人教版数学九年级下册教案-27.2.1-第2课时-三边成比例的两个三角形相似

27.2．1相似三角形的判定ﻫ第2课时三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点）2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等,对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢?在如图所示的方格上任画一个三角形,再画第二个三角形,使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点:三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似在Ｒt△AＢＣ中,∠C＝９0°，AB＝10,ＢＣ＝6，在Ｒt△EＤF中，∠F＝90°，DF＝3，ＥF=4,则△AＢC和△EDF相似吗?为什么?解析:已知△ABC和△ＥDF都是直角三角形，且已知两条边长,所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解:△ABC∽△EＤF．在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝６,∠C=90°,由勾股定理得AC＝eq\r(AB2-BC2)=ｅq\ｒ（102－62)=8.在Ｒt△DＥF中,DF＝3，EF=４，∠F=９０°，由勾股定理得ED＝eq\r(DF２+EF2)＝eq\r(32+4２）=5．在△ABＣ和△EDF中,ｅq\ｆ(ＢＣ，DF)=eq\f(6,3)＝２,eq\f(AC,EF）=ｅq\ｆ(８，４）=2，ｅq\f(AB,ED)=ｅｑ＼f（10,5)=２,所以eq\f(BC,ＤF)＝ｅq\f(AC,EF)=eq＼f(ＡB,ED）,所以△ＡBＣ∽△ＥＤF.方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例,而不是两边对应成比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第２题【类型二】网格中的相似三角形如图，在边长为１的小正方形组成的网格中，△ABC和△ＤEＦ的顶点都在格点上，判断△ABＣ和△DEF是否相似,并说明理由.解析：首先由勾股定理,求得△ABC和△DＥＦ的各边的长，即可得eq\ｆ（ＡB，DE)＝ｅｑ＼ｆ(ＡC,ＤF)=eq\f（BC,ＥＦ),然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似,即可判定△ABC和△ＤEＦ相似．解：△ABＣ和△ＤEF相似．由勾股定理，得AＢ＝2eq\r(5），AＣ=eｑ\r(5）,ＢC＝5，DE=4，DF=２,ＥF=2eq\r(5),∵eｑ\f(ＡB,ＤE)=eq\f(ＡC,DF)＝ｅq＼ｆ(BＣ,EF)=eｑ\f(2\r(5）,4)=eｑ＼f(＼r(５),2),∴△ABＣ∽△DEＦ．方法总结:在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，已知ｅq\f(ＡB,ＡD）=ｅｑ\ｆ(BＣ,DE)=eｑ\ｆ(AC，AE),找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由eｑ＼f(ＡＢ,AＤ)＝ｅq＼f(BＣ，DE）＝eq\f(AC,AE)，证明△AＢC∽△ADＥ,再利用相似三角形对应角相等求解.解:在△ＡBC和△ADＥ中，∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(BＣ,DE)=eq\f(ＡC,AＥ),∴△ABC∽△ADE，∴∠BAＣ＝∠DAE，∠B=∠D,∠C=∠E.方法总结:在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A,Ｂ，Ｃ，D之间建有公路，已知ＡB＝14千米,AD＝28千米,ＢD=２1千米,BC=４２千米，ＤＣ=31．5千米，公路AB与ＣD平行吗?说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似,得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系.解:公路AB与CD平行.∵eq\f(AB，BD)＝eq\ｆ(14,2１)=eｑ\ｆ(2,3）,eｑ\ｆ(ＡD,BC)=eq\f(28,４2)=eq\f(2,3)，eｑ＼f(BＤ,DC)=eq\ｆ（21，31.５)＝eq\f（2,3),∴△ＡBD∽△BDＣ，∴∠ABＤ＝∠BDC，∴AB∥ＤC.方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时,可考虑使用“三边对应成比例,两三角形相似”的判定方法.【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cｍ，60cm,8０ｃm，另一个三角形教具的一边长为20cm,请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看,有几种解决方案.解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解:①当长为20cｍ的边长的对应边为5０cm时,∵50∶２0=5∶2,且第一个三角形教具的三边长分别是50cm,6０ｃｍ，８0cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm,24ｃm，32ｃm;②当长为20ｃm的边长的对应边为60ｃm时,∵60∶２0=3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，６0cm，80ｃm,∴另一个三角形对应的三边分别为:eq\ｆ(50,３)ｃm，20cm,eｑ\f(8０,３)cm;③当长为20cm的边长的对应边为80cm时，∵80∶20＝4∶1,且第一个三角形教具的三边长分别是5０cｍ,６0cm,8０cｍ,∴另一个三角形对应的三边分别为：１2.5cm，15ｃm,20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1.三角形相似的判定定理：三边对应成