高一数学必修第二册 解答题专项训练（解析版）

2020—2021学年度第二学期

高一数学必修第二册解答题专项训练

题组A

1.已知复数z=—"L0+—2"-15），（i是虚数单位）

（1）复数z是实数，求实数机的值；

（2）复数z是虚数，求实数加的取值范围；

（3）复数z是纯虚数，求实数加的值.

【答案】（1）m=5；（2）加且加w—3；（3）加=3或2.

/T?2—2m-]5—0

【解析】（1）复数z是实数，则—，解得机=5；

“2+3/0

加2—2m—[5w0

（2）复数z是虚数，则，解得加。5且机w-3；

m^-3

m1-m—6=0

（3）复数是纯虚数，则,解得加=3或2.

m2—2m—15w0

2.设加，〃是两个单位向量夹角为60。，若a=2m+n,b=-3m+In,

（1）求〃石;

⑵求。;

（3）求2与B夹角；

（4）求B在0的投影向量.

【答案】（1）;（2）不；（3）—；（4）.

【分析】

由已知得"="=1,加•几=W"cos600=；.

（1）a・1=（2zn+（卜3/+2〃）展开可得答案;

（2）忖=12m+“二J（2m+n）再展开可得答案;.

（3）|S|=|-3m+2n|=^-3m+2nj展开可得答案;

(4)由(3)得，B在々的投影为Wcos(£.B)可得答案.

【解析】

由已知得同=问=1,m-n=m-ncos600

2

（1）a-b=（2加+〃乂-3加+2"）=-6（加）+2（〃）+m•几

=-6「+2c+l一xlx一1二——7.

_7

4^=二2L因为两个向量的夹角的范围在［0,句,

3-HV7xV72

QTT

所以［与B夹角为

(4)由(3)得，人在。的投影向量为।।

3.在△ABC中，角A,民C所对的边分别为a,A,c.已知a=2后,b=5,c=屈.

(1)求角C的大小；

(2)求sinA的值；

(3)求sin(2A+：)的值.

【答案】(1)C=-.(2)其叵.(3)U亚.

41326

【解析】(1)解：在人45。中，由余弦定理及。=2应力=5,c=屈，有

cosC=a”---=.又因为Ce(0,7t),所以C='.

lab24

(2)解：在AABC中，由正弦定理及C=；q=2应,c=,可得

4

.“asinC2岳

sinA=--------=--------.

c13

(3)解：由〃<c及sinA=^叵，可得cosA=J1-sir?A=,进而

1313

[25

sin2A=2sinAcos=-—,cos2/1=2cos2A-l=一.所以，

1313

.兀).c”71c…兀12应5017A/2

sin2A+—=sinzAcos一■Fcos2Asin—=—x-----1x=--------.

I4)4413213226

4.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的

月均用电量，发现他们的用电量都在50kW・h至350kW・h之间，进行适当分

组后，画出频率分布直方图如图所示.

(I)求a的值；

(II)求被调查用户中，用电量大于250kW-h的户数；

(III)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计

划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低)，请给出第一档

用电标准(单位：kW-h)的建议，并简要说明理由.

【答案】(I)0.006；(II)18；(III)245.5kW•h.

【解析】(1)因为(0.0024+0.0036+。+0.0044+0.0024+0.0012)x50=1,所以

a=0.006；

(2)根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW・h”的频率为

(0.0024+0.0012)x50=0.18,

所以用电量大于250kW•h的户数为：100x0.18=18,

故用电量大于250kW•h有18户；

(3)因为前三组的频率和为：(0.0024+0.0036+0.006)x50=0.6<0.8,

前四组的频率之和为(0.0024+0.0036+0.006+0.0044)x50=0.82>0.8,

所以频率为0.8时对应的数据在第四组，

所以第一档用电标准为：200+W*5035.5kW•h.

故第一档用电标准为245.5kW-h.

5.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该

城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度

评分值(百分制)按照［50,60),［60,70),…,［90,100］分成5组，制成如图所示频

率分直方图.

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数和中位数；

(3)已知满意度评分值在［50,60)内的男生数与女生数的比为3：2,若在满意

度评分值为［50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

【答案】⑴x=0.02；(2)平均数为77,中位数设为孚(3)

【解析】(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+x)x10=1,解得了=0.02.

(2)这组数据的平均数为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77.

中位数设为加，则0.05+0.2+（加—70）x0.035=0.5,解得加=宁.

（3）满意度评分值在［50,60）内有100x0.005x10=5人，其中男生3人，女生2

人.记为人4,4,4,82,

记“满意度评分值为［50,60）的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为

事件A,

从5人中抽取2人有：4人,44，4与，AB2，44，4用，为与，

，AB,

32BXB2

所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，

所以外㈤二元.

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，R4_L平面2腼，底部ZA力为菱形，E为CD

的中点.

（I）求证：物，平面PAC；

（II）若N加俏60°,求证：平面24AL平面孙氏

（III）棱阳上是否存在点凡使得少〃平面用或说明理由.

【答案】（I）见解析（2）见解析（3）存在，且为中点

【解析】（I）证明：因为以，平面ABC。，所以以，；

因为底面ABCD是菱形，所以ACL5D；

因为PAnAC=A,PAACu平面PAC,

所以3D，平面PAC.

（II）证明：因为底面4BCD是菱形且NABC=60。，所以AACD为正三角形,

所以AEJ_CE),

因为A6//CD,所以AE，AB；

因为24,平面ABC。，AEu平面ABC。，

所以AE，A4;

因为B4nAB=A

所以AEL平面A43,

AEu平面Q4E,所以平面P45，平面Q4E.

(Ill)存在点歹为M中点时，满足CF〃平面Q4E;理由如下:

分别取PB,PA的中点”G,连接CF,FGEG,

在三角形R4B中，FG//AB且FG=；A3；

在菱形ABC。中，E为CD中点，所以CE//A5且CE=g43,所以CE//FG且

CE=FG,即四边形CEGF为平行四边形，所以CFHEG；

又CF<Z平面£Gu平面Q4E,所以CT7〃平面Q4E.

题组B

1.已知复数Z=2T,Q•为虚数单位).

(1)求复数z的模目；

(2)求复数z的共朝复数；

(3)若z是关于x的方程必一7nx+5=0一个虚根，求实数R的值.

【答案】（1）5（2）z=2+z;（3）777=4.

【分析】

(1)直接根据模长的定义求解即可；

(2)实部相等，虚部相反即可；

(3)推导出(2—『)2—(2—。m+5=0,由此能求出实数R的值.

【解析】(1)因为复数z=2—i；

故|z|=J2?+(-1)2=#)；

(2)z=2+i;

(3)...2是关于X的方程d-7nx+5=0一个虚根，

ft(2-z)2-m(2-z)+5=0^(8-2m)+(m-4)z=0；

因为以为实数，所以m=4.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的模长、共振复数的定义、复数方

程的根，考查了计算能力，属于基础题.

2.已知a,4c是同一平面内的三个向量，其中。=(1,2).

⑴若|c|=26,且c//a,求c的坐标；

(2)若网=手，且魂+26与2.-5垂直，求a与。的夹角0.

【答案】⑴c=(2,4)或c=(-2,T)-

【解析】⑴设c=(x,y).

由c//a和|c|=2拓，可得广一T°解得厂=：或广;

，+;/=20[y=4[y=~4

故c=(2,4)或c=(-2,Y).

(2)•.•(a+2Z()±(2a-Z>),

.■.(a+2Z>)-(2a-Z>)=0,即2a2+3ab-2b2=0,

2x5+3a-Z>-2x—=0,整理得,

42

八ab1

COSu=-------=­I・

\a\\b\

又(9e[O,7i],，，=兀.

3.已知a*,c分别为A4BC内角4氏。的对边,且满足62+02-合=1A,

sinC=2sinB.

(1)求cosA;

(2)若△ABC的周长为6+J百，求AABC的面积.

【答案】⑴高⑵军.

【解析】(I)因为62+02一储=3历,

8

b2+c2-/5

所以cosA=

2bc16

(2)因为sinC=2sinB,所以c=2Z?.

由余弦定理得"=b2+c2-2bccosA=—b2,则a=^^-b.

42

因为AABC的周长为6+A，所以％+走6=6+炉，解得6=2

2

所以△ABC的面积为:xbxZbxJljA[

4.某城市100户居民的月平均用水量(单位：吨)，以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)

[8,10)[10,12)口2,14)分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中X的值；并估计出月平均用水量的众数.

(2)求月平均用水量的中位数及平均数；

(3)在月平均用水量为叵8),[8,10),[10,12),[12,14)的四组用户中,用分层

抽样的方法抽取22户居民，则应在口0,12)这一组的用户中抽取多少户？

(4)在第(3)问抽取的样本中，从口0/2)口2,14)这两组中再随机抽取2户，

深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？

2

【答案】(1)产0.075,7；(2)6.4,5.36；(3)2；(4)y.

【解析】(1)根据频率和为1,得2义

(0.02+0.095+0.11+0.125+JT+O.05+0.025)=1,

解得尸0.075；由图可知，最高矩形的数据组为[6,8),所以众数为

|(6+8)=7；

(2)[2,6)内的频率之和为

(0.02+0.095+0.11)X2=0.45；

设中位数为y,则0.45+(y-6)X0.125=0.5,

解得尸6.4,...中位数为6.4；

平均数为2(1x0.02+3x0.095+5x0.11+7x0.125+9x0.075+11x0.025)=5.36

⑶月平均用电量为口0,12)的用户在四组用户中所占的比例为

__________005__________工

0.125+0.075+0.05+0.025-115

2

，月平均用电量在口0/2)的用户中应抽取11乂兀=2(户).

(4)月平均用电量在口2,14)的用户中应抽取nxi=l(户)，

月平均用电量在口0,12)的用户设为/、B,月平均用电量在口2,14)的用户设为

C,

从口0,12),[12,14)这两组中随机抽取2户共有AB,AC,BC,3种情况,

其中，抽取的两户不是来自同一个组的有，ACIC,2种情况，

2

所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为1.

5.若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：

(1)甲中奖的概率夕(2);

(2)甲、乙都中奖的概率尸(③；

⑶只有乙中奖的概率p(。；

⑷乙中奖的概率P(力.

9132

【答案】(1)夕储)=3(2)P(^)=—(3)P(0=—(4)P(2?)="

510105

【解析】将5张奖券编号为1,2,3,4,5,其中4,5为中奖奖券，用(x,y)

表示甲抽到号码x,乙抽到号码片则可能的结果为(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,

5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

共20种.

⑴甲中奖包含8个样本点，・•.尸(4=4=：.

21

(2)甲、乙都中奖包含2个样本点，・・・2(而=垢=诃.

63

(3)只有乙中奖包含6个样本点，:・尸(。=—=—

⑷乙中奖包含8个样本点，：.P(D)=^7=|

LaU0

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面幽切为平行四边形，△尸C£>为等边三角形,

平面ft4C_L平面四匕PA_LCD,CD=2,AD=3.

(1)设G,〃分别为阳,47的中点，求证：GH〃平面必D;

(2)求证：B4_L平面尸如；

(3)求直线2〃与平面山。所成角的正弦值.

【答案】(1)(2)见解析(3)3.

3

【解析】(1)如图，连接龙，易知ACcBD=H,BH=DH.

又BG=PG,歆GH//PD.

又GH<z平面PAD,P£>u平面PAD,所以GHH平面PAD.

(2)如图，取棱阳的中点凡连接陇

依题意，得DN_LPC.

又平面R4C_L平面70,平面上4Cc平面尸CD=PC,

所以DN_L平面PAC.

又平面为。，故DN1PA.

又R4_LCD,CDcDN=D,所以R4_L平面尸6"

(3)如图，连接4V

由(2)中区,平面为乙可知/Q4N为直线49与平面44。所成的角.

因为/CZ)为等边三角形，CD=2且N为％的中点，

所以DN=6

又DN工AN，在心AND中，DN

sinZDAN=

AD-V

3

题组c

1.实数R分别取什么数值时？复数z=^m2+5m+6j+^m2—2根一15)i

⑴与复数2-12i相等；

(2)与复数12+16i互为共扼；

⑶对应的点在x轴上方

【答案】⑴m=-\,(2)m=l.(3)根<一3或相>5.

m2+5m+6=2

<

【解析】⑴根据复数相等的充要条件得向-2吁15=-12.解之，得”=一1.

m2+5m+6=12

(2)根据共振复数的定义得<.解之,得m=l.

m2—2m-15=-16

(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得病—2m-15>0,解之，得利<-3或

m>5.

2.已知二工」是同一平面的三个向量，其中1(3,3g)・

(1)若同=2,且

a!Ib，求「的坐标;

⑵若l与：的夹角e的余弦值为冬且丘二卜丘-3刁，求口.

【答案】(1)或口―6);(2)20

3.AABC中，内角AB,C的对边分别为4,仇c,(2c-b)cosA^acosB.

(1)求角A的值；

(2)<ABAC=3,a=S,求b+c.

7T

【答案】(1)Any(2)b+c=5.

［解析］(1)由正弦定理得：(2sinC-sin^cosAnsinAcosB

2sinCcosA=sin(A+5)

cosA=—

2

冗

•「Aw（0,万）A=—

3

（2）•.•Q.n=3得Ac=6

又由ZJ2+02-2bccosA-a2^-b2+c2-bc=1,即/+c2=13

;.3+c）2=25即b+c=5.

4.为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40

名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率

分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（1）求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；

（2）估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；

（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生

周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由.

【答案】（1）9；（2）8.75；（3）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有

代表性.

【分析】

（1）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，

计算结果；（2）首先估算学习时间在25%分位数所在的区间，再根据公式计算

结果；（3）根据样本的代表性作出判断.

【解析】（1）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为

(0.03+0.015)x5=0.225

则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40x0.225=9.

(2)学习时间在5小时以下的频率为0.02x5=0.1<0.25,

学习时间在10小时以下的频率为0.1+0.04x5=0.3>0.25,

所以25%分位数在(5,10),

0.25-0.1

5+5x=8.75,

~02

则这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75.

(3)不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性.

5.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在

一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星

队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是

3?

乙每轮猜对的概率是］；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦

互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：“星队”至少猜对3个成语的概

率.

2

【答案】

【解析】记事件4“甲第一轮猜对”，记事件6：“乙第一轮猜对”，记