人教版初中数学同步讲义七年级下册第01讲 不等式及其解集（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

第01讲不等式课程标准学习目标①不等式②不等式的解与解集③不等式解集的表示方法理解不等式及其解的概念，能熟练判断不等式与不等式的解集。学会用不等式表示熟练关系，形成数形结合的思想。了解不等式解集的表示方法，能够熟练的在数轴上表示不等式的解集。知识点01不等式与不等号不等式的定义：用不等号表示大小关系或不等关系的式子叫做不等式。表示的不等关系必须成立。常见的不等号：①小于：符号表示为＜；实际意义为小于，不足等。②大于：符号表示为＞；实际意义为大于，超过等。③小于或等于：符号表示为≤；实际意义为不大于，不超过，至多等。④大于或等于：符号表示为≥；实际意义为不小于，不低于，至少等。⑤不等于：符号表示为≠；实际意义为不相等。列不等式：审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等关系表示出来。常见的不等式基本语言与符号表示：若是正数表示为；若是负数表示为；若是非正数表示为；若是非负数表示为；若是同号表示为；若是异号表示为；【即学即练1】1．下列数学式子：①﹣3＜0；②2x+3y≥0；③x＝1；④x2﹣2xy+y2；⑤x+1≠3；其中是不等式的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．【解答】解：①﹣3＜0，是不等式，符合题意；②2x+3y≥0，是不等式，符合题意；③x＝1，是等式，不符合题意；④x2﹣2xy+y2，是多项式，不符合题意；⑤x+1≠3，是不等式，符合题意；综上：是不等式的有①②⑤，共3个．故选：C．【即学即练2】2．“x为正数”的表达式是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x≥0 D．x≤0【分析】正数即为大于0的数，据此可列出不等式．【解答】解：∵正数是指大于0的数，∴x是正数，即x＞0，故选：B．【即学即练3】3．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少13元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（）A．8＜x＜10 B．10＜x＜12 C．x＞10 D．10＜x＜13【分析】根据甲说：“至少13元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”可以得到相应的不等式组，从而可以得到x的取值范围．【解答】解：∵甲说：“至少13元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”∴，可得无解，∵三人都说错了，∴10＜x＜13．故选：D．知识点02不等式的解与解集不等式的解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。是一个具体的数值。不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成了这个不等式的解集。它是一个集合，包含了不等式所有的解。解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。【即学即练1】4．下列说法中正确的是（）A．x＝3是2x＞3的一个解 B．x＝3是2x＞3的解集 C．x＝3是2x＞3的唯一解 D．x＝3不是2x＞3的解【分析】求出不等式2x＞3的解集，进行判断．【解答】解：2x＞3，x＞1.5，即x＞1.5是2x＞3的解集，A、x＝3是2x＞3的一个解，所以选项A正确；B、x＝3不是2x＞3的解集，所以选项B不正确；C、因为x＞1.5是2x＞3的解集，即满足x＞1.5的所有实数都是2x＞3的解，所以x＝3不是2x＞3的唯一解，不等式2x＞3有无数个解，所以选项C不正确；D、x＝3是2x＞3的一个解，所以选项D不正确；故选：A．知识点03不等式解集的表示方法不等式解集的简单不等式表示方法：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是一个范围。一般用来表示。数轴表示法：1中的简单不等式表示的解集可以在数轴上表示出来。具体步骤：第一步：确定边界以及是否包含。含等于则包含，用实心圆来表示，不含等于则不包含，用空心圈来表示。第二步：确定方向。大于向右，小于向左。第三步：画图。①可以表示为：②可以表示为：③可以表示为：④可以表示为：【即学即练1】5．在数轴上表示不等式x＞﹣2的解集，正确的是（）A． B． C． D．【分析】本题可根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．【解答】解：根据不等式的解集表示﹣2的右边的部分，则可用数轴表示为：故选A．【即学即练2】6．一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1≤x≤3【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．【解答】解：∵﹣1处是实心圆点且折线向右，3处是空心圆点且折线向左，∴﹣1≤x＜3．故选：C．题型01判断不等式【典例1】下列各式中，是不等式的是（）A．x＝3 B．x﹣1 C．x+y＝1 D．4x+5＞0【分析】主要依据不等式的定义—用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【解答】解：A、x＝3，是等式，故A不符合题意；B、x﹣1是代数式，不是不等式，故B不符合题意；C、x+y＝1，是等式，故C不符合题意；D、4x+5＞0，是不等式，故D，符合题意；故选：D．【变式1】有下列式子：①﹣3＜0；②3x+5＞0；③x2﹣6；④x＝﹣2；⑤y≠0；⑥x2+2≥1．其中不等式的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】依据不等式的定义求解即可．【解答】解：①﹣3＜0是不等式；②3x+5＞0是不等式；③x2﹣6不是不等式；④x＝﹣2不是不等式；⑤y≠0是不等式；⑥x2+2≥1是不等式．综上可知，①②⑤⑥是不等式，共4个，故选：C．【变式2】数学表达式①﹣5＜2；②4x+7＞0；③x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x﹣4＞y+1中不等式的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据不等式的定义（用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得．【解答】解：①﹣5＜2，②4x+7＞0；⑤x﹣4＞y+1都是不等式，共有3个，故选：C．题型02列简单的不等式【典例1】x是不大于5的数，则下列表示正确的是（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【分析】本题考查了不等式的应用，能理解正数、不大于的意义是解此题的关键，根据已知列出不等式即可．【解答】解：∵x是不大于5的数，∴x≤5．故选：D．【变式1】x与5的和大于3，用不等式表示为（）A．x+5＜3 B．x+5＞3 C．x﹣5＞3 D．x﹣5＜3【分析】根据题意可以用不等式表示x与5的和大于3，本题得以解决．【解答】解：x与5的和大于3，用不等式表示为x+5＞3，故选：B．【变式2】乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（）A．x＜3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x＞3500【分析】根据乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界和主峰海拔超过3500米得出答案即可．【解答】解：∵乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米，x（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，∴x＞3500，故选：D．【变式3】如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得超过100km，若某汽车的时速为akm/h，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（）A．a＞100 B．a≥100 C．a＜100 D．a≤100【分析】由该汽车没有超速，即可列出关于a的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：根据题意得：a≤100．故选：D．题型03用数轴表示不等式的解集【典例1】不等式x≥1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．【解答】解：∵x≥1，∴1处是实心原点，且折线向右．故选：D．【变式1】将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：不等式组的解集为无解，在数轴上表示为：故选：B．【变式2】不等式的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】首先解不等式组，然后根据大于解集向右，小于解集向左，含有等号的不等号是实心点，不含有等号的不等号是空心点即可得到答案．【解答】解：原不等式的解集为：x＞3，因此数轴上应为不包含2向右的部分与包含3向右的部分的公共部分．故选：C．【变式3】在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（）A． B． C． D．【分析】不等式﹣1≤x＜3在数轴上表示不等式x≥﹣1与x＜3两个不等式的公共部分．【解答】解：∵﹣1≤x＜3，∴在数轴上表示为：故选：D．题型04判断数轴表示的解集【典例1】关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x≠﹣2【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可．【解答】解：∵﹣2处是空心圆点，且折线向右，∴x＞﹣2．故选：A．【变式1】某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x≤2 C．x＜﹣3或x≥2 D．x≤﹣3或x≥2【分析】根据数轴上表示的解集找出公共部分即可解答．【解答】解：根据数轴可得：，∴此不等式组的解集为﹣3＜x≤2，故选：A．【变式2】如图，该数轴表示的不等式的解集为（）A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3【分析】依据题意，由不等式解集的特点，直接表示解集即可．【解答】解：根据数轴可知﹣2≤x＜3，∴不等式的解集为﹣2≤x＜3，故选：D．【变式3】实数a的取值范围如图所示，则点P（a+1，a+3）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据题意可得﹣3＜a＜﹣1，据此可得a+1＜0，a+3＞0，再根据各象限内点的坐标的符号特征解答即可．【解答】解：由题意得﹣3＜a＜﹣1，∴a+1＜0，a+3＞0，∴点P（a+1，a+3）所在的象限是第二象限．故选：B．1．给出下列各式：①﹣3＜0；②a+b≥0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x+2y＞y﹣7；⑥a≠3．其中不等式的个数是（）A．5 B．2 C．3 D．4【分析】运用不等式的定义进行判断．【解答】解：①﹣3＜0是不等式；②a+b≥0是不等式；③2x＝5是等式，④x2﹣xy+y2是代数式，没有不等关系，所以不是不等式，⑤x+2y＞y﹣7是不等式，⑥a≠3是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选：D．2．不等式x≥3可以表示（）A．大于3的数 B．小于3的数 C．不大于3的数 D．不小于3的数【分析】根据所给不等式可直接得出答案．【解答】解：不等式x≥3可以表示不小于3的数，故选：D．3．在四个数中，满足不等式x＜﹣2的有（）A．﹣2 B．﹣3 C． D．1【分析】根据各数的大小即可做出判断．【解答】解：在四个数中，，故满足不等式x＜﹣2的有﹣3，故选：B．4．如果x＝1.8是某不等式的解，那么该不等式可以是（）A．x＞3 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2【分析】根据1.8＜2即可得出答案．【解答】解：∵1.8＜2，∴x＝1.8是不等式x＜2的解．故选：D．5．网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（）A．15元 B．18元 C．19元 D．20元【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得手机支架的价格，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的说法错误，说明手机支架的价格少于20元，乙、丙的说法错误，说明手机支架的价格高于18元，又因为琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，所以手机支架的价格是19元，故选：C．6．组成不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图所示，这个不等式组的解集是（）A．x≤3 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．﹣1＜x≤3【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由数轴知，此不等式组的解集为﹣1＜x≤3，故选：D．7．下列用数轴表示不等式组的解集，正确的是（）A． B． C． D．【分析】依次分析各个选项不等式组的解集即可．【解答】解：A、不等式组的解集为：x＜﹣1或x≥3，故本选项不合题意；B、不等式组的解集为：x≤﹣1，或x＞3，故本选项不合题意；C、不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，故本选项符合题意；D、不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，故本选项不合题意；故选：C．8．不等式x＞﹣1和2x≤6的解集在数轴上表示都正确的是（）A． B． C． D．【分析】首先解不等式2x≤6，然后根据不等式的表示法即可判断．【解答】解：解不等式2x≤6，得：x≤3，不等式x＞﹣1和2x≤6的解集在数轴上表示为．故选：D．9．铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于0.5mm且不超过0.7mm，缝隙的宽度可以是（）A．0.4mm B．0.7mm C．0.8mm D．0.9mm【分析】设缝隙宽度为a，然后根据题意确定a的取值范围，最后看那个选项在不等式的范围内即可．【解答】解：设缝隙宽度为a，由题意确定a的取值范围为：0.5mm≤a≤0.7mm，选项中只有0.7mm在该范围内．故选：B．10．已知点M（2m﹣1，m﹣1）在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】在第一象限内的点的横纵坐标均为正数，列式求值即可．【解答】解：∵点M（2m﹣1，m﹣1），∴，解①，得x＞0.5，解②，得x＞1，所以m的取值范围在数轴上表示正确的是选项B．故选：B．11．在4，3，2，1，0，，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的数有个．【分析】解一元一次不等式得，x＞2，然后判断作答即可．【解答】解：3x﹣2＞2x，移项合并得，x＞2，∴4，3能使不等式3x﹣2＞2x成立，故答案为：2．12．a与2的差不大于0，用不等式表示为．【分析】根据差运算，不大于的定义列出不等式即可．【解答】解：由题意，用不等式表示为a﹣2≤0，故答案为：a﹣2≤0．13．已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是．【分析】直接根据数轴写出答案即可．【解答】解：这个不等式的解集是：x≥1．故答案为：x≥1．14．已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为．【分析】直接利用不等式的解集结合数轴得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则﹣a﹣1≤x≤b，∴﹣a﹣1＝﹣2，b＝3，解得：a＝1，b＝3，故b﹣a＝3﹣1＝2．故答案为：2．15．高速公路的建设，对我县经济发展具有重要意义，毕威高速平山隧道入口处，有如图所示的一块交通标识牌，在遵守交通规则的前提下，小车通过该隧道所用时间至少为分钟．【分析】根据时间＝距离÷速度即可得到答案．【解答】解：3120m＝3.12km，根据题意得，t≥＝0.039（小时）．0.039小时＝2.34分钟，故答案为：2.34．16．把下列各数：﹣4，﹣|﹣3|，0，，+（+2），在数轴上表示出来并用“＞”把它们连接起来．【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可．【解答】解：+（+2）＞0＞＞﹣|﹣3|＞﹣4．17．在数轴上表示下列不等式：（1）x＞﹣2；（2）x≤1.5；（3）﹣1≤x＜3．【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示；（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示；（3）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．【解答】解：（1）将x＞﹣2表示在数轴上如下：（2）将x≤1.5表示在数轴上如下：（3）将不等式组﹣1≤x＜3表示在数轴上如下：．18．分别用含x的不等式表示如图数轴中所表示的不等式的解集：①x＞0；②x≤3．【分析】根据数轴表示不等式解集的方法进行判断即可．【解答】解：①数轴表示不等式解集为x＞0，②数轴表示不等式解集为x≤3，故答案为：x＞0