4.5.3函数模型的应用课件高一上学期数学人教A版

第四章指数函数与对数函数函数模型的应用人教A版

数学必修第一册1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.能建立函数模型解决实际问题.3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.课程标准基础落实·必备知识一遍过知识点1

常见的函数模型一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数型函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0,且a≠1)对数型函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0,且a≠1)幂型函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)分段函数模型自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按原售价九折出售,则每件还能获利.(

)(2)某种产品每件定价80元,每天可售出30件,若每件定价120元,则每天可售出20件,如果每天售出件数y(单位:件)是定价x(单位:元)的一次函数,则这个函数解析式为y=-x+50.(

)(3)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y=2x.(

)×√×2.幂函数一定比一次函数增长速度快吗?提示

幂函数的指数与一次函数的一次项系数不确定,两者的增长速度不能比较.知识点2

拟合函数模型1.应用拟合函数模型解决问题的基本进程

2.解决函数实际应用题的步骤第一步:分析、联想、转化、抽象;第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;第三步:解答数学问题,求得结果;第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.思考辨析在根据已有数据拟合函数模型时,所有的数据都要符合函数模型吗?提示

不需要所有数据都符合函数模型,只要相对误差最小即可.

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.(

)(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度越来越平缓的变化规律.(

)√√2.某商场在销售空调旺季的4天内每天的利润如下表所示:

时间/天1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个描述这种空调销售情况的函数模型,用y(单位:千元)表示第x天的利润,则应是下列函数中的(

)A.y=log2x B.y=2xC.y=x2 D.y=2xB重难探究·能力素养速提升探究点一指数型函数模型【例1】

一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?解

(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),规律方法1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型.变式训练1[人教B版教材例题]按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求,到2020年,全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内,要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等,2015年后第t(t=0,1,2,3,4,5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨.(1)求f(t)的解析式;(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨).解

(1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r,因为f(0)表示2015年的排放总量,所以由题意可知f(t)=f(0)(1-r)t,t=0,1,2,3,4,5.因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1

632万吨以内.探究点二对数型函数模型【例2】

科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg

(a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.(1)已知生活中几种声音的强度如下表:求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.声音来源风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度I(瓦/平方米)1×10-111×10-101×10-3强弱等级L(分贝)10m90规律方法1.基本类型:有关对数型函数模型的应用题一般都会给出函数解析式,然后根据实际问题再求解.2.求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.变式训练2候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s.(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2

m/s,则其耗氧量至少要270个单位.探究点三拟合函数模型的应用题【例3】

为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的数据点(x,y);(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉的土地面积是多少?解

(1)数据点分布如图①所示.(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y

hm2和最大积雪深度x

cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),解得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25

cm时,可以灌溉土地47.4

hm2.图②规律方法

函数模型选择的基本步骤

变式训练3某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到投篮命中数量y(单位:个)与测试点投篮距离x(单位:米)的部分数据如下表:x3568y25292820为了描述球员在测试点投篮命中数量y与投篮距离x的变化关系,现有以下三种y=f(x)函数模型供选择:①f(x)=ax3+b,②f(x)=-x2+ax+b,③f(x)=abx.(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式;(2)在第(1)问的条件下,若函数f(x)在闭区间[0,m]上的最大值为29,最小值为4,求m的取值范围.解

(1)由表中数据可知,f(x)先单调递增后单调递减,∵f(x)=ax3+b与f(x)=abx都是单调函数,∴不符合题意;∵f(x)=-x2+ax+b先单调递增后单调递减,∴符合题意.∴f(x)=-x2+10x+4.(2)由(1)知f(x)=-x2+10x+4,故对称轴为x=5,∴f(x)在(-∞,5]上单调递增,在(5,+∞)上单调递减,∵f(0)=4,f(5)=29,∴m≥5,又f(x)=-x2+10x+4=4时,x=0或10,∴m≤10.综上所述,5≤m≤10,故m的取值范围是[5,10].学以致用·随堂检测促达标123451.某种植物生长的数量y与时间x的关系如下表:

x1234…y13816…则下面的函数关系式中,拟合效果最好的是(

)A.y=2x-1 B.y=x2-1C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2D解析

将数值代入各选项中,四个点均与D项吻合,故选D.123452.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是(

)C解析

当x=1时,排除选项B;当x=3时,排除选项A,D,经检验C项较为接近.123453.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率是(

)D解析

设月平均增长率为x,根据条件可知(1+x)11=a,123454.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时