乐至县第二中学八年级数学上册-第十四章-整式的乘法与因式分解-14.1-整式的乘法-1-同底数幂的乘

Page1同底数幂的乘法教学目标：理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律．教学重点与难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围．教学过程：一、回顾幂的相关知识an的意义：an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．二、创设情境，感觉新知问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？学生分析，总结结果1012×103=()×(10×10×10)==1015．通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．学生动手：计算下列各式：（1）25×22

（2）a3·a2

（3）5m·5n（m、n都是正整数）教师引导学生注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．得到结论：（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．（2）一般性结论：am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：am·an=()·()=()=am+nam·an=am+n（m、n都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加三、小结：同底数幂的乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·an=am+n（m、n是正整数）．Page4【知识与技能】1.经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义.2.理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题.【过程与方法】1.在探索积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力.【情感态度】体会探究数学法则的乐趣，增加学习数学的信心与兴趣.【教学重点】积的乘方法则的应用.【教学难点】积的乘方法则的推导.一、情境导入，初步认识教师带领学生依据乘方的意义及前面积累的经验，推导积的乘方公式，并由学生表述文字语言和数学公式.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘.公式为：（ab）n=anbn（n为正整数）.【教学说明】1.三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质，如（abc）n=anbncn（n为正整数）.2.积的乘方法则可以逆用，即an·bn=（ab）n（n为正整数）.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1计算下列各题.【分析】应用积的乘方公式时，要分清底数含有几个因式，确保每个因式都进行乘方，注意系数的符号，特别不能忽视系数为-1时的计算.【教学说明】在-（-2a2b4）3中，指数3对第一个负号不起作用，对第二个负号起作用.例2计算下列各题.【分析】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂相乘.【教学说明】可类比实数运算法则来安排上述各题的运算顺序.例3计算：【分析】每个幂的指数都较大，应观察题目特点，结合1，-1和0的乘方的规律，寻找简便运算.根据积的乘方公式的逆用，即“同指数幂相乘，指数不变，底数相乘”来把原式进行转化.【教学说明】逆用幂的乘法公式（包括同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方）是解数学题的一种常用技巧.本题即是依据题中指数大，底数中有互为倒数（互为倒数的积为1）的特征，通过对题目结构转化，逆用积的乘方公式求解的.在转化时，注意性质符号.运算符号的变化不能出错，不能因转化而改变了原式的大小.三、运用新知，深化理解1.写出下列各题的结果.2.计算下列各题.×103mm的正方体箱子，求这种箱子的容积（结果用科学记数法表示）.4.写出下列各题的结果.5.试问：N=212×58是一个几位的正整数？【教学说明】上述习题可由学生分组集体讨论求解，题1是巩固积的乘方法则；题2是幂的乘法与其他运算的综合，强调学生看清题目特点，合理选用法则，并特别注意符号与运算形式转化不能出错；题3是积的乘方公式在实际问题中的应用，注意解答过程完整；题4，题5是积的乘方等公式的逆用，要发掘技巧，形成能力.四、师生互动，课堂小结 1.本节所学的积的乘方公式是什么？如何用文字表达？应用时要注意些什么？说出你的收获与思考.2.对比幂的乘方，同底数幂的乘法、积的乘方公式的联系与区别，与同伴交流你的感受.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学可先由学生依据同底数幂的乘法、幂的乘方等法则的推导与应用自主探究出积的乘方法则，并应用于具体解题之中.教师注意引导学生发现幂的乘法三个法则之间的异同，并利用具体问题指导学生解题时先观察分析问题特征，再合理选用法则.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，从中培养学生计算能力，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.Page1第4.1函数同步检测一、选择题1.在圆的周长C=2πR中，常量与变量分别是（）A．2是常量，C、π、R是变量 B．2π是常量，C、R是变量C．C、2是常量，R是变量 D．2是常量，C、R是变量答案：B解析：解答：∵在圆的周长公式C=2πr中，C与r是改变的，π是不变的；∴变量是C，r，常量是2π．故选：B．分析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．2.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器答案：B解析：解答：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．故选：B．分析：函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．3.下列四个关系式：（1）y=x；（2）=x；（3）y=；（4）|y|=x，其中y不是x的函数的是（）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）答案：B解析：解答：根据对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，（1）y=x，（3）y=满足函数的定义，y是x的函数，（2）=x，（4）|y|=x，当x取值时，y不是有唯一的值对应，y不是x的函数，故选：B．分析：根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定不是函数的个数．4.下列图象中，不能表示函数关系的是（）A． B． C． D．答案：C解析：解答：根据函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，这时称y是x的函数．选项C，对于一个x有两个y与之对应，故不是函数图象，故选：C．分析：根据函数的图象可知对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应进行判定即可．5.如表列出了一项实验的统计数据：它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示变量y与x之间的关系式为（）A．y=2x-10 B．y= C．y=x+25 D．y=x+5答案：A解析：解答：根据题意，设函数关系式为y=kx+b，则解得：，则y=2x-10．故选：A．分析：观察各选项可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b，然后选择两组数据代入，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．6.某种签字笔的单价为2元，购买这种签字笔x支的总价为y元．则y与x之间的函数关系式为（）A．y=-x B．y=x C．y=-2x D．y=2x答案：D解析：解答：依题意有：y=2x，故选D．分析：根据总价=单价×数量得出y与x之间的函数关系式即可．7.在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠-2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2答案：D解析：解答：根据题意，有x-2≠0，解可得x≠2；故选D．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-2≠0，解可得自变量x的取值范围.8.函数y=中自变量x的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥-1 C．x＞-1 D．x≥1答案：B解析：解答：根据题意得：x+1≥0，解得：x≥-1．故选：B．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9.函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞-1 B．x＞-1且x≠1 C．x≥一1 D．x≥-1且x≠1答案：D解析：解答：根据题意得：，解得：x≥-1且x≠1．故选D．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．10.已知函数y=3x-1，当x=3时，y的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9答案：C解析：解答：x=3时，y=3×3-1=8．分析：把x=3代入函数关系式进行计算即可得解．11.对于函数y=，当自变量x=2.5时，对应的函数值是（）A．2 B．-2 C．±2 D．4答案：A解析：解答：x=2.5时，y==2．故选A．分析：把自变量x的值代入函数关系式进行计算即可得解．12.根据下列所示的程序计算y的值，若输入的x值为-3，则输出的结果为（）A．5 B．-1 C．-5 D．1答案：B解析：解答：∵x=-3＜1，∴y=x+2=-3+2=-1．故选B．分析：．根据程序可以得到：当x＜1时，把x的值代入y=2+x，即可求得y的值；当x≥1时，代入y=x-2，求得y的值．13.某星期下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车在步行了2公里B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟答案：D解析：解答：A.依题意得小强从家到公共汽车步行了2公里，故选项正确；B.依题意得小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故选项正确；C.公交车的速度为15÷0.5=30公里/小时，故选项正确．D.小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误；故选D．分析：根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里，步行用了多长时间，等公交车时间是多少，两人乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速度．14.均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（）A． B． C． D．答案：A解析：解答：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A．分析：由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．15.下面说法中正确的是（）A．两个变量间的关系只能用关系式表示B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况D．以上说法都不对答案：C解析：解答：A.两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；B.图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；C.借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；D.以上说法都不对，错误；故选C．分析：表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法．二、填空题16.等腰三角形的顶角y与底角x之间是函数关系吗？（是或不是中选择）答案：是解析：解答：∵等腰三角形的顶角y与底角x之间的关系为：y+2x=180°，则y=-2x+180°，故顶角y与底角x之间是函数关系．故答案为：是．分析：利用等腰三角形的性质得出y与x之间的关系，即可得出答案．17.火车以40千米/时的速度行驶，它走过的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系式，其中自变量是，因变量是.答案：s=40t|t|s解析：解答：走过的路程s（千米）与时间t（小时）关系式是s=40t，其中自变量是t，因变量是s．分析：由于火车匀速行驶，故其运动过程符合：路程=速度×时间，即s=40t．可见，对于每一个t的值，s都有唯一的值和它相对应．18.一列火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）是所用时间t（时）的函数，这个函数关系式可表示为.答案：s=60t解析：解答：s与t的函数关系式为：s=60t，

故答案为：s=60t．分析：根据路程=速度×时间即可求解．19.在函数y=中，自变量x的取值范围是.答案：x≥-1且x≠0解析：解答：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥-1且x≠0．故答案为：x≥-1且x≠0．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．20.放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．答案：0.2解析：解答：由纵坐标看出路程是2千米，由横坐标看出时间是10分钟，小明的骑车速度是2÷10=0.2（千米/分钟），故答案为：0.2．分析：根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案．三、解答题21.一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（千米）．（1）写出y与x的关系式；（2）这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？答案：解答：（1）y=-0.6x+48；答案：y=-0.6x+48（2）当x=35时，y=48-0.6×35=27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y=12时，48-0.6x=12，解得x=60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．答：剩油27升；行驶了60千米解析：分析：（1）根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；（2）根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值．22.在国内投寄平信应付邮资如下表：（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．答案：（1）y是x的函数，当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．解析：分析：（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量可得y是x的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．23.地壳的厚度约为8到40km，在地表以下不太深的地方，温度可按y=3.5x+t计算，其中x是深度，t是地球表面温度，y是所达深度的温度．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？（2）如果地表温度为2℃，计算当x为5km时地壳的温度．答案：解答：（1）解：自变量是地表以下的深度x，因变量是所达深度的温度y；（2）解：当t=2，x=5时，y=3.5×5+2=19.5；所以此时地壳的温度是19.5℃．解析：分析：（1）因为温度可按y=3.5x+t计算，其中x是深度，t是地球表面温度，y是所达深度的温度，所以自变量是x，因变量是y．（2）令t=2，x=5，代入函数解析式，即可求解．24.乐平街上新开张了一家“好又多”超市，这个星期天，张明和妈妈去这家新开张的超市买东西，如图反映了张明从家到超市的时间t（分钟）与距离s（米）之间关系的一幅图．（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？（2）张明从家出发到达超市用了多少时间？从超市返回家花了多少时间？（3）张明从家出发后20分钟到3