人教版五升六数学暑假升级训练专题03长方体和正方体(学生版+解析)

知识点01：长方体和正方体的认识1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。知识点02：长方体和正方体的表面积1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4底面积（占地面积）＝长×宽侧面积（左面、右面）＝宽×高前（后）面积＝长×高表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×23、正方体公式：棱长和＝棱长×12棱长＝棱长和÷12表面积＝棱长×棱长×6（任意一个面积×6）没盖的表面积＝棱长×棱长×5知识点03：长方体和正方体的体积1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高字母公式：v=abhv=sh3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长4、读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×a×a）。5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。8、、体积和容积单位之间的进率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。►长方体和正方体的认识1、长方体的6个面有时不都是长方形。2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。3、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。4、长方形的长宽高是相对的，把正方体摆正，一般情况下把前面横着的棱叫长，左右面横着的棱叫宽，竖着的棱叫高。►长方体和正方体的表面积1、长方体和正方体的展开图不止一种，但是表面积是固定的。2、求正方体的表面积只需要计算出一个面的面积就可以求出总面积。3、解决比较负责的表面积增减变化的问题，通常要先假设棱长为1或者长为1，再通过计算比较，得出正方体或长方体表面积的增减变化规律。►长方体和正方体的体积1、物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。2、并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。3、如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。4、体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。5、在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。6、只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。7、用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。8、物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。9、计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。10、用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。一．精挑细选（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2023春•雁江区期中）一个长方体的长扩大到原来的2倍，宽和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（）倍。A．6 B．18 C．2 D．32．（2分）（2023春•应城市期中）如图两个长方形是一个长方体的前面和右面，这个长方体的体积是（）A．28cm3 B．140cm3 C．无法确定3．（2分）（2023春•泉州期中）一个长7dm、宽5dm、高5dm的长方体，下面求它表面积的算式中正确的有（）个。5×5×2+7×5×4（7+5）×2×5+7×5×2（7×5+5×5+7×5）×25×5×2+7×5×2+7×5×2A．1 B．2 C．3 D．44．（2分）（2023春•沈丘县期中）明明用一些棱长为2cm的正方体积木拼成了一个大长方体模型（如图）。这个长方体模型的体积是（）cm3。A．144 B．160 C．2165．（2分）（2023春•沈丘县期中）一张长、宽分别是80cm，60cm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为10cm的小正方形（如图），弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是（）L。A．2400 B．240 C．246．（2分）（2023春•社旗县期中）一个正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积增加162cm2。原来正方体的表面积是____cm2，体积是____cm3。（）A．972；726 B．486；729 C．486；972二．认真填空（共7小题，满分16分）7．（2分）（2023春•海城市期中）把一根长6m的长方体木料锯成两段后，表面积增加了400dm2，这根木料的体积是m3。8．（2分）（2023春•南安市期中）如图是淘气比较小球体积和正方体体积时做的实验，那么小球体积和正方体体积相差cm3。（单位：cm）​9．（2分）（2023春•炎陵县期中）一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体后，正方体的体积是，剩下部分的体积是。10．（2分）（2023春•沈丘县期中）一根长为7m的长方体木料，把它平均锯成3段（如图），表面积正好增加48dm2，原来这根木料的体积是m3。11．（2分）（2023春•泉州期中）李叔叔要做一个长方体灯罩，他先用铁棍焊接灯罩的框架，已经完成了三条棱（如图），要制作这个完整的长方体框架，一共需要分米长的铁棍。（焊接处忽略不计）12．（4分）（2022秋•太原期末）（1）将5立方米的沙子均匀铺在长8米、宽2.5米的长方体沙坑里，沙子厚分米。（2）玲玲借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如图，石头的体积是立方厘米。（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。13．（2分）（2022春•东湖区期末）一个长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，高是长的2倍。这个长方体鱼缸的底面积是平方分米，体积是立方分米。（填字母式）三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2023春•应城市期中）一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h，且a＞b＞h，若把长方体切割成一个最大的正方体，则这个正方体的体积是a3。（判断对错）15．（2分）（2023春•沈丘县期中）长方体是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。（判断对错）16．（2分）（2023春•阜平县期中）用两块同样的橡皮泥分别捏成正方体和长方体，它们的体积一样大。（判断对错）17．（2分）（2023春•镇平县期中）如果一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，那么正方体的体积一定大于长方体的体积。（判断对错）18．（2分）（2021秋•偃师市期中）一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的体积是杯子体积的一半。（判断对错）四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）19．（4分）（2022春•关岭县期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）20．（4分）（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。五．实际应用（共6小题，满分24分，每小题4分）21．（4分）（2023春•雁江区期中）一个长方体铁皮长50厘米，宽28厘米。如果从四个角剪去边长6厘米的正方形，再折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的容积是多少？22．（4分）（2023春•雁江区期中）一个正方体的容器，棱长12分米，装满水后，倒入一底面长20分米，宽15分米，高18分米的长方体容器中，现在水的深度是多少分米？23．（4分）（2023春•历城区期中）一块体积为60立方米的长方体大理石，底面积为6平方米。这块大理石的高是多少米？24．（4分）（2023春•应城市期中）工厂挖了一个长40m，宽20m，深2m的长方体蓄水池。要在蓄水池的底面和四壁抹水泥，若每平方米用水泥2.5kg，那么一共需要水泥多少千克？25．（4分）（2023春•云浮期中）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽30米，深2米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥12千克，22吨水泥够不够用？26．（4分）（2022•南岸区）如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？六．动手操作（共2小题，满分9分）27．（5分）（2022春•乐陵市期末）体积的测量。用1cm3的体积单位测量了长方体盒子的体积，我发现：长方体盒子一行摆个，有行，有层，共有个体积单位，所以长方体盒子的体积是cm3。28．（4分）（2020秋•宜兴市期末）用3个同样的小长方体（如图），拼成一个大长方体，可以怎样拼？先想象操作，再填一填。（单位：厘米）拼成的大长方体中，表面积最小平方厘米，表面积最大是平方厘米。七．解决问题（共5小题，满分22分）29．（4分）（2023春•镇原县期中）王叔叔有一张长60cm、宽40cm的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5cm的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。（1）你来帮李叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计）（2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？30．（4分）（2023春•南安市期中）某社区挖了一个长20m、宽18m、深5m的长方体蓄水池。（1）如果给这个蓄水池的池底和四周贴上瓷砖，每平方米需要10块瓷砖，至少需要准备多少块这样的瓷砖？（2）在蓄水池内壁4.5m高的位置画一圈水位线，要求水面不得高于这条水位线，则蓄水池的最大蓄水量是多少立方米？31．（4分）（2023春•邓州市期中）一块长方体木块，从下部和上部分别截去2cm和3cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了120cm2，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？​（5分）（2023春•英德市期中）有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高6厘米（图1）。如果把这个容器竖起来放（图2），水的高度会是多少厘米？33．（5分）（2022秋•阜宁县期末）李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米，宽3分米、高2.5分米的长方体．（1）如果要用彩带把这个礼品盒捆扎起来（扎法如图，打结处彩带长2分米），一共需要彩带多少分米？（2）做这个礼品盒至少要多少平方分米的硬纸板？知识点01：长方体和正方体的认识1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。知识点02：长方体和正方体的表面积1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4底面积（占地面积）＝长×宽侧面积（左面、右面）＝宽×高前（后）面积＝长×高表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×23、正方体公式：棱长和＝棱长×12棱长＝棱长和÷12表面积＝棱长×棱长×6（任意一个面积×6）没盖的表面积＝棱长×棱长×5知识点03：长方体和正方体的体积1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高字母公式：v=abhv=sh3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长4、读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×a×a）。5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。8、、体积和容积单位之间的进率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升1立方厘米＝1毫升1升＝1000毫升字母表示：1=10001=10001L=1000ml1L=11ml=19、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。►长方体和正方体的认识1、长方体的6个面有时不都是长方形。2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。3、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。4、长方形的长宽高是相对的，把正方体摆正，一般情况下把前面横着的棱叫长，左右面横着的棱叫宽，竖着的棱叫高。►长方体和正方体的表面积1、长方体和正方体的展开图不止一种，但是表面积是固定的。2、求正方体的表面积只需要计算出一个面的面积就可以求出总面积。3、解决比较负责的表面积增减变化的问题，通常要先假设棱长为1或者长为1，再通过计算比较，得出正方体或长方体表面积的增减变化规律。►长方体和正方体的体积1、物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。2、并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。3、如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。4、体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。5、在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。6、只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。7、用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。8、物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。9、计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。10、用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。一．精挑细选（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2023春•雁江区期中）一个长方体的长扩大到原来的2倍，宽和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（）倍。A．6 B．18 C．2 D．3【思路引导】设原来的长方体的长为3，宽为2，高为1，则扩大后的长方体的长为（3×3），宽为（2×3），高为（1×3）；根据长方体的体积＝长×宽×高，分别求出原来长方体的体积和扩大后的长方体的体积，再用扩大后的长方体的体积除以原来长方体的体积即可。【规范解答】解：设原来的长方体的长为3，宽为2，高为1。3×2×1＝6×1＝6（3×2）×（2×3）×（1×3）＝6×6×3＝108108÷6＝18答：体积扩大到原来的18倍。故选：B。【考点评析】解答此类问题用赋值法比较简便。2．（2分）（2023春•应城市期中）如图两个长方形是一个长方体的前面和右面，这个长方体的体积是（）A．28cm3 B．140cm3 C．无法确定【思路引导】长方体前面的长加上长方体的长，前面的宽就是长方体的高，右面的长就是长方体的宽，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：7×5×4＝35×4＝140（立方厘米）答：这个长方体的体积是140立方厘米。故选：B。【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。3．（2分）（2023春•泉州期中）一个长7dm、宽5dm、高5dm的长方体，下面求它表面积的算式中正确的有（）个。5×5×2+7×5×4（7+5）×2×5+7×5×2（7×5+5×5+7×5）×25×5×2+7×5×2+7×5×2A．1 B．2 C．3 D．4【思路引导】根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，据此解答即可。【规范解答】解：5×5×2+7×5×4，正确；（7+5）×2×5+7×5×2，正确；（7×5+5×5+7×5）×2，正确；5×5×2+7×5×2+7×5×2，正确。故选：D。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的表面积公式及应用。4．（2分）（2023春•沈丘县期中）明明用一些棱长为2cm的正方体积木拼成了一个大长方体模型（如图）。这个长方体模型的体积是（）cm3。A．144 B．160 C．216【思路引导】通过观察图形可知，拼成的大长方体的长是（2×3）厘米，宽是（2×2）厘米，高是（2×3）厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（2×3）×（2×2）×（2×3）＝6×4×6＝24×6＝144（立方厘米）答：这个长方体模型的体积是144立方厘米。故选：A。【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．（2分）（2023春•沈丘县期中）一张长、宽分别是80cm，60cm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为10cm的小正方形（如图），弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是（）L。A．2400 B．240 C．24【思路引导】通过观察图形可知，焊成的无盖长方体的水箱的长是（80﹣10﹣10）厘米，宽是（60﹣10﹣10）厘米，高是10厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（80﹣10﹣10）×（60﹣10﹣10）×10＝60×40×10＝2400×10＝24000（立方厘米）24000立方厘米＝24升答：这个水箱的容积是24升。故选：C。【考点评析】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。6．（2分）（2023春•社旗县期中）一个正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积增加162cm2。原来正方体的表面积是____cm2，体积是____cm3。（）A．972；726 B．486；729 C．486；972【思路引导】根据题意可知，把这个正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积增加162平方厘米，表面积增加的是正方体2个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【规范解答】解：162÷2＝81（平方厘米）因为9×9＝81（平方厘米），所以正方体的棱长是9厘米。81×6＝486（平方厘米）81×9＝729（立方厘米）答：原来正方体的表面积是486平方厘米，体积是729立方厘米。故选：B。【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。二．认真填空（共7小题，满分16分）7．（2分）（2023春•海城市期中）把一根长6m的长方体木料锯成两段后，表面积增加了400dm2，这根木料的体积是12m3。【思路引导】根据题意可知：把这根木料锯成两段后，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出长方体木料的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：400平方分米＝4平方米4÷2×6＝2×6＝12（立方米）答：这根木料的体积是12立方米。故答案为：12。【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。8．（2分）（2023春•南安市期中）如图是淘气比较小球体积和正方体体积时做的实验，那么小球体积和正方体体积相差150cm3。（单位：cm）​【思路引导】先用中间图形中水与小球的体积之和减去左图中水的体积，求出小球的体积；再用右图中小球、正方体及水的体积之和减去中间图形中水与小球的体积之和，求出正方体的体积，最后求出小球体积和正方体体积差即可。【规范解答】解：15×10×10﹣15×10×8＝15×10×（10﹣8）＝150×2＝300（立方厘米）15×10×13﹣15×10×10＝15×10×（13﹣10）＝150×3＝450（立方厘米）450﹣300＝150（立方厘米）答：小球体积和正方体体积相差150立方厘米。故答案为：150。【考点评析】解答本题需熟练掌握长方体的体积公式。9．（2分）（2023春•炎陵县期中）一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体后，正方体的体积是64立方厘米，剩下部分的体积是96立方厘米。【思路引导】根据题意可知，从这个长方体中截去一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，剩下部分的体积等于长方体与正方体的体积差，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）8×5×4﹣64＝160﹣64＝96（立方厘米）答：正方体的体积是64立方厘米，剩余部分的体积是96立方厘米。故答案为：64立方厘米，96立方厘米。【考点评析】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。10．（2分）（2023春•沈丘县期中）一根长为7m的长方体木料，把它平均锯成3段（如图），表面积正好增加48dm2，原来这根木料的体积是0.084m3。【思路引导】根据题意可知，把这个长方体木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：7米＝70分米48÷4×70＝12×70＝840（立方分米）840立方分米＝0.84立方米答：原来这根木料的体积是0.84立方分米。故答案为：0.84。【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．（2分）（2023春•泉州期中）李叔叔要做一个长方体灯罩，他先用铁棍焊接灯罩的框架，已经完成了三条棱（如图），要制作这个完整的长方体框架，一共需要36分米长的铁棍。（焊接处忽略不计）【思路引导】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（2+3+4）×4＝9×4＝36（分米）答：一共需要36分米长的铁棍。故答案为：36。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用。12．（4分）（2022秋•太原期末）（1）将5立方米的沙子均匀铺在长8米、宽2.5米的长方体沙坑里，沙子厚2.5分米。（2）玲玲借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如图，石头的体积是1000立方厘米。（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。【思路引导】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。（2）根据不规则物体体积的计算方法，把石块放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是比3个正方体的表面积和减去了正方体的4个面的面积，拼成长方体的体积等于3个正方体的体积和。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（1）5÷（8×2.5）＝5÷20＝0.25（米）0.25米＝2.5分米答：沙子厚2.5分米。（2）25×20×（12﹣10）＝500×2＝1000（立方厘米）答：石头的体积是1000立方厘米。（3）2×2×6×3﹣2×2×4＝24×3﹣16＝72﹣16＝56（平方厘米）2×2×2×3＝8×3＝24（立方厘米）答：这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。故答案为：2.5；1000；56，24。【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。13．（2分）（2022春•东湖区期末）一个长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，高是长的2倍。这个长方体鱼缸的底面积是（a2﹣5a）平方分米，体积是（2a3﹣10a2）立方分米。（填字母式）【思路引导】根据长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，求出宽是（a﹣5）分米，根据高是长的2倍，再求出高是2a分米；根据长方体底面积＝长×宽，长方体体积＝长×宽×，即可解答。【规范解答】解：长方体宽＝a﹣5（分米）长方体高＝2a（分米）长方体底面积＝a（a﹣5）＝a2﹣5a（平方分米）长方体体积＝a×（a﹣5）×2a＝2a2×（a﹣5）＝2a3﹣10a2（立方分米）答：这个长方体鱼缸的底面积是（a2﹣5a）平方分米，体积是（2a3﹣10a2）立方分米。故答案为：（a2﹣5a），（2a3﹣10a2）。【考点评析】此题主要考查长方体的底面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2023春•应城市期中）一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h，且a＞b＞h，若把长方体切割成一个最大的正方体，则这个正方体的体积是a3。×（判断对错）【思路引导】根据题意可知，把这个长方体切割成一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出这个正方体的体积，然后与a3进行比较即可。【规范解答】解：h×h×h＝h3答：这个正方体的体积是h3。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征，以及正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。15．（2分）（2023春•沈丘县期中）长方体是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。√（判断对错）【思路引导】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，相对棱的长度相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高；据此解答即可。【规范解答】解：长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形；题干说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及运用。16．（2分）（2023春•阜平县期中）用两块同样的橡皮泥分别捏成正方体和长方体，它们的体积一样大。√（判断对错）【思路引导】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫作物体的体积。据此解答即可。【规范解答】解：用两块同样的橡皮泥分别捏成正方体和长方体，虽然形状不同，但是体积不变，所以它们的体积一样大。因此题干中的结论是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用。17．（2分）（2023春•镇平县期中）如果一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，那么正方体的体积一定大于长方体的体积。√（判断对错）【思路引导】根据长方形的周长＝（长+宽）×2，长方形的面积＝长×宽，正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，作根据长方体、正方体的统一体积公式：V＝Sh，可以通过举例证明。【规范解答】解：假设长方体和正方体的底面周长都是24厘米，高都是6厘米。长方体的长+宽＝24÷2＝12（厘米）如果长是10厘米，那么宽是2厘米。正方体的底面边长是24÷4＝6（厘米）长方体的体积是10×2×6＝120（立方厘米）正方体的体积是6×6×6＝216（立方厘米）216＞120所以一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，正方体的体积一定大于长方体的体积。因此题干中的结论是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题主要考查长方形、正方形的周长公式、面积公式的灵活运用，长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。18．（2分）（2021秋•偃师市期中）一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的体积是杯子体积的一半。×（判断对错）【思路引导】根据杯子的容积就是牛奶的体积，解答此题即可。【规范解答】解：一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的体积是杯子容积的一半，所以题干说法是错误的。故答案为：×。【考点评析】根据体积和容积的区别，解答此题即可。四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）19．（4分）（2022春•关岭县期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）【思路引导】通过观察图形可知，从正方体的顶点处挖掉一个小长方体后，表面积不变，体积减少了。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：5×5×6＝25×6＝150（平方厘米）5×5×5﹣4×2×2＝125﹣16＝109（立方厘米）答：它的表面积是150平方厘米，体积是109立方厘米。【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。20．（4分）（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。【思路引导】从图中可知，正方体与长方体有重合部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面，这样长方体的表面积是完整的，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；组合图形的表面积＝正方体4个面的面积+长方体的表面积；组合图形的体积＝正方体的体积+长方体的体积；根据正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。【规范解答】解：（1）正方体4个面的面积：2×2×4＝4×4＝16（平方米）长方体的表面积：（4×2+4×2+2×2）×2＝（8+8+4）×2＝20×2＝40（平方米）组合图形的表面积：16+40＝56（平方米）（2）正方体的体积：2×2×2＝4×2＝8（立方米）长方体的体积：4×2×2＝8×2＝16（立方米）组合图形的体积：8+16＝24（立方米）【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。五．实际应用（共6小题，满分24分，每小题4分）21．（4分）（2023春•雁江区期中）一个长方体铁皮长50厘米，宽28厘米。如果从四个角剪去边长6厘米的正方形，再折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的容积是多少？【思路引导】由题意可知，折成的无盖盒子的长为（50﹣6﹣6）厘米，宽为（28﹣6﹣6）厘米，高为6厘米，根据长方体的体（容）积＝长×宽×高，代入数据计算出这个盒子的容积即可。【规范解答】解：（50﹣6﹣6）×（28﹣6﹣6）×6＝38×16×6＝3648（立方厘米）答：这个无盖盒子的容积是3648立方厘米。【考点评析】解答本题需熟练掌握长方体的体（容）积公式，明确折成的盒子的长、宽、高是关键。22．（4分）（2023春•雁江区期中）一个正方体的容器，棱长12分米，装满水后，倒入一底面长20分米，宽15分米，高18分米的长方体容器中，现在水的深度是多少分米？【思路引导】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。【规范解答】解：12×12×12÷（20×15）＝144×12÷300＝1728÷300＝5.76（分米）答：现在水深5.76分米。【考点评析】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．（4分）（2023春•历城区期中）一块体积为60立方米的长方体大理石，底面积为6平方米。这块大理石的高是多少米？【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。【规范解答】解：60÷6＝10（米）答：这块大理石的高是10米。【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。24．（4分）（2023春•应城市期中）工厂挖了一个长40m，宽20m，深2m的长方体蓄水池。要在蓄水池的底面和四壁抹水泥，若每平方米用水泥2.5kg，那么一共需要水泥多少千克？【思路引导】根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米用水泥的质量即可。【规范解答】解：（40×20+40×2×2+20×2×2）×2.5＝（800+160+80）×2.5＝1040×2.5＝2600（千克）答：一共需要水泥2600千克。【考点评析】此题主要考查无盖长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。25．（4分）（2023春•云浮期中）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽30米，深2米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥12千克，22吨水泥够不够用？【思路引导】根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米用水泥的质量，求出一共需要水泥多少吨，再与22吨进行比较即可。【规范解答】解：（50×30+50×2×2+30×2×2）×12＝（1500+200+120）×12＝1820×12＝21840（千克）21850千克＝21.8吨22吨＞21.84吨答：22吨水泥够。【考点评析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。26．（4分）（2022•南岸区）如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？【思路引导】由题意可知，水的体积不变。设这个长方体实心铁块的高度是x厘米，根据左图得水的体积为（25×25×x﹣125×x）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[x﹣（25﹣15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[x﹣（25﹣15）]立方厘米，据此列方程解答。【规范解答】解：设这个长方体实心铁块的高度是x厘米。25×25×x﹣125×x＝25×25×15﹣125×[x﹣（25﹣15）]500x＝9375﹣125x+1250500x+125x＝10625﹣125x+125x625x÷625＝10625÷625x＝17答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。【考点评析】本题考查了长方体和正方体体积公式的灵活应用，解答本题的关键是根据水的体积一定列方程。六．动手操作（共2小题，满分9分）27．（5分）（2022春•乐陵市期末）体积的测量。用1cm3的体积单位测量了长方体盒子的体积，我发现：长方体盒子一行摆6个，有2行，有3层，共有36个体积单位，所以长方体盒子的体积是36cm3。【思路引导】根据长方体体积公式的推导过程可知，长方体所包含的体积单位的个数正好等于长、宽、高的乘积。据此解答即可。【规范解答】解：通过观察图形我发现：长方体盒子一行摆6个，有2行，有3层，6×2×3＝36（个）所以共有36个体积单位，长方体盒子的体积是36立方厘米。故答案为：6，2，3，36，36。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体体积公式的推导过程及应用。28．（4分）（2020秋•宜兴市期末）用3个同样的小长方体（如图），拼成一个大长方体，可以怎样拼？先想象操作，再填一填。（单位：厘米）拼成的大长方体中，表面积最小42平方厘米，表面积最大是58平方厘米。【思路引导】根据题意，用3个同样的小长方体，拼成一个大长方体，有三种不同的拼法，要使表面积最小，也就是把3个长方体的最大面重合拼在一起；要使表面积最大，也就是把3个长方体的最小面重合拼在一起。根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：最大面重合拼成一个长3厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体。（3×3+3×2+3×2）×2＝（9+6+6）×2＝21×2＝42（平方厘米）最小重合拼成一个长9厘米，宽1厘米，高2厘米的长方体。（9×1+9×2+1×2）×2＝（9+18+2）×2＝29×2＝58（平方厘米）答：表面积最小是42平方厘米，最大是58平方厘米。故答案为：42，58。【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是明确：要使表面积最小，也就是把3个长方体的最大面重合拼在一起；要使表面积最大，也就是把3个长方体的最小面重合拼在一起。七．解决问题（共5小题，满分22分）29．（4分）（2023春•镇原县期中）王叔叔有一张长60cm、宽40cm的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5cm的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。（1）你来帮李叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计）（2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？【思路引导】（1）通过观察图形可知，这个盒子的长是（60﹣5﹣5）厘米，宽是（40﹣5﹣5）厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。（2）根据题意可知，把正方体铁块放入这个盒子里，溢出水的体积就等于这个铁块的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数