2023-2024学年湖南省永州市蓝山县十校联考最后数学试题含解析

2023-2024学年湖南省永州市蓝山县十校联考最后数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）A．平均数为160 B．中位数为158 C．众数为158 D．方差为20.32．如图所示是放置在正方形网格中的一个,则的值为()A． B． C． D．3．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念截图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．千里江山图B．京津冀协同发展C．内蒙古自治区成立七十周年D．河北雄安新区建立纪念4．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是()A． B． C． D．5．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元．A． B． C． D．6．将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是()A． B． C． D．7．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间8．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．9．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+110．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=__．12．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为_____．13．如图，直线交于点，，与轴负半轴，轴正半轴分别交于点，，，的延长线相交于点，则的值是_________．14．观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为，第3个图形中阴影部分的面积为，第4个图形中阴影部分的面积为，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示）15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为．16．如图，反比例函数y=的图象上，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点A的坐标为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．18．（8分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45°（D，C，H在同一直线上，G，A，H在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平距离AG为23米，BG⊥GH，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）19．（8分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．20．（8分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？21．（8分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C填空：b＝，c＝，点C的坐标为．如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．22．（10分）先化简，再求值：，其中x是满足不等式﹣（x﹣1）≥的非负整数解．23．（12分）解不等式组，并写出其所有的整数解．24．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=nx（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤nx

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项不符合题意；B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；C．数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；D．这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．故选D．点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度不大．2、D【解析】

首先过点A向CB引垂线，与CB交于D，表示出BD、AD的长，根据正切的计算公式可算出答案．【详解】解：过点A向CB引垂线，与CB交于D，△ABD是直角三角形，∵BD=4，AD=2，∴tan∠ABC=故选：D．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．3、C【解析】

根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B选项不是中心对称图形，故本选项错误；C选项为中心对称图形，故本选项正确；D选项不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．4、D【解析】

根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．

故选D．【点睛】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形5、B【解析】

设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．【详解】解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得0.8×200=x+40解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．6、C【解析】

严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【详解】根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直．故选C．【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．7、A【解析】

此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．8、D【解析】

连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵的长为，∴解得：R＝4，∴AB＝ADcos30°＝，∴BC＝AB＝，∴AC＝BC＝6，∴S△ABC＝×BC×AC＝××6＝，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝故选：D．【点睛】本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.9、B【解析】

∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，右边三角形的数字规律为：2，22，…，2下边三角形的数字规律为：1+2，2+22，…，∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n.故选B．【点睛】考点：规律型：数字的变化类．10、D【解析】

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x1，判断出三点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=中，k=1＞0，∴此函数图象的两个分支在一、三象限，∵x1＜x2＜0＜x1，∴A、B在第三象限，点C在第一象限，∴y1＜0，y2＜0，y1＞0，∵在第三象限y随x的增大而减小，∴y1＞y2，∴y2＜y1＜y1．故选D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及三点所在的象限是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1．【解析】

由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可．【详解】∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=BD•CD=2，即CD=2．∵C（2，0），即OC=2，∴OD=OC+CD=2+2=1，∴B（1，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=，则S△AOC=1．故答案为1．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．12、1【解析】

由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出＝（）2＝，结合△ADC的面积为1，即可求出△BCD的面积．【详解】∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝4S△ACD＝4，∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝4﹣1＝1．故答案为1．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.13、【解析】

连接，根据可得，并且根据圆的半径相等可得△OAD、△OBE都是等腰三角形，由三角形的内角和，可得∠C=45°，则有是等腰直角三角形，可得即可求求解．【详解】解：如图示，连接，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵是直径，∴，∴是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题考查圆的性质和直角三角形的性质，能够根据圆性质得出是等腰直角三角形是解题的关键．14、n﹣1（n为整数）【解析】试题分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（）1=；第3个图形中阴影部分的面积=（）2=；第4个图形中阴影部分的面积=（）3=；…根据此规律可得第n个图形中阴影部分的面积=（）n-1（n为整数）•考点：图形规律探究题．15、﹣1【解析】

∵OD=2AD，∴，∵∠ABO=90°，DC⊥OB，∴AB∥DC，∴△DCO∽△ABO，∴，∴，∵S四边形ABCD=10，∴S△ODC=8，∴OC×CD=8，OC×CD=1，∴k=﹣1，故答案为﹣1．16、（，）【解析】分析：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，则有△AOE≌△OCF，进而可得出AE=OF、OE=CF，根据角平分线的性质可得出，设点A的坐标为（a，）（a＞0），由可求出a值，进而得到点A的坐标．详解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA=OC，OC⊥AB，∴∠AOE+∠COF=90°．∵∠COF+∠OCF=90°，∴∠AOE=∠OCF．在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴AE=OF，OE=CF．∵BP平分∠ABC，∴，∴．设点A的坐标为（a，），∴，解得：a=或a=-（舍去），∴=，∴点A的坐标为（，），故答案为：（（，））．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形性质的综合运用，构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、∠DAC=20°．【解析】

根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．【详解】∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°．∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．18、塔杆CH的高为42米【解析】

作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°•x知CE=CH-EH=tan55°•x-4，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．【详解】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=23+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣4，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即23+x=tan55°•x﹣4+15，解得：x≈30，∴CH=tan55°•x=1.4×30=42，答：塔杆CH的高为42米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19、⊙O的半径为．【解析】

如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。【详解】解：如图，连接OA．交BC于H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，∵，AC＝9，∴AH＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+(r﹣3)2＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20、客房8间,房客63人【解析】

设该店有间客房，以人数相等为等量关系列出方程即可.【详解】设该店有间客房,则解得答:该店有客房8间,房客63人.【点睛】本题考查的是利用一元一次方程解决应用题，根据题意找到等量关系式是解题的关键．21、（3）3，2，C（﹣2，4）；（2）y＝﹣m2+m，PQ与OQ的比值的最大值为；（3）S△PBA＝3．【解析】

（3）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y=4便可得C点坐标．

（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到，设点P坐标为（m，-m2+m+2），Q点坐标（n，-n+2），表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之间的关系，再次利用即可求解．

（3）求得P点坐标，利用图形割补法求解即可．【详解】（3）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（2，4），B（4，2）．又∵抛物线过B（4，2）∴c＝2．把A（2，4）代入y＝﹣x2+bx+2得，4＝﹣×22+2b+2，解得，b＝3．∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+2．令﹣x2+x+2＝4，解得，x＝﹣2或x＝2．∴C（﹣2，4）．（2）如图3，分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．设P（m，﹣m2+m+2），Q（n，﹣n+2），则PE＝﹣m2+m+2，QD＝﹣n+2．又∵＝y．∴n＝．又∵，即把n＝代入上式得，整理得，2y＝﹣m2+2m．∴y＝﹣m2+m．ymax＝．即PQ与OQ的比值的最大值为．（3）如图2，∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝25°∠PBA+∠CBO＝25°∴∠OBP＝∠CBO此时PB过点（2，4）．设直线PB解析式为，y＝kx+2．把点（2，4）代入上式得，4＝2k+2．解得，k＝﹣2∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+2．令﹣2x+2＝﹣x2+x+2整理得，x2﹣3x＝4．解得，x＝4（舍去）或x＝5．当x＝5时，﹣2x+2＝﹣2×5+2＝﹣7∴P（5，﹣7）．过P作PH⊥cy轴于点H．则S四边形OHPA＝（OA+PH）•OH＝（2+5）×7＝24．S△OAB＝OA•OB＝×2×2＝7．S△BHP＝PH•BH＝×5×3＝35．∴S△PBA＝S四边形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝24+7﹣35＝3．【点睛】本题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的确定，以及利用待定系数法求解抛物线解析式常数的方法，再