2022-2023学年九年级上学期同步讲练(人教版)第21章 重点突破训练：一元二次方程的综合应用

第21章重点突破训练：一元二次方程的综合应用

考点体系

考点1：一元二次方程与面积问题

典例：（2020.珠海市斗门区实验中学初三期中）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，

墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m.围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有

空隙.

（1）若墙长为18m,要围成养鸡场的面积为150m2,则养鸡场的长和宽各为多少？

（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2?请说明理由

------12m|--------

【答案】（1）养鸡场的宽是10m,长为15m；（2）不能，见解析

【解析】

解：（1）设养鸡场的宽为xm,根据题意得：

x（33-2x+2）=150,

解得：xi=10,X2=7.5,

当XI=10时，33-2x+2=15V18,

当X2=7.5时33-2x+2=20>18,（舍去）,

则养鸡场的宽是10m,长为15m.

（2）设养鸡场的宽为xm,根据题意得：

x（33-2x+2）=200,

整理得：2x2-35x+200=0,

△=（-35）2-4x2x200=1225-1600=-375<0,

因为方程没有实数根，

所以围成养鸡场的面积不能达到200m2

方法或规律点拨

此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方

程是解题的关键，注意宽的取值范围.

巩固练习

1.（2019•广西壮族自治区初三期末）如图，在长为32如宽为20根的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴

影部分），余下的部分种上草坪，要使道路的面积比草坪面积少440cm2.

（1）求草坪面积；

（2）求道路的宽.

【答案】⑴540cw2：（2）2>n

【解析】解：（I）设草坪面积为xcm,

f#x+（x-440）=32x20,

解得x=54（）,

所以，草坪面积为540cm2.

（2）设道路的宽为ym,

原图经过平移转化为图1.

20m

因此，根据题意得（32-y）（20-y）=540

整理得(y—2)(y—50)=0

解得x=2或x=50（不合题意，舍去）

因此，道路的宽为2,小

2.（2020•湖北省初三月考）如图是一张长20c7〃、宽12cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长相同

的正方形，然后将四周折起，可制成一个无盖纸盒，若要制成一个底面积为180CT后的无盖长方体纸盒，求

需要剪去的正方形的边长为多少？

7

【答案】正方形的边长为1

【解析】

解：设正方形的边长为Xcm

则无盖纸盒的长为（20-2x）cm,宽为（12-2x）cm

（20-2x）（12—2x）=180

Y—16X+15=0

解得：％=1,%=15（不合题意，舍去）

答：正方形的边长为

3.（2020•射阳县第二初级中学初二期中）如图,有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）,

围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃.

AD

BC

（1）设花圃的一边AB为xm,则BC的长可用含x的代数式表示为m；

（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米?

【答案】（1）30—3x；（2）7

【解析】

解：（1）由题意得:BC—30-3%,

故答案为：30-3xs

（2）由题意得:-3/+30x=63.

解此方程得xi=7,X2—3.

当x=7时,30-3x=9<10,符合题意;

当x=3时，30-3x=21>10,不符合题意，舍去；

故当A8的长为力”时，花圃的面积为63小.

4.（2020•哈尔滨市松雷中学校初二月考）某社区进行环境改造，计划用地面砖铺设楼前矩形广场的地面

ABCD,已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为边长相同的小正

方形，阴影分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色

地面砖.

（1）要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，并且四个角的小正方形面积的和不超过500平方米，那么

这个矩形广场的四个角的小正方形的边长应为多少米？

（2）在（1）的条件下，为了增加广场的绿化同时节省开支，现将广场四角的白色正方形地面砖的85%中

的一部分改为种植绿色景观，另一部分铺设绿色地面砖.经过市场调查了解到种植绿色景观每平方米的费

用为30元，白色地面砖每平方米的费用为20元，绿色地面砖每平方米的费用为10元.若广场四角的总费

用不超过9400元，则最多可以将多少面积的白色地面砖改为种植绿色景观？

【答案】（1）10米.（2）最多可以将240,小的白色地面砖改为种植绿色景观.

【解析】

解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：

4x2+(100-2x)(80-lx)=5200，

整理，得：X2-45X+350=0.

解之，得：%]=35,X2=10,

四个角的小正方形面积的和不超过500平方米，

，x=10

二要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，

则矩形广场四角的小正方形的边长为10米.

（2）设最多可以将山7的白色地面砖改为种植绿色景观，则铺设绿色地面砖的面积为：（85%x400-0根2,

则

30a+10（340-a）+60x20<9400,

解之得：a<240.

最多可以将240帆2的白色地面砖改为种植绿色景观

5.（2020•黄石市教育局初三一模）某广场有一块长50米、宽30米的空地，现要将它改造为花园，请你设

计一个修建方案，使满足下列条件：

（1）正中间留出一条宽2米的道路（如图）；

（2）道路两旁修建花坛，且花坛总面积占整个面积（不包括道路）的一半；

（3）设计好的整个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.（计算结果精确到0.1米）.

【答案】x的值约取3.9米.

【解析】

解：设计成如下图方案.

设花坛的边与空地之间的距离为x米,

由题意可列方程:

(50-2-4x)(30-2x)=8"

X2-27X+90=0,

解得：x,«3.9,X2«23.1(舍去),

x的值约取3.9米.

花坛四周与空地的距离，中间与道路的距离都约为3.9米.

6.（2019•武昌文华中学初一月考）小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长比宽多10cm,长方形的周长是100cm.

（1）求长方形的面积.

（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4,面积为520c4的新纸

片作为他用.试判断小丽能否成功，并说明理由.

。D

BC

【答案】（1）长方形的面积为600c4；（2）不能成功，理由详见解析.

【解析】

解：（1）设长方形的长为xc加，宽为ycm,

x-y=10

根据题意得：。/丁、“4

2（x+y）=100

x=30

解得：\“，

y=20

，长方形面积为：30x20=600c、〃/，

答：长方形的面积为600cm2；

（2）不能成功，理由如下：

设长方形纸片的长为5。（。>0）。〃，则宽为，

根据题意得：5。x4。=520,

解得：q=J正，%=-底（不合题意，舍去），

5«=5>/26<4。=4庄，

V4726>4A/25=20.

即纸片的宽大于原来硬纸片的宽，

...小丽不能成功.

考点2：一元二次方程与营销问题

典例：（2020•广东省初三其他）某汽车租贸公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元

时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆.

（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？

（2）公司领导希望日收益达到10160元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金，若不能，请说明理由，

（3）汽车日常维护要定费用，已知外租车辆每日维护费为100元未租出的车辆维护费为50元，当租金为

多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润=收益-维护费）

【答案】（1）当租金提高20元或30元时,公司的每日收益可达到10120元；（2）日收益不能达到10160

元，理由见解析；（3）当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元.

【解析】

2x

（1）设租金提高X元，则每日可租出（50——）辆，

10

2x

依题意，得：（200+x）（50——）=10120,

10

整理，得：x2-50x+600=0,

解得:Xi=20,X2=30.

答：当租金提高20元或30元时，公司的每II收益可达到10120元.

（2）假设能实现，租金提高x元，

2x

依题意，得：（200+x）（50--）=10160,

整理，得：x2-50x+900=0,

（-50）2-4xlx900<0,

...该一元二次方程无解，

...日收益不能达到10160元.

(3)设租金提高x元，

2x2x2x

依题意，得：(200+x)(50----)-100(50-----)-50x一=5500,

101010

整理，得：x2-100x+2500=0,

解得：X|=X2=50,

.,.200+x=250.

答：当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元.

方法或规律点拨

本题考查一元二次方程的应用，正确得出等量关系列方程是解题关键.

巩固练习

1.(2020•浙江省初二期中)某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元，计划售价大于12元但不超过22元，

通过试场调查发现，这种口罩每袋售价提高1元，日均销售量降低5袋，当售价为18元时，日均销售量为

50袋.

(1)在售价为18元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高x元，则日均销售量是袋；(用含x的

代数式表示)

(2)要想销售这种口罩每天赢利275元，该商场每袋口罩的售价要定为多少元？

【答案】⑴(50-5%)；(2)17

【解析】

解：(1)5()-x.5=5()-5x(袋)：

故答案为：(50-5x)；

(2)根据题意得：(18-12+幻(50-5幻=275,

即：X2-4X-5=0)

解得：玉=T,%=5，

当x=—1时，售价是18+(-1)=17元；

当x=5时，售价是18+5=23元.

•..计划售价大于12元但不超过22元，

x=-l.售价是17元.

答：该商场每袋口罩的售价要定为17元.

2.(2020•广州市花都区南阳学校初三月考)某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月

的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品.

(1)求该商品平均每月的价格增长率；

(2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售.经过市场调查发现：售价每下降一元，每

个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元.

【答案】(1)20%;(2)60元

【解析】

解：(1)设该商品平均每月的价格增长率为，”，

依题意，得：50(1+/»)2=72,

解得：叫=0.2=20%,〃?2=-2.2(不合题意,舍去).

答：该商品平均每月的价格增长率为20%.

(2)依题意，得:(x-40)[188+(72-x)]=4000,

整理，得：A2-300.r+14400=0,

解得：M=60,&=240(不合题意，舍去).

答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元.

3.(2020.北京市文汇中学初二期中)因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆己成

为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一.著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客

达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次.在磁器口老街，美食无数，一家

特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若

每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗.

(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率：

(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才

能实现每天利润6300元？

【答案】(I)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.

【解析】

(1)设平均增长率为％,则20(1+x)2=28.8

解得：％=0.2=20%x2=-2.2（舍）.

答：年平均增长率为20%

(2)设每碗售价定为了元时，每天利润为6300元

(y-6)[300+30(25-y)]=6300・

解得：X=20y2=21.

•••每碗售价不超过20元，

所以y=20.

4.(2020•丹东市第七中学初三一模)某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千

克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品

的销售情况，请解答以下问题.

(1)当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；

(2)商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多

少？

【答案】(1)月销售量450千克，月利润6750元；(2)销售单价应定为80元/千克

【解析】

(1)月销售量为:500-5x10=450(千克),

月利润为：(55-40)x450=6750(元).

(2)设单价应定为x元，

得：(x-40)[500-10(x-50)]=8000,

解得：xi=6(),X2=80.

当x=60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去.

/.x=80.

答:销售单价应定为80元/千克.

5.(2020•山东省初二期中)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60

元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发

现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件•设每件童装降价x元(x>0)时，平均每天可盈利y

元.

(1)写出y与x的函数关系式；

(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？

（3）该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由.

【答案】（1）旷=一2炉+20尤+400；（2）10元：（3）不可能，理由见解析

【解析】解：（1）根据题意得，

y与x的函数关系式为y=（20+2x）（60—40—x）=-2x2+20x+4（X）：

（2）当y=400时，400=-2x2+20x+400-

解得西=10,々=0（不合题意舍去）.

答：当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；

（3）该专卖店不可能平均每天盈利600元.

当y=600时，600=—2/+20%+400，

整理得/一10了+100=0，

•.•△=（-10）2-4xlxl00=-300<0,

，方程没有实数根，

答：该专卖店不可能平均每天盈利600元.

6.（2020•山西省初三一模）2020年年初以来，全国多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，

政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑.据统计：某超市2020年1月10日猪肉价格比去年同一天上涨

了40%,这天该超市每千克猪肉价格为56元.

（1）求2019年1月10日，该超市猪肉的价格为每千克多少元？

（2）现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉，按2020年1月10日价格出售，平均一天能销售100千

克.经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，平均每日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉平均

每天有1120元的销售利润，在尽可能让利于顾客的前提下，每千克猪肉应该定价为多少元？

【答案】（D2019年1月10日猪肉的价格为每千克40元；（2）每千克猪肉应该定价为53元.

【解析】（1）设2019年I月10[|,该超市猪肉的价格为每千克x元，

根据题意,得(1+40%)尤=56,

解得：x=40，

答：2019年1月10日猪肉的价格为每千克40元；

(2)设每千克猪肉应降价V元，

依题意，得:(56-46-y)(100+20y)=1120,

解得：X=2,y2=3,

♦.•尽可能让利于顾客，

,y=3,

56-y=53.

答：每千克猪肉应该定价为53元.

7.(2019•辽宁省初三月考)某商店经销甲、乙两种商品•现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单

价之和是3元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信

息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求甲、乙两种商品的零售单价；

(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件•经调查发现，甲种商品零售单价每降().1元，甲种

商品每天可多销售100件•商店决定把甲种商品的零售单价下降m(m>())元•在不考虑其他因素的条件下，

当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1700元？

【答案】(1)甲、乙零售单价分别为2元和3元；(2)当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商

品获取的利润共1700兀.

【解析】

(1)假设甲、种商品的进货单价为X,y元，乙种商品的进货单价为y元，

"x+y=3

根据题意可得：h(x+l)+2(2y-l)=12,

解得：［.=’2,

故甲、乙零售单价分别为2元和3元;

（2）根据题意得出：

（l-m）^500+100x^+lxl200=1700.

即2m2-m=0，

解得m=0.5或m=0（舍去），

答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元.

考点3：以百分数为未知量的一元二次方程

典例：（2020•广东省初三月考）经中共中央决定设立河北雄安新区，这一重大措施必将带动首都及周边区域

向更高水平发展，同时也会带来更多商机.某水果经销商在第一周购进一批水果1160件，预计在第二周进

行试销，购进价格为每件10元，若售价为每件12元，则可全部售出；若售价每涨价0.1元，销量就减少2

件.

（1）若该经销商在第二周的销量不低于1100件，则售价应不高于多少元？

（2）由于销量较好，第三周水果进价比第一周每件增加了20%,该经销商增加了进货量，并加强了宣传力

度，结果第三周的销量比第二周在（1）条件下的最低销量增加了m％,但售价比第二周在（1）条件下的最

2

高售价减少了后加％,结果第三周利润达到3388元，求机的值（相>10）.

【答案】（D售价应不高于15元；（2）"7=40.

【解析】

（1）设售价应为x元，依题意有：

2（12）

1160―-----^>1100,

0.1

解得:烂15.

答：售价应不高于15元.

（2）第三周的进价：10（1+20%）=12（元），

由题意得：

2

1100（1+m%）[15（1-—m%）-12]=3388,

设化简得50产-25f+2=0,

2I

解得：“=不’2=历，

所以"71=40,，〃2=10,

因为w>10,

所以？n=40.

答：机的值为40.

方法或规律点拨

本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解.

巩固练习

1.(2020•重庆初三其他)新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人体中发现

的新型冠状病毒.市民出于防疫的需求，持续抢购防护用品.某药店口罩每袋售价20元，医用酒精每瓶售

价15元.

(1)该药店第一周口罩的销售袋数比医用酒精的销售瓶数多100,且第一周这两种防护用品的总销售额为

9000元，求该药店第一周销售口罩多少袋？

(2)由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，第二周口罩售价降低了销量比第一周增加了

2

2a0/0,医用酒精的售价保持不变，销量比第一周增加了。％,结果口罩和医用酒精第二周的总销售额比第

一周增加了求。的值.

【答案】(1)第一周销售口罩300袋；(2)。的值为20.

【解析】(1)设第一周销售口罩％袋，则销售医用酒精(无一100)瓶，

依题意，<20x4-15(^-100)=9000,

解得x=3(X).

答：第一周销售口罩300袋，

故答案为：300；

(2)依题意得，

20(1a%)x300(1+2a%)+15x(300-100)(1+a%)=9000(1+1a%),

整理得0.6。2一12a=(),

解得q=20,«2=0(舍去).

答：”的值为20,

故答案为：20.

2.（2020•重庆一中初三一模）4月24日《复仇者联盟4》在中国大陆上映.我市江北影城为加大宣传，

决定在4月23日预售普通3。票400张和/MAX票100张，且预售中的/M4X的票价是普通3£>票价的2倍.

（1）若影城的预售总额不低于21000元，则普通30票的预售价格最少为多少元？

（2）影城计划在上映当天推出普通30票3200张，/MAX票800张.由于预售的火爆，影城决定将普通30

票的价格在（1）中最低价格的基础上增加而/M4X票价在（1）中/M4X票价上增加了。元，结果

7

普通3D票的销售量比计划少2a%.IMAX票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额与计划销售额相等，

求”的值.

【答案】（1）普通30票的预售价格最少为35元/张；（2）a的值为20.

【解析】

（1）设普通3D票的预售价格为x元/张，则/MAX票的预售价格为2x元/张，

依题意，得：400.r+100x2r>21000,

解得：x>35.

答:普通3。票的预售价格最少为35元/张.

（2）依题意，得：35（1+—a%）x3200（l-2a%）+（35x2+a）x800=35x3200+35x2x800,

7

整理，得:a2-20«=0,

解得:41=0（舍去），42=20.

答：”的值为20.

3.（2020・重庆巴蜀中学初二月考）智能手环是一种穿戴式智能设备，通过智能手环，用户可以记录日常生

活中的锻炼，睡眠、部分还有饮食等实时数据，并将这些数据与手机、平板同步，起到通过数据指导健康

生活的作用，某公司2020年3月新推出A型和8型两款手环.A型手环每只售价是B型手环售价的1.5倍.3

月份A、3手环总计销售650只，A型手环销售额为108000元，3型手环销售额为84000元.

（1）求A、3型手环的售价各是多少？

（2）由于更多的公司研发手环投入市场，市场竞争的加剧，公司决定4月份对两种手环进行降价促销，对

A型手环直降2a元，销量比原来提高了a%,对5型手环在原价基础上降价@%销售，销量比原来提高了

4

20%,4月份总计销售额为208320元，求。的值.

【答案】（1）A型手环售价为360元，8型手环售价为240元.（2）40.

【解析】

解：（1）设B型手环售价为X元，表示出A型手环售价为1.5%元，由题意得：

10800084000…

------+-----=650

1.5xx

解得x=240

经检验，犬=240符合实际意义，

A型手环售价为L5x=360（元）.

故A型手环售价为360元，8型手环售价为240元.

（2）由（1）得，B型手环促销前的销售量为84000+240=350台，则A型手环促销前的销量为650-350=300

台，

由题意得：300（360-2（a）（l+4％）+240x350（1--%）（1+20%）=208320

化简得：80+38“-/=0

解得a=40或。=一2（舍）

故。的值为40.

4.（2020•重庆一中初三月考）受非洲猪瘟的影响，2019年的猪肉价格创历史新高，同时其他肉类的价格也

有一定程度的上涨，某超市11月份的猪肉销量是羊肉销量的3倍，且猪肉价格为每千克70元羊肉价格为每

千克110元.

（1）若该超市11月份猪肉、羊肉的总销售额不低于27.2万元，则11月份的猪肉销量至少多少千克？

（2）12月份香肠腊肉等传统美食的制作，使得市场的猪肉需求加大，12月份猪肉的销量比11月份增长了

20a%,由于国家对猪肉价格的调控，12月份的猪肉价格比11月份降低了。％,羊肉的销量是11月份猪

肉销量的！，且价格不变.最终，该超市12月份猪肉和.羊肉的销售额比11月份这两种肉的销售额增加了

3

21

—a0/0,求。的值.

2

【答案】（D11月份猪肉销量至少为2550千克；（2）。的值为15

【解析】

解：（I）设11月份猪肉销量为x千克，

则：70x+110xl%>272000.

3

解得：x>2550,

答：II月份猪肉销量至少为2550千克；

（2）设11月份羊肉销量为加千克，猪肉销量为3加千克，则：

21

3加・（1+20。％）・70・（1-a%）+110冽=（70x34+110•加）（1+豆〃％）,

令a%=f，

2|

则3%(1+20，>70-(1-/)+110根=(70*3根+110・加)(1+5/),

整理得：20/一31=0，

3

解得：，=0或/=一，

20

，a=0(舍)或a=15，

答:a的值为15.

5.(2019•重庆初三一模)鲜丰水果店计划用12元/盒的进价购进一款水果礼盒以备销售.

0)据调查，当该种水果礼盒的售价为14元/盒时，月销量为980盒，每盒售价每增长1元，月销量就相应减

少30盒，若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于多少元？

(2)在实际销售时，由于天气和运输的原因，每盒水果礼盒的进价提高了25%，而每盒水果礼盒的售价比

(1)中最高售价减少了g加％，月销量比(1)中最低月销量800盒增加了m%,结果该月水果店销售该水果

礼盒的利润达到了4000元，求”的值.

【答案】(D若使水果礼盒的月销量不低于800盒，每盒售价应不高于20元；(2)用的值为25.

【解析】

解：(1)设每盒售价x元.

依题意得：980-30(%-14)>8()0

解得：x<20

答：若使水果礼盒的月销量不低于80()盒，每盒售价应不高于2()元

(2)依题意：2o[l-1m%)-12x(l+25%)x800(1+«?%)=4000

令：m%=t

化简：4产T=0

解得：，|=。(舍去)，t?=一

-4

/.m—25

答：加的值为25.

6.(2020.浙江省初二月考)每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某

文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本，已知甲款笔记本的进价为2

元/本，乙款笔记本的进价为4元/本，丙款笔记本的进价为6元/本，经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记

本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本、乙款

笔记本50本和丙款笔记本20本，如果将乙款笔记本的零售价提高色元(。>25),甲款笔记本和丙款笔

25

记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降。％,丙款笔记本每天的销售量将上升

-«%,甲款笔记本每天的销量仍保持不变.

2

(1)若a=30,调价后每天销售三款笔记本共可获利多少元？

(2)若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值.

【答案】(1)264元；(2)。的值为50.

30

⑴(4-2)X30+(6+--4)X50X(1-30O/O)+(10-6)X20X(1+15O/O)=264(元),

(2)根据题意，得(4一2)乂30+(6+4-4)'50(1—。％)+(10—6)[20(1+,4%)]=260,

252

整理得。2一70。+1000=0，

解得，q=50,4=2。(不合题意，舍去)，

答：a的值为50.

7.(2020•重庆南开中学初二月考)某体育用品制造公司通过互联网销售某品牌排球，第一周的总销售额为

3000元，第二周的总销售额为3520元，第二周比第一周多售出13个排球.

(1)求每个排球的售价；

(2)该公司在第三周将每个排球的售价降低了(其中a<5()),并预计第三周能售出120个排球.恰

2

逢中国女排夺冠，极大地激发了广大青少年积极参与排球运动的热情，该款排球在第三周的销量比预计的

120个还多了牝％.已知每个排球的成本为16元，该公司第三周销售排球的总利润为4320元，求。的值.

【答案】⑴40；(2)”=20

【解析】

解：(1)设每个排球的售价为x,根据题意：

3000+13x=3520,

解得：x=4().

答：每个排球的售价为40元.

（2）根据题意:401——a0/o-16x120(1+4%。)=4320,

整理得：片一95。+1500=0，

解得：4=20,4=75（不符合题意舍去）.

故。的值为20.

考点4：一元二次方程与动态几何问题

典例：（2020.绵竹市孝德中学初二期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,AB=12,

BC=21,AD=16.动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点

A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随

之停止运动.设运动的时间为t（秒）.

（1）设4DPQ的面积为S,求S与t之间的关系式；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？

（3）分别求出当t为何值时,①PD=PQ；②DQ=PQ.

【答案】（1）S=-6t+96：（2）当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形：（3）①当t=?■时，PD=PQ；②当口

【解析】

(1)在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,BC=21,AB=12,AD=16,

设AQ=t,BP=2t,则DQ=16-t,PC=21-2t,

过点P作PE±AD于E,

BC

则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12,

S=/DQ-AB=J(16-t)x12=-6t+96

故答案为：S=6t+96

(2)当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ,

/.2l-2t=16-t解得：t=5,

・・・当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形.

故答案为：当t=5时，四边形PCDQ是平行四边形

(3)VAE=BP=2t,PE=AB=12,

①当PD=PQ时，QE=ED=3QD,

VDE=16-2t,

，AE=BP=AQ+QE,即2t=t+16-2t,

解得：t=一，

3

,161

.,.当t=3-时，PD=PQ

故答案为：当1=当时，PD=PQ

②当DQ=PQ时，DQ2=PQ2

“.7

.，/2+122=(16-#解得：t=—

2

7

，当1=一时，DQ=PQ

2

7

故答案为：当1=一时，DQ=PQ

2

方法或规律点拨

本题考查了图形上的动点问题，一般运动时间为t,速度乘以时间得到路程，根据线段相关关系求解，在解

题过程中应用到了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等知识点.

巩固练习

1.(2020•广东省初三其他)(1)课本情境:如图，已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A

出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，

与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；

(2)逆向发散:当运动时间为2s时，P,Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P,Q两点的距离为多

少？

（3）拓展应用：若点P沿着AO—OC—CB移动，点P,Q分别从A,C同时出发，点Q从点C移动到点

B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间APOQ的面积为12cm2?

AB

Roc

Q24

【答案】（1）或（2）6\/2C7?I,2y/l3cm（3）4s或6s

【解析】

解：（1）设运动时间为，秒时，如图，过点尸作PEL8C于E,

由运动知，AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16-3t-2t=16-5t,

•点P和点Q之间的距离是10cm,

A62+(16-5t)2=100,

解得L=m'匕=I-，

(2)t=2时，由运动知AP=3x2=6cm,C0=2x2=4cm,

.••四边形APEB是矩形,

:,PE=AB=6,BE=6,

：.EQ=BC-BE-C0=16-6-4=6,

根据勾股定理得PQ=y）PE2+EQ2=672，

，当f=2s时，P,。两点的距离为60cm；

当f=4s时，由运动知AP=3x4=12a〃，CQ=2x4=8cni,

，四边形APE8是矩形，

；.PE=AB=6,8。=8,CE=OP=4

：.EQ=BC-CE-8。=16-4-8=4,

根据勾股定理得PQ=^PE^EQ1=2V13,

P，Q两点的距离为2ji5c”

(3)点Q从C点移动到B点所花的时间为16+2=8s,

当点P在A。上时，心生=吐瑛=12,

22

解得t=4.

POCO(3/-16)-2/

当点P在0C上时，SAPOQ==12,

22

解得/=6或-劣(舍弃).

3

POCO(2f+22—37)x6

当点P在C8上时•，S“POQ=------------=------------------------=12,

22

解得r=18>8(不符合题意舍弃),

综上所述，经过4s或6s时，的面积为12a".

2.(2020•杭州市拱宸中学初二月考)在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB

向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果

P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.

(1)填空：BQ=,PB=(用含t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?

(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说

明理由.

【答案】⑴2tcm；(5-t)cm(2)当t=2秒时,PQ的长度等于5cm(3)存在t=l秒，能够使得五边形APQCD

的面积等于26cm2

【解析】

(1),:P从点A开始沿边AB向终点B以Icm/s的速度移动，.•.AP=fan.

AB=5cm,.'.PB—(5-r)cm.

•••点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，.•.8。=2化"?；

(2)由题意得：(5-f)2+(2f)2=52,解得：日=0,检=2；

答：当f=0秒或2秒时，PQ的长度等于5a”.

(3)存在r=l秒，能够使得五边形APQC力的面积等于26aM.理由如下：

长方形A8CD的面积是：5x6=30(5)2),使得五边形APQC。的面积等于26c/，则MB。的面积为30-

26=4(cm2),(5-r)x2zx—=4,解得：h=4(不合题意舍去)，々=1.

2

即当，=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2.

3.(2020•山东省初三一模)阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知

矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形是矩形ABCD的“减

半”矩形.

请你解决下列问题:

长:4

长:125G

宽：2宽：3

（1）当矩形的长和宽分别为1,7时,它是否存在"减半”矩形？请作出判断，并说明理由.

（2）边长为。的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明

理由.

【答案】（D存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

解：（1）存在

x+y=4①

假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为工,丁，贝“»,

孙=一②

.2

由①，得：y=4—x,③

7

把③代入②，得x9-4x+-=0,

2

42ZBcV2\/2

解%=2H—‘尤2=2—-

所以“减半”矩形长和宽分别为2+注与2-注.

22

（2）不存在

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为!时，面积比必定是L,

所以正方形不存在“减半”正方形.

4.（2018•绍兴市元培中学初二期中）如图四边形ABC。，AD//BC,48=90°,AD=12an,AB=l（km,

BC=15cm.动点尸从点8出发，沿射线BC的方向以每秒3cm的速度运动到C点返回，动点。从点A出

发，在线段AO上以每秒2cm的速度向点。运动，点P，。分别从点3,A同时出发，当点。运动到点。

时，点P停止运动，设运动时间为秒）.

(1)当0<r<5时，是否存在点P,使四边形PQOC是平行四边形，若存在，求出f值；若不存在，请说

明理由；

(2)当f为何值时，以C,D，Q,P为顶点的四边形面积等于30。〃/；

(3)当0<t<5时，是否存在点P,使△PQO是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的f的

值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)t=3；(2)t=—；(3)t=3或叵.

53

【解析】解：⑴；AD〃BC

当DQ=CP时-，四边形PQDC是平行四边形，

当0<tV5时，点P从B运动到C,

VDQ=AD-AQ=12-2t,CP=15-3t,

.,.12-2t=15-3t,

解得：t=3,

...t=3时，四边形PQDC是平行四边形；

(2)分两种情况讨论：

①当点P是从点B向点C运动时，

,•,CP=15-3t,DQ=12-2t,以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于30cm2,

，S州以*CDQP=，(DQ+CP)・AB=30,即(12-2t+15-3t)xl0=30,

22

解得：t=—；

②当点P从点C返回点B时，

由运动知，DQ=12-2t,CP=3t-15,

:・S四边形CDQP=,(DQ+CP)・AB=30,即1(12-2t+3t-15)xlO=3O,

■22

解得：t=9,

♦.•点Q到达点D的时间为12+2=6,

•*.t=9舍去，

21

.•.当t为w秒时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于30cm2；

(3)分三种情况讨论：

作PHJ_AD于H,

①当PQ=PD时-，则HQ=HD,

1I/

VQH=HD=-DQ=-(12-2t)=6-t,

22

由AH=BP,得:6-t+2t=3t,

解得：t=3；

②当PQ=DQ时，

VQH=AH-AQ=BP-AQ=3t-2t=t,DQ=12-2t,

/.PQ2=QH2+PH2=t2+IO2,

,/DQ2=PQ2,

二(12-2t)2=t2+102,

24±2JTTT

解得：t=---------——，

3

VO<t<5,

._24-2A/TTT

••t---------------;

3

③当DQ=PD时，

DH=AD-AH=AD-BP=12-3t,DQ=12-2t,

.\PD2=PH2+HD2=1O2+(l2-3t)2,

：DQ2=PD2,

:.(12-2t)2=1()2+(i2-3t)2,

整理得:5t2-24t+100=0,

，方程无实根，即此情况不存在,

综上可知，当t=3秒或t=竺小叵秒时，APQD是等腰三角形.

3

5.(2019•浙江省初二期中)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B

以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、

B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

(1)经过6秒后，BP=cm,BQ=cm；

(2)经过几秒后，aBPQ是直角三角形？

(3)经过几秒ABPQ的面积等于1073cm2?