人教版高中数学基础知识归类

高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生2"-1；非空真子集个数为2"-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

集合与简易逻辑如：已知函数/*)=4--2(0-2次-202-夕+1在区间［-1,1］上至少存在

1.注意区分集合中元素的形式.如：(xly=lg.r)一函数的定义域;一个实数c,使

/(c)>0,求实数p的取值范围.(答：(-3」))

原结论否定原结论否定2

是不是至少有一个也没4.原命题：pnq；逆命题：q=P；否命题：逆否命题：

一个有=>—：p互为逆否的两

都是不都是至多有至少有两个命题是等价的.如："sinawsin"'是"a"”的条件.(答:

--7^^个充分非必要条件)

大于不大于至少有“至多有5.若pnq且#>p,则p是g的充分非必要条件(或q是p的必要非充分

个"-1个条件).

小于不小于至多有"至少有6.注意命题pnq的否定与它的否命题的区别：命题png的否定是

个"+1个P=>rg；否命题是rp=>rg.

对所有工，成存在某工，不〃或夕命题“。或q”的否定是且F”；“P且的否定是“力或F”.

立成立如：“若a和人都是偶数，贝L+方是偶数”的否命题是“若a和力不

对任何X,不存在某X,成P且4-ip-\q都是偶数,则a+〃是奇数”

成立立否定是“若a和b都是偶数，则a+b是奇数”.

{yly=Igx)—函数的值域；

((.r,y)l>=lgA)—函数图象上的点集.二.函数

2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集,记为4aA.1.①映射/：A-B是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中

②空集是任何集合的子集,记为0U4.的元素必有象且A中不

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AU8,在讨论的时同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即

候不要遗忘了4=0的情况象集C).

如：A={xla/-2x-l=0},如果八AR'。，求°的取值.(答：«<0)②----映射(1)一对一"的对应；⑵4中不同元素的

象必不同，B中元素都有原象.

④C"(4D8)=C"AUG,B,Q(AUB)=C(//inCi,B；(ADB)nC=Afl(BnC)；

A.8AB

(AUB)UC=AU(8UC).2.函数/：是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数

⑤AnB=A=AUB=BOAnC“B=0oCdUB=R.集！据此可知函数图像与*轴

⑥AUB元素的个数：card(A\jB)-cardA+cardB-card(AC］B).的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2"；真子集(非空子集)个数为能有任意个.

3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要(如/(x)=0定义域关于原点对称即可).

注意定义域优先的原则.⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称

4.求定义域:使函数解析式有意义(如：分母*0；偶次根式被开方数的单调区间内有相反的单调性；

非负；对数真数＞0,底数＞0⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法

且*1；零指数赛的底数#0)；实际问题有意义;若/(X)定义域为3m(用于小题)等.

复合函数/[&(x)]定义⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：求单调区间

域由aVg(x)SZ)解出；若f[g[x}]定义域为[a,切,则/(x)定义域相当于时注意定义域)

*/也时8(处的值域.如：函数y=log,(-x2+2x)的单调递增区间是.(答：(1,2))

5.求值域常用方法：①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左

法)；③换元法(特别注意新元的范围).

加右减”(注意是针对x而言)；

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有

上下平移——“上加下减”(注意是针对/(X)而言).⑵翻折变换：

界性来求值域；

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于

用数形结合的方法来求值域；对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

⑧判别式法(慎用)：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

②证明图像G与c2的对称性，即证G上任意点关于对称中心(轴)

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类

的对称点仍在G上,反之亦然.

型)；⑵代换(配凑)法；

③函数y=/(x)与,y=/(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数

⑶方程的思想——对已知等式进行赋值，从而得到关于“X)及另

y=/(A)与函数

外一个函数的方程组。

y=f(-X)的图像关于直线＞,=0(X轴)对称；

7,函数的奇偶性和单调性

④若函数y=/(x)对xeR时，f(a+x)=f(a-x)或/(x)=f(2a-x)恒成立,则

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确

y=/(x)图像关

定奇偶性方法有定义法、图像法等；

于直线x=a对称；

⑵若/(X)是偶函数，那么y(x)=/(-x)=/(Ixl)；定义域含零的奇函数必

⑤若,y=/(x)对xeR时，f(a+x)=/(b-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直

过原点("0)=0)；

线人手对称；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：/(x)+/(-x)=0或

/匕)=±l(/(x)x0)；⑥函数y=/(a+x),y=/(b-x)的图像关于直线x=对称(由a+x=b-x

fW2

确定);

(4)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判⑦函数y=/(x-a)与y=的图像关于直线X=W对称；

2

断；既奇又偶的函数有无数个⑧函数尸〃x),y=A7(x)的图像关于直线y一对称(由y=3组上

2'2

确定)；1)

⑨函数y=/(X)与y=-/(-%)的图像关于原点成中心对称；函数11.方程&=f(x)有解o«wQ(。为f(x)的值域)；a>/(x)恒成立

y=f(x),y=n-f(m-x)oa2"(x)]最大他，

的图像关于点(土，)对称；aV/(*)恒成立oaM"⑶姐值"

22

12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一

⑩函数),=/(©与函数),=广⑴的图像关于直线y=x对称；曲线C「

元二次方程根的分布问题；

/(x,y)=O5关于

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有

y=x+a,y=-x+a的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=O(或

最值，求最值问题用“两看法”：

f(-y+a,-x+a)=O\

一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

曲线G：/(x,y)=O关于点(a,b)的对称曲线C?方程为：

14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：fM=ax2+bx+c(a^0)；②

f(2a-x,2b-y)=0.

顶点式：

9.函数的周期性：(1)若y=f(x)对工£R时f(x+a)=/(x-a)恒成五，则/(x)的

f(x)=a(x-h)2+k(a*0)；③零，点、式：f(x)=a(x--x)(a*0).

周期为2lal；2

15.一元二次方程实根分布：先画图再研究△>()、轴与区间关系、区

⑵若)，=小)是偶函数，其图像又关于直线工=4对称，则/⑴的周期

间端点函数值符号；

为2lal；

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若/⑴的定义域为[a也，其复

⑶若y=/(x)奇函数，其图像又关于直线x=。对称，则/(x)的周期为

合函数/[g(x)]的定义域可由

4kzl；

不等式aVg(x)”解出；若加(刈的定义域为求/(x)的定义域，

⑷若L关于点3,0),3,0)对称，则/*)的周期为21”6；

相当于xe[a,b]时，求

(5)y=/(x)的图象关于直线x=a,x=/?(〃工b)对称,则函数y=f(x)的周

g(x)的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

期为2la-bl；

17.对于反函数，应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有

(6)v=fM对xwR时，f(x+a)=-f(x)或f(x+«)="-!—，则y=/(%)的周期为

/(A)反函数；⑵奇函数的反函数

2lal；也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷

n

10.对数：(1)logflh=log,,h(a>0,tt1,/?>0,ne/?')；(2)对数恒寺式周期函数不存在反函数；

=N(a>0,4Hl,N>0)；(5)互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹

(3)log(M•N)=log,,M+logN;log0—=logaM-logMlog“Mn=nlogM；y=/(x)与>=尸")互为

fldNflfl

反函数，设/(x)的定义域为A,值域为B,则有

log,,=-log,,M；⑷对数换底公式log,(a>0,axl,b>0,"l)；

«log&anr'U)]=x(xeB),/'[/«]=X(xeA).

推论：log,,b-log,,c•log,a=1nlog®%•log,,内••…log,,a„=log”a“.18.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参

(以M>0,N>0,a>0,aw1,/?>0力wl,c>0,cwL4,/，…>。-EL/，4,…々“均不等于数的范围问题：

/(/)=gU)«+/(x)>0(或V0)(aV"Vb)o［，S)2。(或卜”“心。)；

1IS.-5奇=%=a,,(neN*),S2n_}=(2〃一l)a”，且屋=_2_；♦=,⑺=>%=f(2〃一1)・

S偶/l—1纥bn

19.函数y=吗他(cwO,a"Hbc)的图像是双曲线：①两渐近线分别直线⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大

cx+d

(或最小)问题,转化为解不等式

Xi(由分母为零确定)和

C卜20(或卜").也可用s,=.+B”的二次函数关系来分析.

直线y=g(由分子、分母中X的系数确定)；②对称中心是点(-4U)；-VO>o

CCC

⑦若则；若则，；

③反函数为y="4'：；q,=m,am=n(m*n),am+„=0S“=m,Sm=n(m#n),5,”+”=-("+”)

cx-a

若S,“=S"("；K"),则Sm+n=0；S=3(S-S)；S=S+S„+rnnd.

20.函数y=ax+-(a>0,b>0):增区间为(■<»,-，］,［，,+8)，减区间为3IB2mmm+nm

4.等比数列{q,}=—=q(q*0)<=>a：=用(n>2,neN*)<=>a,t=atq"''.

匚加叱】•

5.等比数列的性质

如：已知函数〃X)=U在区间(_2收)上为增函数，则实数a的取值范②若｛4｝、出｝是等比数列，则伙叫、他也｝等

x+2

围是—(答：(［”)).也是等比数列;

2

叫［叫

三.数列(q=l)(q=l)

③s@in+n=l+k=>aman=atak

^11<2=^^(叱1)=一工/+乙(#1)

1.由S“求。”"=户("1),注意验证4是否包含在后面％的公1-q"q1-q1-q

P„-S„.,(n>2,neW)不一■定成

式中，若不符合要

立)；Si=Sm+q"'S„=S„+q"S,„.⑤等比数列中Sm,S2a-Sm,S3m-S2m,……(注:

单独列出.如：数列(«„｝满足q=4,S.+S,,+广羯，求％(答：各项均不为0)

a=［4("=1))仍是等比数列.⑥等比数列｛叫当项数为2"时，包=4；项数为

S奇

2.等差数列｛a,,｝-%=d(d为常数)<=>2a„=a„+l+a„_t(n>2,neN*)2"-1时，…=g.

S偶

2d

=a„=an+b(a=d力=q-d)oS“=An+Bn(A=.B=at-")；

226.①如果数列｛q,｝是等差数列，则数列｛4,｝(笛总有意义)是等比数

3.等差数列的性质：①a'=a“+S-,")d,"=；列；如果数列a｝是等比数列，

m—n

②",+”=/+&=>a”,+a“=q+&(反之^不一'定成>2-)；特别地，当，“+”=2p时,则数列｛log/a"｝(a>0,awl)是等差数列；

有4“+4=21；②若｛qj既是等差数列又是等比数列，则｛%｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的

③若｛%｝、｛4｝是等差数列，则｛0+也｝(%、r是非零常数)是等差数列;

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即数列也是等差数列，且新数列的公差

是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一

Sm,S2m-S,„,S3„,-S2m,……仍是等差数列；

个等比数列有公共项，那么由他们的

⑤等差数列S3当项数为2"时，Sm-Sti=nd,3L=_S_；项数为2"-1时，

S科0”+1公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求

其通项；⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求

④三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：解过程中，务必“卡手指”，细心计算

a-3d,a-d,a+d,a+3d；“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用

三个数成等比的设法：a,a,aq\四个数成等比的错误设法：“统一法”统一到“最后”解决.

q

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算

之二,aq,aq，(为什么？)

qq模型：若每期存入本金p元,每期利

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数率为r,则"期后本利和为：

列通项公式.S“=p(l+r)+p(l+2r)+…p(l+nr)=p("+"'"’"r)(寺差数列问

2

⑵已知S.(即％+/+…+%=/("))求q,用作差法：.题)；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若

贷款(向银行借款)P元,采用分期等

(3)已知ja2”…q=/(")求q,用作商法：4=3/5),,

(额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日，

./("-I),、-J

如此下去，分〃期还清.如果每期利

⑷若a,7-%=/(")求q,用迭加法.⑸已知也=/(”)，求a,,用迭乘法.

率为r(按复利)，那么每期等额还款x元应满足：

(6)已知数列递推式求小用构造法(构造等差、等比数列)：①形如p(l+r)"=x(l+r)"T+x(l+r)"2+…+x(l+r)+x(等匕匕数列问题).

a“=k%+b,aO=k%+b"，四.三角函数

a„=ka,+a-n+b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化

M1.a终边与0终边相同<=>«=0+2kn(keZ)；a终边与0终边共线

为公比为k的等比数列后，

=a=6+A乃伏eZ)；a终边

再求4.②形如a“=.S的递推数列都可以用“取倒数法”求

k+b与。终边关于x轴对称oa=-O+kn(keZ)；a终边与。终边关于.丫轴对

通项.称

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列，等比数列求和公式；②0a=*-9+2kn(kcZ)；a终边与6终边关于原点对称

分组求和法；③倒序相加；④错位=a=T+6+2&4(keZ)；

a终边与。终边关于角夕终边对称oa=2/?-8+2k;r(后eZ).

相减；⑤分裂通项法.公式：1+2+3+…+”=1"("+1)；

2

2.弧长公式：/=!6»lr；扇形面积公式：J⑻，；1弧度(I"/)5s57.3°.

叫"'22

I2+22+32+---+7Z2=-〃(〃+1)(2〃+1)；

63.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦，三切四余

13+23+3、…+/=["S+D『；1+3+5+…+〃=〃2；常见裂项公式1=1-1；

2n(n+1)nn+1弦”.

I1,11、・1I11n11注意：tanl5°=cot750=2-6；tan750=cotl50=2+>/3；

-——7(——-)?-=-[-r---------——]5--------------------

〃(〃+k)knn+kn(n-l)(n+1)2n(n+1)(n+l)(n+2)(n+1)!n!(H+1)!4.三角函数同角关系中(八块图):

常见放缩公式：2g-而)=.2<I<2=2(4-g.

sin±cosx\sinx-cosx5

\/n+\+yjnQn+yw-1x’的关系.

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题乜口(sinx±cosj)2=l±2sinxcos工号.

sina+cosasina-cosa

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括;sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tan4=-tan(B+C).

AB+CA.B+CAB+Ck,4n.„

(注意：公式中始终视a为锐角)sin=cos,cos=sm,tan=cot.业。>b<=>A>8=sinA>sin8

222222

6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角④锐角AABC中,A+B>—,sinA>cosB,cosA<cosB,a2+b2>c29类比得钝角

与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.2

△ABC结论.

如:a=(a+〃)一£；2a=(a+夕)+(a-1)；2a=(P+a)-(P-a］；a+/?=2-Cf^

⑤lanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

“"=(a-8)-(士-0寺；"1"的变换：1=sin2x+cos2x-tanx-cotx=2sin30°=tan45°；

11.角的范围：异面直线所成角(o,n；直线与平面所成角◎"］；二面

,22

7.重要结论：asinx+bcosx=Ja2+b2sin(x+*)其中tan*=«)重要公式

a角和两向量的夹角［0,加；直线

.,I-cos2a

sin-a=-------；COS2a=的倾斜角［0,")；乙到的角［0,乃)；4与4的夹角(0，§.注意术语:坡度、

2

1+cos2a・a,1-cosasina1-cosa./--：--/.0,..0,.0.

5tan—=±J------=------=------,±sin0=-1(cos一±sin—)Tcos—土sin—I•仰角、俯角、方位角等.

221/1+cosa1+cosasinaV2222

-irAhA*..c2tana.)I-tan2a.、2tana

Z7月匕么八.sin2a=----,cos2a=----,tan2a=...—・

I+tan"a1+tan-a1-tana

五.平面向量

8.正弦型曲线y=4sin(°x+°)的对称轴x=2(AeZ)；对称中心

co1.设。=(占,％),b=(x2,y2).(1)allh<^>x^y2-x2yt=0；

(竺工0)/eZ)；(2)aLhab=(><^>x,x+=0.

CO2

平面向量基本定理：如果录和或是同一平面内的两个不共线的向

余弦型曲线y=Acos(s+*)的对称轴xJ"一中(kwZ)；对称中心2.

(0量,那么对该平面内的任一向

kn+it-(p

量工，有且只有一对实数4、使

(一=—,0)(4€Z)；

(D

3.=(x,y),b=(x,y),贝4a-B=lalMlcose=XM2+%)12；其几何意义是a.另等于

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理ll22

G的长度

三角形内的三角函数问题勿忘三

与办在£的方向上的投影的乘积；々在B的方向上的投影

内角和等于180。，一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：

—=^-=-=2/?；

sinAsinBsinC

余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=h——<a—={h+(}~a-1；4.三点A、B、C共线O而与高共线；与通共线的单位向量士空.

2bc2bcMBI

正弦平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)；三角形的内切圆半5.平面向量数量积性质：设£=(*加，B=(%,%),则

径r二一也”二；C°s"Wi=,—+产；注意:

a+b+c

面积公式：=-a/?sinC=""；射影定理：a=bcosC+ccosB.

24R(a,b)为锐角ab>0,a,b不同向；(a,b)为直角oa$=0；〈a,私为钝角

10.AA8C中，易得：A+B+C=7T,①=a.B<0,a］不反向.

6.IB同向或有OoG+加=i£i+向2忖-同=I£-BI;IB反向或有6①若">0,b>a,则.即不等式两边同号时，不等式两边取倒数,

ab

ol£-臼TGl+l兆gl-画=|£+臼；ab不共线。忖-间士Bkl£l+向.不等号方向要改变.

7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若£=（』,％）,b=（x2,y2）,则②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，

a-b=x^x2+y,y2；如果正负号未定,要注意分类讨论.

22

I4B1=­J（xl-x2）+（j,->',）j（2）右a=（x,y）,贝'JaI=a-a=x?+y?.2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点P在线段而上时，2>0;对数不等式）的解法,尤其注意

当点P在线段而（或丽）用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分

延长线上时，/<-1或.②分点坐标公式：若即=4项；且区间法.

片（玉，片），P（X，>）鸟"2»’2）；3.掌握重要不等式，⑴均值不等式：若a,b>Q,则

X.+Ax^（当且仅当a=6时

X=---------x=j匕八”八GT\

1+A2ab

则，(2*-1)中点坐标公式: