新教材高中数学第3章函数的概念与性质21函数的单调性与最值课件湘教版必修第一册

3.2.1函数的单调性与最值第3章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.(数学抽象、直观想象)2.理解函数单调性和最值的作用和实际意义.(逻辑推理、数学抽象)课前篇自主预习情境导入德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8~9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.问题:(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?知识梳理知识点一:函数的最大(小)值设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空子集.(1)最大值:如果有a∈D,使得不等式

f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.(2)最小值:如果有a∈D,使得不等式

f(x)≥f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值,a为f(x)的最小值点.名师点析

注意区分最值和最值点,最值和最值点分别为函数值和自变量的取值.微练习已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2答案

C解析

由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.知识点二:函数单调性的概念1.函数增函数减函数定义如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有

任意指所有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)就称f(x)是区间I上的增函数,也称f(x)在区间I上单调递增就称f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调递减图象特征函数f(x)在区间I上的图象是上升的函数f(x)在区间I上的图象是下降的函数增函数减函数图示2.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间.介绍函数的单调性必须要

指出函数的单调区间名师点析

1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个非空子集.2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.微思考对于函数f(x)=x2,满足f(-2)>f(1),能否说函数f(x)在[-2,1]上是减函数?提示

不能,因为-2和1不是[-2,1]上任意的两个值.反例:f(0)<f(1).微练习(1)已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(

)(2)如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(

)A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能确定答案

(1)B

(2)D解析

(2)根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.课堂篇探究学习探究一确定函数的单调区间例1(1)(2020天津高一期末)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=- D.f(x)=-|x|(2)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(

)A.(-1,0)B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)和(0,1)答案

(1)C

(2)B由图象可知,函数的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选B.反思感悟

1.一次、二次函数及反比例函数的单调性:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.k的符号单

调

性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减k<0在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增2.对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性.延伸探究已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.探究二证明函数的单调性因为1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.反思感悟

利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

特别提醒作差变形的常用技巧(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断这个函数在(-∞,-2)上的单调性并证明.探究三函数单调性的应用1.根据函数单调性比较大小

分析要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.反思感悟

函数单调性的应用问题的解题策略(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.变式训练2已知g(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求实数t的取值范围.2.根据函数单调区间或单调性求参数范围例4函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(

)答案

A要点笔记含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上是单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的非空子集,即I⊆D.答案

A∴函数在(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则对称轴1-a≥4,解得a≤-3.3.含参数的分段函数的单调性问题

例5(多选题)(2021广东四会中学高一期中)已知函数f(x)=是R上的函数,且满足对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则a的可能取值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.-3答案

CD反思感悟

分段函数的单调性不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的范围会出现错误.4.利用函数的单调性求最值

(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.反思感悟

1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2<x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(2,3]上单调递增.素养形成复合函数的单调性问题方法点睛复合函数单调性的判断法则:“同增异减”,即对于y=f(g(x))型的复合函数,令t=g(x),则可以把它看成是由y=f(t)和t=g(x)复合而成的,若它们的单调性相同,则复合后的函数为增函数;若它们的单调性相反,则复合后的函数为减函数.答案

C解析

令x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,当堂检测答案

AD解析

由图可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,则f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].故选AD.2.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)上都单调递减,则函数f(x)=bx+a在R上是(

)A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f(0)>0答案

A解析

∵y=ax和y=-在(0,+∞)上都单调递减,∴a<0,b<0,则f(x)=bx+a在R上为减函数