199.8x1.9+1998x0.82

5.3.14x6.5+4.5x3.14-3.14

6.26.25+73.75x0.35+0.65x73.75

挑战自我：★★★★★

计算:A=0.000---0125,B=0.000--08,求A+B,AXB的值。

、、，J、________J

10个0

第二讲平均数问题

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(1)用“总数量♦总分数=平均数”直接求平均数。

(2)借助“整体思考法”巧解题。

(3)用“移多补少法”巧解题。

(4)借助“整数化”巧解题。

例1：小张、小李两人的平均身高是1.70米，小李、小王两人的平均身高是1.74米，小王、小张两

人的平均身高是1.60米。问：小李、小张、小王三人的平均身高是多少米？

练习

A、B、C、D四位小朋友在一次测试中，A、B、C三人的平均成绩是80分；B、C、D三人的平均分

是85分；A、C、D三人的平均分是83分；A、B、D三人的平均成绩是82分。问：A、B、C、D四

人的平均成绩是多少分？

例2：赵钱孙李四个小朋友，每两人合称一次体重，一共称了6次，其平均体重分别是34.5,33.5,

36.0,35.0,37.5,36.5（单位：千克）。问：这四位小朋友的平均体重是多少千克？

练习：甲乙丙三个物体，两两合称一次，一共称三次，分别是30千克、28千克、26千克。问：这三

个物体平均重多少千克？

例3：有1000名大学毕业生参加公务员考试，录取了150人。录取者的平均成绩与未录取的平均成

绩相差38分，全体考生的平均成绩是55分。已知录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分，问：录

取分数线是多少分？

练习

200名小学生参加英语竞赛，有24名学生获奖。获奖者的平均成绩与未获奖的平均成绩相差35分，

全体参赛的学生平均成绩是60分。已知获奖分数线比获奖者的平均成绩少5.8分，问：获奖分数线

是多少分?

例4：A、B、C、D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了4次，得到这样的4

个数：45,60,65,70o问：A、B、C、D这四个数的平均数是多少？

练习

有五个数A、B、C、D、E每次去掉一个数，将其余4个数求平均数，这样计算5次，得到这样5个数:

17,25,27,32,390求A、B、C、D、E这五个数的平均数。

例5：某次考试，甲，乙，丙，丁四个人的成绩统计如下：甲、乙、丙三人的平均成绩为94分，乙、

丙、丁三人的成绩为92分，甲、丁两人的平均成绩是96分。问：甲得了多少分？

练习

某次考试，A、B、C、D、E五人成绩统计如下：A、B、C、D四人的平均分75分；A、C、D、E四人平

均分为70分；A、D、E三人的平均分为60分；B、D两人的平均分为65分。求A得了多少分？

课堂练习：

1、小明骑自行车从甲地到乙地，去时平均每小时行10千米，沿原路返回时平均每小时行15千米,

小明骑自行车从甲地到乙地往返的平均速度是多少？

2、某校数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人。现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得

二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等

奖平均分多多少分？

3、有A、B、C、D、E、F、G、H八个数成等差数列，已知D、E两数的平均数是9,则有A、B、C、D、

E、F、G、H这八个数的平均数是多少？它们的和是多少？

家庭作业

1、设有A、B、C三个数，其中A和B相加是200,A和C相加是150,B和C相加是160.求A、B、C

这三个数的平均值。

2、甲、乙、丙、丁四个数，每次去掉一个数，将其余三个数平均，这样计算4次，得到50、38、52、

46。求四个数的平均数。

3、甲数是240,乙数是甲数的3倍少30,丙数比乙数的2倍少180,求这三个数的平均数是多少？

4、有40个数的平均数是36。若划去其中两个数，划去的两个数的和是110,那么剩下的数的平均数

是多少？

5.李明在一次考试中，数学得90分，语文得92分，英语得87分，政治因病缺考，他要使自己的4

科的平均分达到90分，在补考政治时，至少要得多少分？

6.已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10,甲、乙两数的平均数是8,求丙、丁两数的平均数？

挑战自我：★★★★★

有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另一个数。用这样的方法计算了4次,

分别得到以下四个数：26、30、36、40,那么原来的四个数中最大的一个数是多少？

第三讲容斥原理

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容斥问题涉及到一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复

包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么

具有性质a或性质b的事物的个数=也十凡一心。

例题精讲

例1：某班40名同学都在做语文和数学作业，其中，26人做完了语文作业，18人做完了数学作业。

现在已经有5人两门作业都做完了，求这两门作业都没有做完的有多少名同学？

练习

36个学生在回答两个问题时，答对第一题的有23人，答对第二题的有25人，两题都答对的有14人,

问：两题都没有答对的有多少人？

例2：在1至U100的自然数中，能被5或7整除的数共有多少个?

练习：在1到500这500个数中，既不是完全平方数，又不是立方数的数共有多少个?

例3：希望小学的318名学生去游乐园玩耍。其中参加划船的有156人，乘电动飞机的有196人，坐

碰碰车的130人；既参加划船又坐碰碰车的有74人，既参加划船又乘电动飞机的有80人，既乘电动

飞机又坐碰碰车的有40人。问：三种活动都参加的有多少人？

练习

某班50名学生手中分别拿红黄蓝三种旗做游戏。已知34人手中有红旗，26人手中有黄旗，18人手

中有蓝旗，15人手中有红黄两种旗，10人手中有黄、蓝两种旗，9人手中有红蓝两种旗。求手中有

红、黄、蓝三种旗的有多少人？

例4：某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目，有4名学生在这三个项目都没有达到优

秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分学生达到优秀的项目如图所示：求这个班的学生人数。

短跑游泳篮球短跑、游游泳、篮篮球、短游泳、短

泳球跑跑、篮球

1718156652

练习

某班在一次达标测试中，测得26人短跑达标，30人铅球达标。其中短跑和铅球都达标的有12人,

另外有8人这两项都没有达标。问：这个班一共有多少名学生？

例5：50名学生面向老师站成一排，按从左往右的顺序报数：1,2,3,…，50o报完后，老师让所

有报数的4的倍数的学生向后转，接着又让所有报数是6的倍数的学生向后转。问：此时还有多少名

学生面向老师？

课堂练习：

1、在1到100的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个?

2、某学校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。已知参

加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的

有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有多少人。

家庭作业

1、学校小星星艺术团的32名同学中，有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢琴都会演

奏的有8人，既不会拉小提琴又不会弹钢琴的有多少人？

2、六年级有60人爱好数学，50人爱好语文，42人爱好体育，30人既爱好数学又爱好语文，20人既

爱好语文又爱好体育，35人既爱好体育又爱好数学，有18人则三方面都爱好。请问这个年级中数学、

语文、体育三方面至少爱好一项的学生有多少名？

3、外语实验学校有英语、法语、日语教师共27人。其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6

人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，能教英、法、日语的

只有2人。只能教法语的教师有多少人？

4、五年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的有58人,

爱好文艺的有60人，爱好科学的有54人，三项都爱好的有20人，只爱好体育和科学的有15人，只

爱好体育和文艺的有8人。问：多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好科学的有多少人？

5、在1到100的自然数中，能被5或6整除的数共有多少个?

挑战自我：★★★★★

100名学生面向老师站成一排，按从左往右的顺序报数：1,2,3,…，100。老师让所有报数的3的倍数

的学生向后转，接着又让所有报数是7的倍数的学生向后转。问：此时还有多少名学生背对老师？

第四讲计算与推理

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推理由一个或几个已知的判断，推导出一个未知的结论的思维过程，其作用是从已知的知识得

到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识。很多数学问题就是要从一些简

单的已知的知识中得到未知的知识，从而解决问题。

例题精讲

例1：房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人是老实人，总说真话。其中一个人说：“这

里没有一个老实人。”第二个人说：“这里有一个老实人。”第三个人说：“这里有两个老实人。”如此

往下，至第十二个人说：“这里有11个老实人。”问房间里究竟有多少个老实人？

练习

30名学生参加数学竞赛，已知参赛者中任何10人里都至少有一名男生，那么男生至少有多少人？

例2：有六箱水果，其中只有一箱是香蕉，其余都是苹果或梨，已知六只箱里所放水果的重量分别是

1、3、12、21、17、35千克，并且苹果的重量是梨的5倍。求香蕉有多少千克？

例3：六个人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一场，胜者得2分，负者得0分。比赛结果，第二名

和第五名都是两人并列。问：第一名和第四名各得多少分？

练习

A、B、C、D四个队举行足球比赛循环赛(即每两队都要赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分负

一场得0分，已知：(1)比赛结束后四个队的得分都是奇数；

(2)A队总分第一；

(3)B队恰有两场平局，并且其中一场是与C队平局。

那么，D队得多少分？

例4：甲、乙、丙、丁与小明5位同学一起比赛象棋，每两人都要赛一场。到现在为止，甲已经赛了

4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小明已经赛了多少盘？

练习

五个足球队进行循环比赛。每场比赛胜者得2分，负者得0分、打平各得1分，比赛结果各队得分互

不相同。已知：

(1)第一名的队没有平过；

(2)第二名的队没有负过；

(3)第四名的队没有胜过；

问：全部比赛共打平了几场？

☆☆☆☆☆例5：某商品的编号是一个三位数，现在五个三位数：874、765、123、364、925,其中

每个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同的数字。这件商品的编号是多少？

1、8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天

平秤了3次，结果如下：

(1)①+②比③+④重

(2)⑤+⑥比⑦+⑧轻

⑶①+③+⑤和②+④+⑧一样重。

求那两个球较轻？

2、甲、乙两数的和是231.已知甲数的末位是0.如果把甲数末位的0去掉，正好等于乙数。乙数是多

少？

3、十三个鱼盆里鱼的条数分别是2、3、5,7、9、10、11、13、14、17、21、24、24条。已知同一

盆里的鱼的是同一种类，只有一盆是刀鱼，其余都是青鱼和鲫鱼，并且鲫鱼的条数是青鱼的6倍，刀

鱼有几条？

4、图书管理员把7类书叠成了7叠，其中只有一叠旧连环画，其余都是故事书和科技书，且故事书

是科技书的6倍。如果这7叠书的本数分别是：3、4、5、16、21、25、38本，问：连环画有多少本？

5.某班44人要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，已知A得选票23张，B得选票占第二

位，C、D得票相同而E选票最少，只得了4票，那么B得了几张选票？

第五讲分数与循环小数

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同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况。比如计算1+3,我们会发现商在0和小数

点之后一直出现3,怎么也计算不完；再比如在计算3+7的时候，我们会发现商在0和小数点之后

不停的出现428571。像这样的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环

小数。

下面我们来学习一下分数与小数之间的互化。把分数化成小数非常简单，直接用分子除以分母即

可。但是循环小数又该怎样化成分数呢？

例题精讲

例1：将下列分数化成小数：-

869713

练习

17142257

将下列分数化成小数：—>—.—>-

20253711

例2：把循环小数转化为分数：0.4,0.24,0.185>0.56>6.36513

练习：把循环小数转化为分数：0.1,0.12、0.123、0.245

71422113

例3：把下列分数化成循环小数：、亍

1T101'45'35

练习

把下列分数化成循环小数：—,—>->—

33271436

例4：计算:(1)0.12+0.31；(2)0.12+0.434；(3)0.75-0.4

练习

计算：0.56+0.8760.123+0.456

例5：把真分数三化成小数后,小数点后第2013位上的数字是1,则a是多少？

练习

把真分数1化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n位数之和是9006,则a和n分别是多少？

课堂练习：

1、0.12345+0.23451+0.34512+0.45123+0.51234

2、将算式0.3+0.6-0.3x0.6+0.3+0.6的计算结果用循环小数表示是多少？

1、把下列分数化为小数:

小31313”、234印557小234

⑴王甘石；⑵5r玄⑶了西后⑷于⑪，淳

2、把下列循环小数转化为分数：

(1)0.i,0.4;(2)0.01,0.35;(3)0.08,0.38.

3、把下列循环小数转化为分数：0.7,0.12,O.i23,0.123

4、计算:(1)0.i+0.2+0.3;(2)0.2+03+0.4;(3)0.3+0.5+0.7;

(4)0.1+0.12+0.123;(5)0.12+0.23.

5.o.i2345+0.23451+0.34512+0.45123+0.51234.

挑战自我：★★★★★

冬冬将0.3力乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了0.63正确结果应该是

多少？

第六讲解方程及方程组

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同学们我们已经会解简单的一元一次方程，下面我们先对相关的概念做一个简要的复习。

我们将用等号连接，表示相等关系的式子，叫做等式。而方程就是含有未知数的等式。等

式有两个基本性质：

性质1：等式两边加上或减去一个数，结果仍相等。

性质2、等式两边乘上一个，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

利用等式的性质我们可以解一些简单的方程。

在解方程时，我们需要将含有未知数的项一起算，也就是合并同类项。有的时候，当含有未知数

的项不在等式的同一侧时，我们还需要将这样的项从等式的一侧移到另一侧，也就是所谓的移项。注

意方程中的每一项都包括数值与符号两个部分，移项的时候要改变符号。

例1：解F列方程：（1）4x+3=3x+8(2)15—3x=19—4x(3)12—3x=7x—18

练习

(1)6+5x=10+3x(2)5—6x=17—9x(3)10-2x=5x-ll

例2：解下列方程：(1)5x+3(19—x)=65(2)7x—(3x—2)=22

练习：解下列方程：16+2（x-4）=3x18-(3x-6)=x

3x+57x-5

例3：解下列方程：（1）⑵=l

2-3

练习

3x+18x—2/c、3x+l5x-5,

(1)(2)-----+------=1

2548

，x+3y=7

例4：解下列方程组：(1)匕％+5y=32

(2)(2x+7y=15

练习

fx-2y=3fx+2y=7

(1)(3x+4y=29(2)(2x+5y=16

例5：解下列方程

(1)=(2)^11=2

48x+22

课堂练习：

1、x2+3x-5=x(x+2)

，5x+2y=16

2、(2x+3y=13

7家庭作业

1、求下列方程的解：（1）x-6=15(2)3x+5=17

2、求下列方程的解：（1）5x+8=3x+20(2)6—5x=8x—20

3、求下列方程的解：（1）3x+2（15-x）=45(2)9x-2(2x-2)=19

3x+76x-7

4、解方程:

4-5

fx-4y=0，5x+4y=33

5.(1)(3x+y=26(2)l5x-3y=19

第七讲抽屉原理

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在《简单抽屉原理》中，我们学习了运用抽屉原理处理一些简单问题，以及最不利原则的一些简

单应用。

抽屉原理：

把m个苹果放入n个抽屉（m大于n）,结果有两种可能：

如果m+n没有余数，那么一定有抽屉至少放了“m+n”个苹果；

如果m+n有余数，那么一定有抽屉至少放了“m+n的商再加1”个苹果。

一例题精讲

例1:（1）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有两

个颜色相同？

（2）口袋里有四种颜色的球，每种颜色足够多，一次至少要取几个球，才能保证其中一定有四个颜

色相同？

练习

箱子里有12种形状不同的积木，每种都足够多，一次至少要取几个，才能保证其中一定有三个形状

相同？

例2：盒子里有四色球各100个，每次从中摸出2个球，请问：至少要摸几次，才能保证其中有三次

摸出球的颜色情况是相同的？

练习：小王把一副围棋混装在一个盒子里，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，请问：她至少要摸几次,

才能保证其中有三次摸出的颜色情况是相同的？（有黑白两种颜色）

例3：将下图3行7列的方格纸的每格染成红色、黄色或绿色，要求每列的三个方格所染的颜色互不

相同。请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的。

练习

将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明不管怎么染，至少有两列染色方式是一样的。

例4：1至30这30个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于31?至少

取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于3?

练习

1至20这20个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和等于21?是找取出多

少个数，才能保证其中一定有两个数的差等于5?

课堂练习：

1、五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在

60分以下，其余学生的成绩均在75〜95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？

2、三（二）班有44名学生，他们至少都订了甲、乙、丙三种报刊中的一种，问至少有多少名学生订的报刊是相同

的？

家庭作业

1、箱子里有5种颜色相同的积木，每种都足够多，那么一次至少要取多少个，才能保证一定有5个

颜色相同？

2、某校五年级一班有54名学生，其中至少有多少同学是在同一周过生日？

3、有红、黄、蓝、白四种颜色的小球混合放在一个布袋里，一次摸出9个小球，至少有多少个小球

的颜色相同？

4、图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个

同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？

5.一副扑克54张，至少要取出多少张，才能保证其中必有4张点数相同？

6、一个口袋里装有红球10颗，黄球3颗，绿球12颗。从中至少摸出多少颗球，才能保证摸出的球

中3种颜色球都有

挑战自我：★★★★★

从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12至多能选出多少个数，使得在选出的数中，每一个数

都不是另一个数的2倍。

第八讲列方程解应用题

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方程：含有未知数的等式叫方程

列方程解分数问题：有一些数量关系比较复杂的分数应用题，列算式解答比较繁琐，甚至无法

求出，这时我们可根据题中的等量关系来列方程解答。

列方程解应用题的一般步骤：

1、读清题意，设未知数；（当出现两个或两个以上的未知量时，一般用设的这个未知数去表示其

它的未知量）

2、根据题意，找准数量关系；

3、利用数量关系，建立等量关系；

例1：一次考试，小高比萱萱高6分，但是比卡丽低3分，他们3人的平均分为91分。请问：小高

考了多少分?

练习

甲数比乙数的3倍少6,两数的平均数是43。那么乙数是多少？

例2：阿范和阿统吃饺子，阿范一共要吃90个，而阿统一共要吃100个。如果阿范每分钟吃3个饺

子，阿统每分钟吃5个饺子，经过若干分钟后，阿范剩下的饺子数比阿统剩下的饺子数的2倍少5

个。请问：这时阿范和阿统各吃了多少个饺子？

练习：箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多2个，每次从箱子里取出7个白球和

15个红球。经过若干次以后，箱子里剩下3个白球和53个红球。那么箱子里原有红、白球各多少个？

例3：给某班分苹果，第一组每人3个，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个。已知

第二组和第三组共有22人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等，总共分出去230

个苹果。问该班一共有多少人？

练习

司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共82元，其中1元与2元纸币共22张，

5元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2.5倍。问：小王身上有多少张10元纸

币？

例4：小杨去超市里买了一些士力架和德芙，共重266克，共花了30元。已知士力架每块价格3元,

德芙每块价格为2元。每块士力架重35克，每块德芙重14克。那么小杨各买了多少块士力架和德芙？

练习

王老师抓了一群外星人，其中火星人有2个头3个脚，金星人有3个头5个脚，王老师数了数，发现

总共有34个头，54个脚。那么请问王老师分别抓了多少个火星人和金星人？

例5：一个分数，分子与分母的和是122,如果分子、分母都减去19,得到的分数约分后是：，那么

原分数是多少？

课堂练习：

1、一个两位数，十位数字是个位数字的3倍。如果把这个两位数减少36,所得到的数等于原数的十

位数字和个位数字对调后的数。原数是多少？

2、一个长方形，如果长增加2厘米，宽增加5厘米，那么面积就增加60平方厘米，并且这时恰好变

成一个正方形，原来长方形的面积是多少？

只家庭作业

4x+34

1、解方程:(1)2(x+2)=3x+l(2)

4x+l3

(6x+7y=23(3x+2y=19

2、解方程：(1)(14x+17y=55(2)bx-18y=33

3、一个数的5倍加上3等于这个数的8倍减去6,这个数是多少？

4、哥哥有180元，弟弟有100元。现在两人花去同样多的钱后，剩下的钱数，哥哥是弟弟的3倍。

哥哥和弟弟各花去多少钱？

5.五一班同学合买一件礼物送给敬老院的老爷爷和老奶奶。如果每人出6元，则多48人；如果每人

出4.5元，则少27元。五一班学生有多少人？

挑战自我：★★★★★

一个两位数，十位数字是个位数字的3倍。如果把这个两位数减少36,所得到的数等于原数的十位

数字和个位数字对调后的数。原数是多少？

第九讲牛吃草问题

知识导航

牛吃草问题是英国大物理学家牛顿提出来的数学名题,也叫牛顿问题。这类题是讲牛在一片匀速

生长的草地上吃草，假设每头牛每天的吃草量相同，那么草地上除了原有的草，还有新长出来的草，

而且又被牛每天消耗一部分，也就是说随着时间的变化，我们考察的量也在不断的变化，这就给我们

解答这类应用题带来了难度。此类问题，由于解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细

分析，就能掌握这类问题的特点和解答方法，正确解答。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越

多。草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②一段时间内草场均匀生长

而新增的草量。因此，我们在解答这类题时必须设法找出这两个量来：即原有的草量和牧场上新增的

草量。然后将牛分出一部分吃新生长的草，另一部分牛吃原有的草，吃原有草所用的时间就是这片草

地能吃多少时间。

同一片牧场中的牛吃草问题。一般的解法是：

两种吃草方式的草总量之差小时间差=生长速度

一种吃法的草总量-一段时间草生长总量=原有草量

原有草量土（牛的头数-吃新生草牛头数）=能吃的时间

或：原有草量所需牛的头数+吃新草头数=所需牛的头数

列猿a例题精讲

例1：英国大科学家牛顿提出过一个极有趣味的问题：“一片匀速生长的草地，10头牛20天吃完，或

者15头牛10天吃完。问：可供25头牛吃几天？”

练习

牧场上有一片匀速生长的草地，27头牛6天吃完，或者23头牛9天吃完。如果是21头牛，几天可

以吃完？

例2：有一片牧场，草每天都在均匀的生长（即每天增长的草相等），如果放牧24头牛，则6天吃完

牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草；如果有一群牛12天把牧草吃完，那么这群牛有多少头？

练习：一水池有一根进水管，有若干根相同的抽水管，进水管不间断地进水，当水池装满时，若用

24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽干；若用21根水管抽水，8小时可将池中的水抽干，那

么用16根抽水管，多少小时可将水池中的水抽干？

例3：画展9点开门，但早有人来排队等候，从第一个观众到时起，每分钟来的观众一样多。如果开

3个入场口，9点9分就不再有人排队等候；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队等候。那么

第一个观众到的时间是8点多少分？

练习

画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开

3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达

的时间。

例4：某村有一块草场，假设每天草都匀速生长，这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或供150

只羊吃100天。问：放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙漠化，这片草场

最多可以放牧多少只羊？

练习

有一片牧场，每天生长的速度相同。现在这片牧场可供16头大牛吃20天，或者可供80头小牛吃10

天。如果一头大牛的吃草量等于3头小牛的吃草量，那么12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃多少

天？

例5：两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯

级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

练习、自动扶梯以均匀的速度由下向上行驶，两个顽皮的孩子从自动扶梯行驶的方向行走上楼，男孩

每分钟可走20级梯级，女孩每分钟可走15级梯级，结果男孩上楼用了5分钟，女孩上楼用了6分钟。

问：该自动扶梯共有多少梯级？

课堂练习：

1、一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15

天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？

2、现在欲将一池塘的水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽完，用6

台抽水机20天可以抽干。问：；若要5天抽干池塘，需要多少台同样的抽水机来抽水？

1、一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6天，或者供23头牛吃9天，那么可供多少头牛吃3天?

2、有一片牧场，草每天都在均匀地生长（即每天增长的草相等），如果放牧5头牛，则30天吃完牧

草；如果放牧8头牛，则12天吃完牧草；如果放牧6头牛，多少天可以吃完牧草？

3、有一眼泉水，用功率一样的3部抽水机去抽，同时打开40分钟可以抽完；用这样的6部抽水机,

同时打开16分钟可以抽干。用这样的9部抽水机同时抽多少分钟可以抽干？

4、有一片牧场，草每天都在均匀的生长（即每天增长的草相等），如果放牧10头牛，则20天吃完牧

草；如果放牧15头牛，则10天吃完牧草；如果牛5天把牧草吃完，那么牧场上放了多少头牛？

5.食堂里有一批粮食，并且每天运进的粮食一样多，如果50人吃，10天可以吃完；如果45人吃,

20天可以吃完。那么多少人25天可以吃完？

6、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度流进船内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用12人淘水3

小时，可以淘完，如果只用5个人淘水要10小时才能淘完。现在要想2小时淘完，需要多少人？

挑战自我：★★★★★

由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅不长，反而每天以固定速度在减少。已知草地上的草可供20头

牛吃5天，或者15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？

第十讲环形路线

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行程问题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。速度是在单位时间内所行的

路程。行程问题的主要数量关系是：路程=速度X时间。知道三个量中的两个量就能求出第三个量。

“相遇问题”是行程问题中的一种，它研究的对象是两个物体相向行驶的运动，所包含的内容丰富、千

变万化。相遇问题的基本关系式是：

路程和=速度和X相遇时间

相遇时间=路程和♦速度和

速度和=路程和+相遇时间

两个同向运动的物体，速度慢的在前，速度快的过了一段时间就能追上他，这就产生了”追及问

题“。追及问题的基本关系式是：

路程差=速度差X追及时间

追及时间=路程差小速度差

速度差=路程差♦追及时间

在环形跑道上，快者从背后追上慢者时路程差就是一圈。第几次追上路程差就是几圈。

一例题精讲

例1：黑白两只小猫沿着周长为300米的湖边跑步，黑猫的速度是每秒5米，白猫的速度是每秒7米。

若两只猫同时从同一点出发，背向而行那么多少秒后第一次相遇？如果它们继续不停的跑下去，2分

钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远？

练习

在420米的圆形跑道上，甲乙两人从同一点出发，背向而行，甲的速度是每秒8米，乙的速度是每秒

6米；那么两人第8次相遇时，距离出发点多远？

例2：一个周长是40米的圆形跑道，甲沿着水池散步，每秒钟走1米；甲乙沿着水池跑步，每秒钟

走3.5米；甲乙两人从同一地点同时出发，同向而行。当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回

到出发点？

练习：一环形跑道周长为400米，甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每

分钟跑275米。甲第4次追上乙时距离起点多少米？

例3：甲乙两人在400米的环形跑道上，甲以每分钟300米的速度从起点跑出，1分钟后，乙以每分

钟280米的速度从起点通向跑出。请问：甲出发后多少分钟第一次追上乙？如果追上后他们的速度保

持不变，甲还需要再经过多少分钟后才能第10次追上乙？

练习

周长为400米的圆形跑道上跑步，有相距100米的AB两点。甲乙两人分别从A、B两点同时相背而

行，速度分别是每秒3米和每秒2米。多少秒后两人第一次相遇？如果相遇后两人的速度保持不变，

再过多少秒两人第10次相遇？

例4：甲乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动，当乙

走了100米后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处第二次相遇。求此圆形场地的周长。

练习

如图，有一个环形跑道，甲乙两人分别从A、B两地出发相向而行，且乙的速度快于甲，第一次相遇

在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B地200米处的D点。已知A、B长是跑道总长的四

分之一，请问跑道周长为多少米？

例5：小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快。如果从同一起点出发背向而行,

1小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上。请问：小

鹿和小山羊跑一圈各需要多少时间？

练习

一个正方形水池，阿呆和阿瓜两人分别从水池的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3

米，问：阿呆第一次见到阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？

课堂练习：

1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以

原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相

遇，问两次相遇点相距多少千米？

2、学校操场一圈是400米。小明和小聪同时从操场上同地同向跑步，小明过10分钟第一次从小聪身

后追上小聪。若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟就相遇，求两人的速度各是多少

家庭作业

1、甲乙两人在600米长的环形跑道上各自以不变的速度慢跑。如果两人同时从同地相背而行，4分

钟后两人第一次相遇。已知甲跑一周需要6分钟，那么乙跑一周需要多少时间？

2、甲乙两人在一个周长为180米的环形跑道上跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。如果两人从同

一点同时出发反向跑步，多少秒后第一次相遇？再经过多少秒，两人第二次相遇？在10分钟内两人

相遇多少次？

3、有一个圆形跑道，甲乙二人同时从同一点沿同一方向出发。当甲跑完7圈到达出发点时恰好第二

次追上乙。如果甲的速度是每秒14米，那么乙每秒跑多少米？

4、有一个周长是80米的圆形水池。甲沿着水池散步，速度是每秒1米；乙沿着水池跑步，速度为每

秒2.2米，并且与甲的方向相反。如果他俩从同一地点同时出发，那么当乙第八次遇到甲时，还要跑

多少米才能回到出发点？

5.甲乙两人分别从一圆形场地的直径两端AB开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动。当甲走了160

米以后，他们第一次相遇；在乙走过A后20米的D处又第二次相遇。求此圆形场地的周长。

6.两名运动员在湖周围环形道上练长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时同地同向出发,

经过45分甲追上乙。如果两人同时同地反方向出发，经过多少分两人相遇？

挑战自我：★★★★★

甲乙丙三人，甲每分行80米，乙每分行70米，丙每分行60米。如果甲从A地，乙，丙从B地，三

人同时出发相向而行，途中甲与乙先相遇，后再经过10分钟甲、丙相遇。那么，A,B之间的路程是

多少米？

第十一讲整数裂项

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有些较长的复杂的数列求和，单靠硬算是很难计算得到结果的，同时也没有公式可以直接用来计算结

果，例如计算所以Ix2+2x3+3x4+…+9x10,这时就可以用“裂项”的方法进行求解，裂项的本质

是“凑、抵、消”，通过把一项分拆成两项的差，使得相邻两项有共同可以抵消的部分，相加抵消运

算。例如上题，可以如下操作：

1X2=(1X2X3-0X1X2)+3

2x3=(2x3x4-lx2x3)+3

3x4=(3x4x5-2x3x4)+3

8X9=(8X9X10-7X8X9)4-3

9x10=(9x10x11-8x9x10)+3

将上述所有算式相加后提取公除数，括号内前后一加一减相互抵消，最后得到

原式=Ix2+2x3+3x4+—1-9x10=(9x10x11-0x1x2)4-3

所皿x2+2x3+3x4+…+9x10=9x10x11+3=330

例1：计算：Ix2+2x3+3x4+…+19x20

练习

计算：Ix2+2x3+3x4+…+49x50

例2：计算：11x12+12x134-13x144--+99x100

练习：计算：7x8+8x9+9x10+…+49x50

例3：计算：⑴2x4+4*6+6x8+…+28x30

练习

⑴2x4+4x6+6x8+…+22x24

例4：计算：⑴4x7+7x10+10x13+…+40x43

练习

⑴5x10+10x15+15x20+…+50x55

课堂练习：

1、1X3+3X5+5X7H-----F27x29

2、1X3+3X5+5X7H-----F-9xl1

1、计算：Ix2+2x3+3x4+…+10x11

2、计算：2x4+4x6+6x8+…+20x22

3、计算：Ix3+3x5+5x7+…+11x13

4、计算：4x7+7x10+10*13+…+22x25

挑战自我：★★★★★

1x2x3+2x3x4+3x4x5H----1-18x19x20

第十二讲数的整除

1、整除的性质(用a,b,c表示不为0的任意整数)

(1)若c能整除a,又能整除b,则c能整除(a士b)。

⑵若b能整除a,c能整除a,且b、C互质，则be能整除a。

⑶若b能整除a,c能整除b,则c能整除a。

2、数的整除特征：

(1)2、5、3倍数的特征.

(2)一个整数各数位上数字之和是9的倍数，则这个整数是9的倍数。

⑶一个整数的未两位数是4或25的倍数，则这个数就是4或25的倍数。

(4)一个整数的末三位数是8或125的倍数，则这个数能是8或125的倍数。

(5)一个整数奇数位上的数字与偶数位上的数字之差是11的倍数，则这个数是11的倍数。

(6)一个整数末三位与前几位的差(如果还大于三位又继续进行)，是7、11、13的倍数，则这

个数就是7、11、13的倍数。

(7)因为石嬴、=诙义1001,7X11X13=1001,所以而说是7、11、13的倍数。

例1：求出下面各题的未知数所表示的数字，使得

(1)2581-4,能被2整除，又能被3整除；

(2)3604x,能被3整除，又能被5整除；

(3)278取,能同时被2,3,5整除；

(4)43x8y,能同时被5,9整除；

练习

在下面各题字母填上适当的数字，使得

(1)3247x,能同时被2,3整除；

(2)436孙,能同时被2,3,5整除。

例2：如果有一类六位数569盯z能同时被3,4,5整除，那么这类数中最小的一个是多少？

练习：在358后面添上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3,4,5整除。那么，这样的六位

数中最大的一个是多少？

例3：。8919匕能被66整除，这个六位数是多少？

练习

在724左边添一个数字a,右边添一个数字b,组成五位数。724项如果这个五位数是12的倍数，那

么的最大值是多少？

例4：一位采购员买了72只同样的水桶，洗衣服时不慎将购货发票洗烂了，只能依稀看到：72只水

桶，共口67.9口元（口内的数字洗烂了），请你帮他算一算，□内的数字是几？每只水桶到底多少钱？

练习

陈老师一共为学校买了