八年级数学上册期中考试重难点题型（举一反三）（解析版）

专题06八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】

【人教版】

《皂商芍点11

考点1灵活运用三角形三边关系

考点2角平分线与多边形内角和

考点3多边形内角和与外角和

考点4三角形全等的条件判断

期中考试重难点题型

考点5等腰三角形中的分类讨论思想

考点6三种双角平分段应用

考虑7线段垂直平分级的应用

考虑8利用轴对称变换求最值

《如帆点淮I』

【知识点1］三角形

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.

钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上，

锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形

的角平分线.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.

（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）

7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.

9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.

12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，

13.公式与性质：

⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°

⑵三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑶多边形内角和公式：〃边形的内角和等于（〃-2）・180。⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360。.

⑸多边形对角线的条数：①从“边形的一个顶点出发可以引（"-3）条对角线，把多边形分成（〃-2）个三

角形.

②〃边形共有“（〃一3）条对角线.

2

【知识点2］全等三角形

1.基本定义：

⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.基本性质：

⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳

定性.

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.

⑵边角边（5AS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

⑷角角边（A4S）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

⑸斜边、直角边（〃L）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

4.角平分线：

⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）

【知识点3】轴对称

1.基本概念：

⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称

图形.

⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个

图形关于这条直线对称.

⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰

所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.基本性质：

⑴对称的性质：

①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平

分线.

②对称的图形都全等.

⑵线段垂直平分线的性质：

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

⑷等腰三角形的性质：

①等腰三角形两腰相等.

②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.

③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.

④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.

⑸等边三角形的性质：

①等边三角形三边都相等.

②等边三角形三个内角都相等，都等于60。

③等边三角形每条边上都存在三线合一.

④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形.

②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.

⑵等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形.

②三个角都相等的三角形是等边三角形.

③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直线的垂线：

⑵做已知线段的垂直平分线：

⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.

⑷作已知图形关于某直线的对称图形：

⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.

tAMKl

【考点1灵活运用三角形三边关系】

【例11（2019秋•洛龙区校级期中）已知△ABC的三边长为a",c,化简|a+〃-c|-也-a-c|的结果是（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b-c与的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出

答案.

【答案】解：:△ABC的三边长分别是a、b、c,

a+b>c^b-

•\a+h-c>0,h-a-c<0,

/.\a+b-c\-\b-a-c\=a+b-c-（-b+a+c）=a+b-c+b-a-c=2（b-c）；

故选：A.

【点睛】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键

是根据三角形的三边关系判断出a+b-c^,b-a-c的符号.

【变式1-1】（2019秋•滩溪县期中）设三角形三边之长分别为3,8,1-2”，则。的取值范围为（）

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.-2<a<5D.a<-5或a>2

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组求出其解即

可.

【答案】解：由题意，得

8-3<1-2a<8+3,

即5<1-2a<11,

解得：-5<a<-2.

故选：B.

【点睛】本题考查了根据三角形三边关系建立不等式组解实际问题的运用，不等式组的解法的运用，解

答时根据三角形的三边关系建立不等式组是关键.

【变式1-2］（2019秋•宁都县期中）如图,在△4BC中，AB=5,AC=3,则BC边上的中线AO的取值范

B.0<AD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【分析】先延长AD到E,且AD=DE,并连接BE,由于AD=DE,利用SAS易证△

ADg/\EDB,从而可得4c=B£,在△A8E中，再利用三角形三边的关系，可得2VAEV8,从而易求

1<AD<4.

【答案】解：延长到E,使连接BE,

'：AD=DE,NADC=NBDE,BD=DC,

/.△ADC^AEDB(SAS)

：.BE=AC=3,

在△AEB中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<2AD<5+3,

：.\<AD<4,

，/的取值范围是

故选：C.

【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

【变式1-3]（2019•防城港期中）在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为20°",则AB边的取值范围是（）

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<lOc/n

C.4cm<AB<ScmD.4cm<AB<10cm

【分析】设AB=AC=x，则8c=20-2x,根据三角形的三边关系即可得出结论.

【答案】解：；在等腰△A8C中，AB^AC,其周长为20CTW,

.,.设48=AC=XC，〃，贝IJBC=（20-2X）cm,

.r2x>20-2x

20-2x>0'

解得5cm<x<lOcvn.

故选:B.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解-元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此

题的关键.

【考点2角平分线与多边形内角和】

【例2】（2019春•沛县期中）如图，在五边形ABCDE中，ZA+ZB+ZE^a,DP,CP分别平分NEDC,

NBCD,则/P的度数是（)

A

A.90°+LB.-90°c.LaD.5400_XQ

2222

【分析】根据五边形的内角和等于540°,由N4+N8+/E=a,可求N8CD+NC0E的度数，再根据角

平分线的定义可得/尸。C与NPCC的角度和，进一步求得NP的度数.

【答案】解：,••五边形的内角和等于540°,NA+/8+/E=a,

ZBCD+ZCDE=540°-a,

■:/BCD、NCDE的平分线在五边形内相交于点O,

：.ZPDC+ZPCD=LCZBCD+ZCDE)=270。-岂，

22

.■.ZP=180°-(270°-L)=耳-90°,

22

故选：B.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键.注意整体思

想的运用.

【变式2-1](2019春•西湖区校级期中)如图，在四边形4BCD中，ND4B的角平分线与NABC的外角平

A.10°B.15°C.30°D.40°

【分析】利用四边形内角和是360°可以求得ND4B+NABC=150°.然后由角平分线的性质，邻补角

的定义求得NB4B+NABP的度数，所以根据aABP的内角和定理求得NP的度数即可.

【答案】解：如图，VZD+ZC=2100,/D48+/4BC+NC+/D=360°,

：.ZDAB+ZABC=\50°.

又,：/DAB的角平分线与/ABC的外角平分线相交于点P,

：.ZPAB+ZABP^LyDAB+ZABC+L(180°-ZABC)=90°+J-(ZDAB+ZABC)=165°,

222

ZP=I8O0-{ZPAB+ZABP}=15

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角.熟知“四边形的内角和是360。”是解

题的关键.

【变式2-2](2019秋•香洲区期中)如图，在四边形ABCC中，ZA+ZD=a,NA8C的平分线与/BCD

的平分线交于点P,则/P=()

C.90°+LD.360°-a

222

【分析】先求出/48C+/8CD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解/P的度

数.

【答案】解：：四边形A8CQ中，NA8C+NBCD=360°-(ZA+ZD)=360°-a,

"：PB和PC分别为N4BC、/BCD的平分线，

:.NPBC+NPCB=L(NABC+NBCD)=工(360°-a)=180°-L,

222

则/P=180°-(NPBC+NPCB)=180°-(1800-L)=L.

22

故选：B.

【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出/A8C+N8C。的度

数.

【变式2-3](2018秋•遵义期中)如图，在四边形ABCD中，/A8C与NBCD的平分线的交点E恰好在

AO边上，则NBEC=()

B.1(ZA+ZD)+45°

2

C.180°-(NA+ND)D.L/A+LN。

22

【分析】根据四边形的内角和和角平分线的定义解答即可.

【答案】解：•••四边形的内角和=360°,

/.ZABC+ZBCD=360°-(ZA+ZD),

,?ZABC与ZBCD的平分线的交点E恰好在AD边上，

：.2NEBC=NABC,2NECB=NBCD,

•••/EBC+NECB=/(NABC+/BCD)卷X[360°-(ZA+ZD)}

/.ZBEC=180°-(NEBC+NECB)

=180。-lx[360°-(ZA+ZD)]

=|(ZA+ZD)-

故选：D.

【点睛】本题考查角平分线的定义及四边形的内角和定理，解答的关键是根据四边形的内角和和角平分

线的定义解答.

【考点3多边形内角和与外角和】

【例3】(2019秋•岳池县期中)一个多边形的每一个内角都等于140。，那么从这个多边形的一个顶点出

发的对角线的条数是()

A.6条B.7条C.8条D.9条

【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可.

【答案】解：•••多边形的每一个内角都等于140°,

每个外角是180°-140°=40°,

这个多边形的边数是360°+40°=9,

.••从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条.

故选：A.

【点睛】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键.

【变式3-1](2019春•内江期中)马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和

等于830。，则该多边形的边数是()

A.7B.8C.7或8D.无法确定

【分析】〃边形的内角和是(〃-2)・180°,即为180°的(〃-2)倍，多边形的内角一定大于0度，小

于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2,以后所得的数值，比这

个数值大1或2的整数就是多边形的边数.

【答案】解：设少加的2个内角和为x度，边数为

则（n-2）X180=830+%,

即（”-2）X180=4X180+110+^,

因此x=70,〃=7或x=250,n—8.

故该多边形的边数是7或8.

故选：C.

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定

理是解决本题的关键.

【变式3-2]（2019春•诸城市期中）过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角

和的（）

A.4倍B.5倍C.6倍D.3倍

【分析】从多边形一个顶点可作7条对角线，则这个多边形的边数是10,〃边形的内角和可以表示成（〃

-2）-180°,代入公式就可以求出内角和，多边形的外角和为360°,相除即可.

【答案】解：•••过多边形的一个顶点共有7条对角线，

故该多边形边数为10,

（10-2）•180°=1440°,

.•.这个多边形的内角和为1440°,

又•・•多边形的外角和为360°,

A1440-4-360=4.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了多边形的对角线、内角和公式.外角和公式，是需要熟记的内容，比较简单.

【变式3-3】（2019•凉山州期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°,那

么原多边形的边数为（）

A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9

【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.

【答案】解：设内角和为1080°的多边形的边数是〃，则（〃-2）780°=1080°,

解得：“=8.

则原多边形的边数为7或8或9.

故选：D.

【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1,可能减少1，

或不变.

【考点4三角形全等的条件判断】

【例4】(2018秋•利津县期中)如图，AB//CD,BC//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的对数是

()

【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.

【答案】解：BC//AD,

：.NBAC=ZACD,/D4C=ZACB.

在△A8C和△CD4中

rZBAC=ZACD

-AC=CA>

LZDAC=ZACB

.,.△ABC^ACDA(ASA),

：.AD=BC,AB=CD.

在△ABE和△CZ)F中

'AB=CD

<NBAE=/DCF，

AE=CF

...△AB哈△CDF(SAS),

:.BE=DF.

'：AE=CF,

：.AE+EF^CE+EF,

：.AF=CE,

在△?!£＞尸和△C8E中

'BE=DF

<AD=BC，

,AF=CE

：./\ADF^/\CBE（SSS）,

即3对全等三角形，

故选:B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此

题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,4AS',SSS,②全等三角形的对应边相等，对

应角相等.

【变式4-1]（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，ZCAB^ZDAE,AC=AD,增加下列条件：①

=AE；②BC=ED；③NC=N。；④NB=NE；⑤N1=N2.其中能使△4BCZZV1E。的条件有（）

【分析】根据已有的条件/AC^AD,利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可.

【答案】解："：ZCAB=ZDAE,AC=AD,

①加上条件可利用SAS定理证明△ABC丝△A£D；

②加上BC=ED不能证明△ABCgZXAEZ）；

③加上NC=NO可利用ASA证明△A8C咨ZvlE力；

④加上N8=NE可利用/L4S证明△ABCg△AEZ）；

⑤加上/1=/2不能证明△力8c〈zME。；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SA5、ASA、

AAS.HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角

对应相等时，角必须是两边的夹角.

【变式4-2]（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一4ABC的是（)

A.AB=6,BC=5,NA=50°B.48=5,BC=6,AC=13

C.NA=50°,ZB=80°，AB=8D.乙4=40°,ZB=50°，ZC=90°

【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有C能画出唯一三角形.

【答案】解：4、已知A3、BC和2c的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误；

8、'：AB+BC=5+6=11<AC,

：.不能画出△ABC；

故本选项错误；

C、己知两角和夹边，能画出唯一△A8C,故本选项正确；

D、根据N4=40°,ZB=50°,ZC=90°不能画出唯一三角形，故本选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有S55、SAS.ASA、AAS,熟

练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【变式4-3］（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF-,

@AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,ZC=ZF,BC=EF；

@AB=DE,AC=O凡NB=NE.

其中，能使△ABCgZiOE尸的条件共有（）

【分析】根据全等三角形判定的条件，可得答案.

【答案】解：@AB=DE,BC=EF,AC=DF：

②AB=DE,BC=EF,NB=NE；

③NB=NE,NC=NF,BC=EF；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键.

【考点5等腰三角形中的分类讨论思想】

【例5】（2018春•邺城县期中）等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为

()

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.Sent

【分析】此题要分情况考虑：3c,“是底或3a”是腰.根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边

关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形.

【答案】解：当3c”?是底时，则腰长是（15-3）+2=6（cm）,此时能够组成三角形；

当3CTW是腰时，则底是15-3X2=9（cm）,此时3+3<9,不能组成三角形，应舍去.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到

两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的

关键.

【变式5-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为

40°,则此等腰三角形的顶角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来

讨论.

【答案】解：当为锐角时，如图：

VZADE=40°,ZA£D=90°,

AZ4=50°,

当为钝角时，如图:

D

ZAD£=40°,ZDAE=50a,

...顶角N3AC=180°-50°=130°.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键.

【变式5-2】（2019秋•绥棱县期中）已知一个等腰三角形底边的长为5cm,一腰上的中线把其周长分成的

两部分的差为3cm,则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2cn?或8c，”D.\Qcm

【分析】作出图形，根据三角形的中线的定义可得4D=CC,然后求出两三角形的周长的差等于腰长与

底边的差，然后分情况讨论求解即可.

【答案】解：如图，是△ABC的中线，

：.AD=CD,

...两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，

'/BC=5cm,

.,.AB-5—3或5-AB—3,

解得AB=8或48=2,

若A8=8,则三角形的三边分别为8。〃、8cvw、5cm,

能组成三角形，

若AB=2,则三角形的三边分别为2的、2cm.5cm,

；2+2=4<5,

不能组成三角形，

综上所述，三角形的腰长为8cm.

故选：B.

A

D

------------

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系

判断是否能组成三角形.

【变式5-3］（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,

则其顶角等于（）

A.30°B.30°或150°

C.120°或150°D.30°或120°或150°

【分析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难

求解.

【答案】解：①如图，,：ZADB=90°,AD=1AB,

2

.•./8=30°,

'：AC^BC,

：.ZCAB=301,,

180°-30°-30°=120°.

②如图，；NADB=90。,AD=^1AC,

ZACD=30Q,

■：AC=BC,

...NCA8=/B=I5°,ZACB=180°-30°=150°.

③如图，VZADB=90°,AD=^BC,

.,.ZB=30°,

'：AB=BC,

...NC48=/C=75°,

.\ZB=30°.

故选：D.

B

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用.

【考点6三种双角平分线应用】

【例6】（2018春•翠屏区校级期中）已知△ABC,下列说法正确的是（只填序号）.

①如图（1）,若点P是NABC和/ACB的角平分线的交点，则NP=90°+L/A；

②如图（2），若点P是外角NC8尸和/BCE的角平分线的交点，则/尸=90°-工/4；

2

【分析】①正确.三角形的内角和为180°,NA3C+/ACB=180°-/A,/尸=180°-(ZABC+

ZACB）,从而得证；

②正确.根据三角形外角平分线的性质可得（NA+/A8C）、（NA+N4CB）；

22

根据三角形内角和定理可得NP=90°-LAA.

2

③正确.根据角平分线的定义可得NPBC=LNABC,ZPCE=1.ZACE,由外角的性质可得NACE=N

22

ABC+ZA,NPCE=NPBC+NP,等量代换求出结果;

【答案】解：①正确.点是/A8C和NACB的角平分线的交点，

：.ZPBC+ZPCB=L(ZABC+ZACB')=J_(180°-/A)=90°-1.ZA,

222

.,.ZP=180°-1-(ZABC+ZACB)=180°-90°+L/A=90°+L/A；

222

②正确.•••8P、CP为△A8C两外角的平分线，

：.ZBCP=LZBCE^1-(ZA+ZABC),NP8C=L/CBF=L(/A+NACB),

2222

由三角形内角和定理得：

ZfiPC=1800-NBCP-NPBC

=180°』NA+(ZA+ZABC+ZACB)]

2

=180°-(ZA+1800)

2

=90°-^ZA.

2

③正确.「BP是△ABC中NA8C的平分线，C尸是NAC8的外角的平分线，

/.ZPBC^LZABC,ZPCE^LZACE,

22

NACE是△48C的外角，ZPCE是ABPC的外角，

ZACE=ZABC+ZA,/PCE=NPBC+NP,

:.LZACE=^ZABC+LZA,

222

/.A-ZABC+A-ZA=ZPBC+ZP,

22

ZP=AZA；

2

故答案为①②③.

【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系.

(I)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；

(2)三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.

【变式6-1](2019秋•新洲区期中)如图，△A8C中，NBAC=70°,/ABC的平分线与NACB的外角平

分线交于点O,则NBOC=度.

o

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得N8AC+NA8C=/ACE,ZBOC+

NOBC=NOCE,再根据角平分线的定义可得/08C=L/48C,ZOCE^LZACE,然后整理可得

22

【答案】解：由三角形的外角性质，ZBAC+ZABC=ZACE,ZBOC+ZOBC=ZOCE,

的平分线与/ACS的外角平分线交于点0,

：.ZOBC^l-ZABC,ZOCE^l-ZACE,

22

：.l-(ZBAC+ZABC)=NBOC+1-NA8C,

22

：.ZBOC=1-ZA,

2

•；NBAC=70°,

：.ZBOC=35°,

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

要注意整体思想的利用.

【变式6-2］（2019秋•高密市期中）如图，N4CZ）是△4BC的外角，/4BC的平分线与/ACC的平分线

交于点Ai,/A山。的平分线与/AC。的平分线交于点A2,若NA=60°,则NA2的度数为.

BD

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得/ACO=NA+NABC,ZAiCD=Z

A\+ZA\BC,根据角平分线的定义可得/AI8C=L/A8C,ZA}CD=LZACD,然后整理得到/4=工

222

乙4,同理可得NA2=L/AI.

2

【答案】解：由三角形的外角性质得，ZACD=ZA+ZABC,ZA\CD=ZA\+ZAiBC,

•/AABC的平分线与/ACO的平分线交于点A\,

：.ZA\BC=^ZABC,ZAiCD^l-ZACD,

22

：.ZAi+ZAiBC=l-(ZA+ZABC)=LzA+ZA\BC,

22

Z^4i=—ZA,

2

同理可得乙42=工乙41=工X_LX60。=15。，

222

故答案为15°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的上是解题的关键.

2

【变式6-3](2018秋•江汉区校级期中)如图，AMC中，NC=104°,8/平分NABC与△ABC的外角

平分线AE所在的直线交于点F,则ZF=.

【分析】根据角平分线的定义的定义可知：ZABF^LZABC,ZEAB^LZDAB,根据三角形外角的性

22

质可知：/EAB-NABF=52°,进而得到/尸的度数.

【答案】解：：8尸平分/ABC,AE平分/D4B,

ZABF=^ZABC,NEAB=LZDAB,

22

'：ZDAB-ZABC=ZC=104°,

ZF=NEAB-AABF=L(ZDAB-ZABC)=52°,

2

故答案为：52°.

c

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和是解题的关键.

【考点7线段垂直平分线的应用】

【例7】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB=AC,N8AC为钝角，BC=6,AB、AC的垂直

平分线分别交8c于点£＞、E,连接AD、AE,那么AAOE的周长为.

【分析】根据垂直平分线性质得AE=EC,所以AAOE周长=8C.

【答案】解：•••A8、AC的垂直平分线分别交8c于。、E,

：.AD=BD,AE=CE,

LAADE=AD+DE+AE=BD+DE+CE—BC—6.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是根据垂直平分线性质得AE=EC.

【变式7-1］（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，OM、EN分别垂直平分AC和BC交A8于M、N,

ZACB=118°,则的度数为.

【分析】据三角形内角和定理求出/A+/&根据等腰三角形性质得/4CM+/8CN的度数，然后求解.

【答案】解：VZACB=118°,

AZA+ZB=62°.

'：AM=CM,BN=CN,

：.ZA=ZACM,ZB=ZBCN,

:.NACM+NBCN=62°.

：.4MCN=NACB-（/ACM+NBCN）=118°-62°=56°.

故答案为：56°.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理等知识点，渗透/整体求值的思想方法，

难度不大.

【变式7-2］（2019秋•新乡期中）如图，在△D4E中，Z£>AE=30°,线段AE,AO的中垂线分别交直线

OE于B和C两点，则ZBAC的大小是.

【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.

【答案】解：如图，•••8是4E的中垂线上的点，C是A。的中垂线上的点，

：.AB=BE,AC=CD,

ZAED=NBAE=ZBAD+ZDAE,ZCDA=ZCAD^ZDAE+ZCAE,

'：^DAE+ZADE+ZAED=180°,

ZBAD+ZDAE+ZDAE+ZCAE+ZDAE=3ZDAE+ZBAD+ZEAC=90°+ZBAD+ZEAC=180°,

：.ZBAD+ZEAC^90Q,

AZBAD+ZEAC+ZDAE=90a+30°=120°.

故答案为：120°.

【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；确定各角的关系利

用内角和列式求解是正确解答本题的关健.

【变式7-3］（2018秋•老河口市期中）如图，△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P,连接P8,PC,

若/A=70°,则/BPC的度数是.

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到加=尸8,根据等腰三角形的性质得到/附8=/P3A,根据

三角形内角和定理计算.

【答案】解：NABC+NAC8=180°-ZA=IIO°,

是A8的垂直平分线，

：.PA^PB,

:.NaB=NPBA,

同理，ZPAC=ZPCA,

.../P8A+/PC4=/ftW+NB4C=NA=70°,

：.ZPBC+ZPCB=\\Oa-70°=40°,

：.ZBPC=lS0°-40°=140°,

故答案为：140。.

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂

宜平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

【考点8利用轴对称变换求最值】

【例8】（2017秋•襄州区期中）如图，NAOB=30°,NAOB内有一定点P,且OP=12,在。4上有一点

Q,OB上有一点R,若△PQR周长最小，则最小周长是

【分析】先画出图形，作PM-LOA与04相交于并将延长一倍到E,即例E=P例.作PN_L08

与08相交于M并将PN延长一倍到F,BPNF=PN.连接EF与0A相交于。，与。8相交于H,再连

接P。，PR,则△PQR即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平分线的性质得出再根据

三角形各角之间的关系判断出AE。尸的形状即可求解.

【答案】解：设/2。4=0,则NPO8=30°-6,作PM_LOA与OA相交于并将延长一倍到E,

即ME=PM.

作PN1.OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.

连接EF与相交于。，与0B相交于R,再连接PQ,PR,则△PQ/?即为周长最短的三角形.

,：0A是PE的垂直平分线,

：.EQ^QP-.

同理，08是PF的垂直平分线，

:.FR=RP,

.•.△PQR的周长=EE

'：0E=0F=-0P^\2,且/E0F=/E0P+NP。尸=20+2(30°-0)=60°,

...△E。尸是正三角形，

：.EF=\2,

即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12.

故答案为：12

【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把

求三角形周长的问题转化为求线段的长解答.

【变式8-1](2018秋•洛龙区校级期中)如图，等腰三角形ABC的面积是16,且底边BC长为4,腰AC

的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点EF,若点。为边8C的中点，点M为线段EF上一动点，则4

CM。周长的最小值是.

【分析】连接AQ,由于△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故再根据三角形的面积

公式求出A。的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A,故

AO的长为CM+M4的最小值，由此即可得出结论.

【答案】解：连接AQ,

•••△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

J.ADVBC,

：.SMBC=LBC'AD=LX4XAD=16,解得AD=S,

22

：是线段AC的垂直平分线，

/.点C关于直线EF的对称点为点A,

：.AD的长为CM+MD的最小值，

二△€1£>〃的周长最短为：（CM+MO）+。0=/1。+28。=8+工乂4=8+2=10.

22

故答案为：10

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质定理，熟知等

腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

【变式8-2］（2019秋•北塘区期中）如图，在五边形ABCQE中，NBAE=136°,NB=NE=90°,在

BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时，则/4MN+/4MW的度数为.

【分析】根据要使aAMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于

BC和ED的对称点A',A",即可得出N/U'M+ZA"^ZHAA1=44°,进而得出N4WN+NAMW

=2（ZAA1M+ZA"）即可得出答案.

【答案】解：作A关于8c和EO的对称点A',A",连接A'A",交BC于M,交ED于N,贝DA'

A"即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH,

•.•/B4E=136°,

：.ZHAA'=44°,

二/A'+/A"=44°,

:/A'=/M44',/NAE=/A

且NA'+ZMAA'=NAMN,ZNAE+ZA"=NANM,

：.ZAMN+ZANM^ZA'+ZMAA'+ZNAE+ZA"=2(/A'+ZA")=2X44°=88°,

故答案为：88°.

【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识,

根据已知得出M,N的位置是解题关键.

【变式8-3](2019•黄冈期中)如图，AC,8。在AB的同侧，AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中

点，若NCM£>=120°,则CD的最大值是.

【分析】如图，作点A关于CM的对称点A',点8关于0M的对称点8',证明△4'MB'为等边三

角形，即可解决问题.

【答案】解：如图，作点A关于C例的对称点A',点B