2025年高考数学一轮知识点复习-基础课35 数列的综合问题-专项训练【含解析】

数列的综合问题-专项训练【原卷版】基础巩固练1.已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a2,a4A.-10 B.-6 C.42.[2024·河南联考]已知数列{an}满足an=-n2A.(92,194) B.(92.3.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，《九儿问甲歌》就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（）.A.11 B.13 C.14 D.164.（改编）定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”.若a1=2,{A.22024-1 B.220245.若{an}是首项为正数、公比为q的等比数列，且前n项和为Sn，则“q≥2”是“对任意的nA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知数列{an}满足12an=an+A.3 B.4 C.5 D.67.（改编）设{an}是公比为q的等比数列，首项a1=164，对于n∈N*，bn=A.3,23 B.3,8.已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，且公差d≠1，公比qA.1个 B.2个 C.3个 D.4个综合提升练9.（多选题）已知在数列{an}中，a1=3，且点aA.数列{an}C.an≥10.（多选题）设数列{an}的前n项和为Sn，若bn=Snn，则称数列{bn}是数列{A.aB.{SC.若数列{bn}的前n项和为D.若存在n∈N*，使得m2-911.设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a12.已知数列{an}的各项都是正数，an+12应用情境练13.[2024·西安预测]已知在数列{an}中，an=logn+1n+214.某地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，从开园第1天到闭园，游客采摘量an（单位:公斤）和开园的第n(n∈N*)天满足以下关系：an（1）当n取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？（2）采摘零售的总采摘量是多少？农户能否在24天内完成销售计划？创新拓展练15.在1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，若将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an16.[2024·青岛模拟]记关于x的不等式x2-4nx+3n2≤0(n（1）求数列{b（2）设cn=2bn-λ-3数列的综合问题-专项训练【解析版】基础巩固练1.已知等差数列{an}的公差为2，若a1,a2,a4成等比数列，则aA.-10 B.-6 C.4[解析]∵数列{an}是公差为∴a1=∵a1,a2,∴a22=a1a4，即2.[2024·河南联考]已知数列{an}满足an=-n2+2tnA.(92,194) B.(92[解析]由题意，可得t-1>6t-1>-523.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，《九儿问甲歌》就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（A）.A.11 B.13 C.14 D.16[解析]将该公公九个儿子的年龄按从大到小的顺序排列，记这位公公的第n(n≤9,n∈N*)个儿子的年龄为S9=9a所以a9=a54.（改编）定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”.若a1=2,{anA.22024-1 B.22024[解析]依题意得，an+1-an=2n，当n≥2时所以S2024=215.若{an}是首项为正数、公比为q的等比数列，且前n项和为Sn，则“q≥2”是“对任意的n∈NA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]依题意知a1>0，q>0，若q=此时不满足对任意的n∈N*，都有Sn<an若对任意的n∈N*，都有Sn<an则Sn<Sn所以2a11-qn1-q<依题意，对任意的n∈N*因为函数y=1qxx≥1在[1所以2-q≤0，解得q故“q≥2”是“对任意的n∈N*，都有Sn6.已知数列{an}满足12an=an+1-A.3 B.4 C.5 D.6[解析]因为12an=an+所以2n+1a所以数列{2nan}是首项和公差都为1的等差数列，则所以an当n=1时，当n≥2时，an+1<因为a3=3所以若an<13，则n的最小值为7.（改编）设{an}是公比为q的等比数列，首项a1=164，对于n∈N*，bn=log1A.3,23 B.3,[解析]∵等比数列{an}的公比为q，∴b∴数列{bn}是以log12q∴b∵当且仅当n=4时，T∴log12q∴6∴-2<log12q<8.已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，且公差d≠1，公比q>0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个[解析]由题意知，an=1由an=bn得1+n-1当d>0,q>1时，点点n,bn在一条上升的指数曲线上，这两条线最多有当d<0,0<q<1时点n,bn在一条下降的指数曲线上，这两条线最多有当d≤0,q>1或d>0,0因此集合{n|an=bn}综合提升练9.（多选题）已知在数列{an}中，a1=3，且点an,A.数列{an}C.an≥[解析]由题意可知an+1=an2当an+1=an时，an=0与a所以数列{an}单调递增，又an+1-an=由上可知anan所以an≥9n-由上可知an≥3，则an+1当n≥2时，an=anan-110.（多选题）设数列{an}的前n项和为Sn，若bn=Snn，则称数列{bn}是数列{anA.aB.{SC.若数列{bn}的前n项和为D.若存在n∈N*，使得m2-9[解析]当n=1时，2b1因为2b1所以当n≥2时，2由①-②得2nbn=取n=1，b1=故数列{bn}由题意可得Snn=b因为an所以a7=S7-S因为S1=S2=2，所以{Sn因为bn当n=1时，所以当n≥2时，所以12所以12Tn=取n=1，T1=所以数列{bn}的前n项和Tn=5当n≥3时，所以Sn所以Sn+1-所以数列{Sn}从第当n=3时，所以S1则由数列{Sn}因为存在n∈N*，使得m所以m2-94m-94≤0，即m-311.设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1[解析]由题意知，3a1+a3=2⋅2a2，即3a1+12.已知数列{an}的各项都是正数，an+12-an[解析]由题意知，正数数列{an}是递增数列，∴an-an+∴a1=∵a1>应用情境练13.[2024·西安预测]已知在数列{an}中，an=logn+1n+2([解析]因为an所以a1设t=lnk+所以k+2为2因为1≤所以3≤故满足条件的k+2故[1,2023]14.某地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，从开园第1天到闭园，游客采摘量an（单位:公斤）和开园的第n(n∈N*)天满足以下关系：an（1）当n取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？（2）采摘零售的总采摘量是多少？农户能否在24天内完成销售计划？[解析]（1）由已知得，当1≤n≤16时，5n当17≤n≤24时，2所以当6≤n≤18(（2）不能.当1≤n≤16时，{an}为等差数列，记这些项的和为S当17≤n≤24时，记数列{T8S16+T8=批发销售的销售总量为200×24=4800（公斤），24天一共销售1327+创新拓展练15.在1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，若将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgT[解析]记由n+2个数构成的递增等比数列为则b1=1,bn+2=所以Tn即an=lgb16.[2