高中数学学业水平考试精 品讲义及专题训练10 不等式性质及基本不等式（教师版）

学考专题10不等式性质及基本不等式考点归纳考点归纳等式的性质性质1如果，那么性质2如果，，那么性质3如果，那么性质4如果，那么性质5如果，，那么作差法比较大小关系，，不等式的性质性质1对称性性质2传递性性质3可加性性质4可乘性性质5同向可加性性质6同向同正可乘性性质7可乘方性性质8可开方性若a＞b＞0，m＞0，则eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)，(b－m＞0)．基本不等式，当且仅当时取等号其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数通常表达为：（积定和最小）应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论1基本不等式的推论2（和定积最大）当且仅当时取等号当且仅当时取等号二次函数的图象与性质函数图象开口方向向上向下对称轴方程最值一元二次方程求根公式及韦达定理一元二次方程求根公式的根为：韦达定理（根与系数的关系）的两根为，；则解一元二次不等式“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系判别式一元二次方程的根有两个不等实根，（设）有两个相等实根无实数根二次函数的图象的解集的解集∅∅ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．解分式不等式①②③④解单绝对值不等式或，真题训练真题训练一、单选题1．（2023·广东·高三学业考试）不等式解集为（

）A．{x|1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x>2或x<1} D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法即得.【解析】∵，∴，∴不等式解集为．故选：D.2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【解析】，解得或，所以不等式的解集为.故选：D3．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【解析】因为，所以，即不等式的解集是.故选：D.4．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集为（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】直接解二次不等式即可.【解析】，即，所以原式的解集为故选：D.5．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；【解析】解：依题意可得，故，解得或，所以不等式的解集为或故选：B．6．（2023·广东·高三学业考试）不等式的解集是（

）A．，或 B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式解法直接求解即可.【解析】由，可得或，所以不等式的解集为，或.故选：A7．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解.【解析】由不等式的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足，解得.即实数的取值范围是.故选：A.8．（2023秋·广东·高三统考学业考试）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【解析】解：由，解得，即原不等式的解集为；故选：A9．（2023·广东·高三统考学业考试）不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根据二次不等式与二次函数图象的关系得结论．【解析】的图象是开口向上的抛物线，它与轴的两交点分别是，，∴不等式的解为或，故选：A．10．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若不等式的解集是，则的值为（

）A．-10 B．-14 C．10 D．14【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.【解析】由题意，和是方程的两个根，由韦达定理得：且，解得：，，所以.故选：B11．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求出或，进而求出交集.【解析】解得：或，故或，∴.故选：A.12．（2023·广东·高三统考学业考试）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先通过解二次不等式确定集合范围，然后根据集合交集运算定义进行求解即可.【解析】，，.故选：A13．（2023·广东·高三统考学业考试）已知、，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【解析】因为、，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故的最小值是.故选：B.14．（2023·广东·高三学业考试）若正数满足，则的最大值为（

）A．9 B．18C．36 D．81【答案】D【分析】利用基本不等式可得答案.【解析】因为正数满足，所以，可得，当且仅当等号成立.故选：D.15．（2023秋·广东·高三统考学业考试）用12cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是（

）A．3cm2 B．6cm2 C．9cm2 D．12cm2【答案】C【解析】由已知可得，而矩形的面积，应用基本不等式即可求矩形的最大面积.【解析】设矩形的长、宽分别为cm，则有，即，∵矩形的面积，∴cm2，当且仅当时等号成立，故选：C【方法小结】本题考查了基本不等式的应用，由和定求积的最大值，属于简单题.16．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【解析】因为正数x，y满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故选：C17．（2023·广东·高三统考学业考试）某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为（

）A．200件 B．5000件C．2500件 D．1000件【答案】D【分析】可设每次进x件，总运费与租金的和为元，可得到函数关系式，再利用基本不等式，即可得到答案.【解析】设每次进货x件，一年的运费和租金之和为y元.由题意得，，当且仅当x＝1000时取等号成立.故选：D.【方法小结】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，关键在于分析实际问题得到正确的函数关系，属于中档题．18．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知且，则的最小值为（

）A．3+ B．4 C．2 D．6【答案】A【分析】由题意等式两边同除，将等式转化为，利用展开结合基本不等式可求出最小值.【解析】解：因为，且，所以，则，当且仅当，时等号成立.故选：A19．（2023·广东·高三学业考试）已知且，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．12【答案】D【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.【解析】因为且，可得，当且仅当时，等号成立.故选：D.20．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.【解析】对于A，因为，故，即，故A错误；对于B，，无法判断，故B错误；对于C，因为，，故C正确；对于D，因为，故，即，故D错误．故选：C．21．（2023·广东·高三学业考试）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得到或，根据范围的大小关系得到答案.【解析】，即，故或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A22．（2023·广东·高三学业考试）若均为正数，且，则的最小值等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【解析】因为均为正数，且，所以，，当且仅当时等号成立，所以，的最小值等于.故选：B23．（2023·广东·高三统考学业考试）已知实数，满足，其中，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】利用基本不等式中“1的代换”即可求出最小值.【解析】实数，满足，其中，∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值是4.所以A选项是正确的.故选：A二、填空题24．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）若，则的最小值是.【答案】【分析】由，结合基本不等式即可.【解析】因为，所以，所以，当且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，故答案为：25．（2023·广东·高三学业考试）已知正数a，b满足，则最小值为．【答案】16【分析】根据题意可知，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得结果.【解析】由题可知，，当且仅当时，等号成立；故答案为：1626．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数a，b满足，则的最小值为.【答案】【分析】利用基本不等式计算可得；【解析】解：因为、且，所以，当且仅当，即、时取等号；故答案为：27．（2023·广东·高三统考学业考试）已知关于x的不等式的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为【答案】【分析】根据一元二次不等式即可求解.【解析】由题意可知:是不等式的解，所以，即，解得．故答案为：三、解答题28．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数．(1)求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.【解析】（1）解：因为函数为偶函数，则，即，所以，，.（2）解：，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故.四、应用题29．（2023秋·广东·高三统考学业考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值．【答案】5km；最小费用为8万元【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值.【解析】设，当时，，∴，∴，∴两项费用之和为．当且仅当时，即当时等号成立．即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元．30．（2023秋·广东·高三统考学业考试）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：.(1)将利润（单位：元）表示为