小学奥数专题-排列组合推理篇

排列组合问题排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题常用解题方法和技巧：1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法12.住店法对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识（数学概率方面的基本原理）加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。乘法原理：完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。两个原理的区别做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．排列及组合基本公式排列及计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pmn表示.Pmn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=EQ\F(n!,(n-m)!)(规定0!=1).组合及计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.Cmn=Pmn/m!=EQ\F(n!,(n-m)!×m!)一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn=Cn-mn来简化计算。规定：Cnn=1,C0n=1.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1两个基本计数原理及应用〖例1〗从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，如：a=1，ｃ=7，则b=4（即每一组a,c必对应唯一的b，另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数列处理）∴C210＝10×9＝90，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求=2×90＝180。〖例2〗某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴本题答案为：C38=56。注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。〖例3〗在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换，共12种。经典题目：1．恰好能被6，7，8，9整除的五位数有多少个?【分析与解】6、7、8、9的最小公倍数是504，五位数中，最小的是10000，最大为99999．因为10000÷504：19……424，99999÷504=198……207．所以，五位数中，能被504整除的数有198-19=179个．所以恰好能被6，7，8，9整除的五位数有179个．2．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13．如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被6整除的乘积共有多少个?【分析与解】这些积中能被6整除的最大一个是13×12=26×6，最小是6．但在l×6～26×6之间的6的倍数并非都是两张卡片上的乘积，其中有25×6，23×6，21×6，19×6，17×6这五个不是．∴所求的积共有26-5=21个．3．1，2，3，4，5，6这6个数中，选3个数使它们的和能被3整除．那么不同的选法有几种?【分析与解】被3除余1的有1，4；被3除余2的有2,5；能被3整除的有3，6．从这6个数中选出3个数，使它们的和能被3整除，只能是从上面3类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的，共有2×2×2=8种选法．4．同时满足以下条件的分数共有多少个?①大于，并且小于；②分子和分母都是质数；③分母是两位数．【分析与解】由①知分子是大于1，小于20的质数．如果分子是2，那么这个分数应该在与之间，在这之间的只有符合要求．如果分子是3，那么这个分数应该在与之间，15与18之间只有质数17，所以分数是．同样的道理，当分子是5，7，11，13，17，19时可以得到下表．课下练习：1.

从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有

种．2.

甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有

种不同的推选方法．3.

从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加某天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动．有

种不同的选法．4.

从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有

种不同的排法．5.

若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的方案有

种．6.

有a，b，c，d，e共5个火车站，都有往返车，问车站间共需要准备

种火车票．7.

某年全国足球甲级联赛有14个队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一场，共进行

场比赛．8.

由数字1、2、3、4、5、6可以组成

个没有重复数字的正整数．9.

用0到9这10个数字可以组成

个没有重复数字的三位数．10.

（1）有5本不同的书，从中选出3本送给3位同学每人1本，共有

种不同的选法；

（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学每人1本，共有

种不同的选法．11.

计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有

种．12.

（1）将18个人排成一排，不同的排法有

少种；（2）将18个人排成两排，每排9人，不同的排法有

种；（3）将18个人排成三排，每排6人，不同的排法有

种．13.

5人站成一排，（1）其中甲、乙两人必须相邻，有

种不同的排法；（2）其中甲、乙两人不能相邻，有

种不同的排法；（3）其中甲不站排头、乙不站排尾，有

种不同的排法．14.

5名学生和1名老师照相，老师不能站排头，也不能站排尾，共有

种不同的站法．15.

4名学生和3名老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须要排在一起的不同排法有

种．16.

停车场有7个停车位，现在有4辆车要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法有

种．17.

在7名运动员中选出4名组成接力队参加4×100米比赛，那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方有

种．18.

一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球，共有

种取法；

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有

种取法；（3）从口袋内取出3个球，使其中