人教版初中数学同步讲义七年级下册第06讲 实数的运算专题集训（解析版）

第05讲实数的运算专题集训一．选择题1．在实数范围内定义运算“⊗”：a⊗b＝2a﹣b，例如：3⊗2＝2×3﹣2＝4．若代数式1﹣4b+2a的值是17，则b⊗a的值为（）A．2 B．4 C．8 D．﹣8【分析】首先根据a⊗b＝2a﹣b，可得：b⊗a＝2b﹣a；然后根据1﹣4b+2a＝17，求出2b﹣a的值即可．【解答】解：∵a⊗b＝2a﹣b，∴b⊗a＝2b﹣a，∵代数式1﹣4b+2a的值是17，∴1﹣4b+2a＝17，∴4b﹣2a＝1﹣17＝﹣16，∴2b﹣a＝﹣8，∴b⊗a＝2b﹣a＝﹣8．故选：D．2．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】根据运算定义列出算式，再解一元一次不等式．【解答】解：由题意得，3x﹣2×3≥x﹣2，解得x≥2，故选：B．3．若2023的两个平方根是m和n，则m+2mn+n的值是（）A．0 B．2023 C．﹣4046 D．4046【分析】根据平方根的意义可得m+n＝0，mn＝﹣2023，然后代入式子进行计算即可得到答案．【解答】解：∵2023的两个平方根是m和n，∴m+n＝0，mn＝﹣2023，∴m+2mn+n＝m+n+2mn＝0+2×（﹣2023）＝﹣4046，故选：C．4．设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是（）A．±1 B．±2 C．±3 D．±4【分析】根据合并同类项法则列出关于x与y的方程组，求解方程组得到x＝25，y＝﹣4，代入计算即可求出的平方根．【解答】解：x，y是有理数，且x，y满足等式，∴，解得：，∴，∴的平方根是±1，故选：A．二．填空题5．用“☆”定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有a☆b＝2a﹣3b+1．例如：2☆1＝2×2﹣3×1+1．若x☆（﹣3）＝2，则x＝﹣4．【分析】直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：x☆（﹣3）＝2＝2x﹣3×（﹣3）+1＝2x+10，解得：x＝﹣4．故答案为：﹣4．6．计算：＝2023．【分析】根据有理数的乘方，二次根式的性质，化简绝对值进行计算即可求解．【解答】解：＝﹣1+2+2022＝2023．故答案为：2023．7．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy＝；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为﹣9．【分析】根据新运算列式计算即可．【解答】解：∵﹣9＜﹣3，4＞﹣3，∴原式＝×（﹣3）＝3×（﹣3）＝﹣9，故答案为：﹣9．8．对于实数a，b定义运算“※”如下：a※b＝ab2+2ab，例如1※2＝1×22+2×1×2＝8，则方程1※x＝﹣1的解为﹣1．【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，根据a※b＝ab2+2ab，由1※x＝﹣1，可得：x2+2x＝﹣1，据此求出x的值为多少即可．【解答】解：∵a※b＝ab2+2ab，由1※x＝﹣1，得：x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．9．＝．【分析】先计算9的算术平方根、（﹣1）2009，再化简绝对值，最后加减，即可求解．【解答】解：原式＝＝，故答案为：．10．计算：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1＝3．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：|﹣5|+（﹣2）2+﹣1＝5+4+（﹣3）﹣2﹣1＝9﹣3﹣2﹣1＝3，故答案为：3．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简﹣|a+b|++|b+c|﹣＝b+2c﹣a．【分析】利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．【解答】解：由图可知a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|c|，|a|＞|b|，|c|＞|b|，∴﹣|a+b|++|b+c|﹣＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+（b+c）﹣b＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c﹣b＝b+2c﹣a．故答案为：b+2c﹣a．12．用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝b2+1．例如：7☆4＝42+1＝17，那么5☆3＝10；当m为有理数时，m☆（m☆2）＝26．【分析】根据新运算列式计算即可．【解答】解：5☆3＝32+1＝9+1＝10；m☆（m☆2）＝m☆（22+1）＝m☆5＝52+1＝26；故答案为：10；26．三．解答题（共19小题）13．（1）；（2）．【分析】（1）直接利用乘法分配律计算得出答案；（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣24×﹣（﹣24）×+（﹣24）×＝﹣12+4﹣3＝﹣11；（2）原式＝﹣16﹣6+6××2＝﹣16﹣6+18＝﹣4．14．计算：（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8；（2）﹣5+6÷（﹣2）×+|﹣4|；（3）；（4）﹣22+23÷﹣．【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；（3）直接利用乘法分配律计算得出答案；（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）﹣2+（﹣8）﹣3+8＝（﹣2﹣8﹣3）+8＝﹣13+8＝﹣5；（2）|﹣4|＝﹣5﹣3×+4＝﹣5﹣1+4＝﹣2；（3）＝×（﹣20）﹣×（﹣20）+×（﹣20）＝﹣16+15﹣10＝﹣11；（4）﹣22+23÷﹣＝﹣4+8×2+3＝﹣4+16+3＝15．15．规定两个非零数a，b之间的一种运算，记作a⊗b：如果ak＝b，那么a⊗b＝k．例如：因为23＝8，所以2⊗8＝3；因为（﹣3）2＝9，所以（﹣3）⊗9＝2．根据上述规定，解答下列问题：（1）填空：4⊗16＝2，3⊗27＝3；（2）求证：对任意不等于零的实数p，m，n，总有p⊗m﹣p⊗成立．【分析】（1）由42＝16得出4⊗16＝2；由33＝27得出3⊗27＝3；（2）设p⊗m＝a，p⊗n＝b，则有p⊗m﹣p⊗n＝a﹣b，从而求出的值，根据题中给出的规定即可得出，从而问题得证．【解答】（1）解：因为42＝16，所以4⊗16＝2；因为33＝27，所以3⊗27＝3；故答案为：2，3；（2）证明：设p⊗m＝a，p⊗n＝b，则p⊗m﹣p⊗n＝a﹣b，依题意有，pa＝m，pb＝n，∴，根据规定即有：，．16．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2+（a+b）cdx+的值．【分析】根据相反数的性质及倒数的定义可得a+b＝0，cd＝1，根据已知条件可得x2＝7，然后将其代入代数式中计算即可．【解答】解：∵实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，∴a+b＝0，cd＝1，x2＝7，原式＝7+0+0+1＝8．17．计算：．【分析】根据平方根与立方根的定义得到原式＝5﹣（﹣2）+2×，再进行乘法运算，然后进行实数的加法运算即可．【解答】解：原式＝5﹣（﹣2）+2×＝5+2+1＝8．18．计算：．【分析】根据有理数的乘方，有理数的算术平方根计算即可．【解答】解：＝＝．19．计算：．【分析】先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．【解答】解：原式＝＝＝3．20．计算：．【分析】根据算术平方根的定义，绝对值的意义，有理数乘方运算，立方根的定义进行计算即可．【解答】解：＝＝＝．21．对于任意实数a、b，用“※”定义新运算如下：（1）a※b＝b2+a．如7※4＝42+7＝23．已知2※m的结果是6，求m的值．（2）a※b＝b3+a．如7※4＝43+7＝71．已知4※（n﹣2）结果为﹣508，求n的值．【分析】（1）根据题目所给新定义的运算法则，得出m2+2＝6，根据平方根的定义即可求解；（2）根据题目所给新定义的运算法则，得出（n﹣2）3+4＝﹣508，根据立方根的定义即可求解．【解答】解：（1）由题意，得2※m＝m2+2，∵2※m＝6，∴m2+2＝6，则m2＝4，∴m＝±2；（2）由题意，得4※（n﹣2）＝（n﹣2）3+4，∵4※（n﹣2）＝﹣508，∴（n﹣2）3+4＝﹣508，则（n﹣2）3＝﹣512，∴n﹣2＝﹣8，∴n＝﹣6．22．计算：|﹣3|．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝3+（﹣4）÷4﹣3＝3﹣1﹣3＝﹣1．23．计算题（1）|（2）（﹣2）3×【分析】（1）根据算术平方根、乘方、立方根、绝对值的意义进行计算即可；（2）根据立方、算术平方根、立方根的意义化简后，再进行有理数混合运算即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝﹣8×4+4﹣3＝﹣32+4﹣3＝﹣31．24．计算：（1）﹣22+|﹣2|+；（2）+1．【分析】（1）利用有理数的乘方法则，绝对值的意义，立方根的意义和二次根式的性质化简运算即可；（2）利用二次根式的性质，立方根的意义化简运算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣4+2﹣3+2＝﹣（4+3）+（2+2）＝﹣7+4＝﹣3；（2）原式＝3﹣4+1＝﹣1+1＝0．25．（1）计算：；（2）已知5x+19的立方根是4，2y﹣3的算术平方根是3，求的平方根．【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；（2）根据立方根，算术平方根的定义求解．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）∵5x+19的立方根是4，∴5x+19＝43＝64，∴x＝9，∵2y﹣3的算术平方根是3，∴2y﹣3＝32＝9，∴y＝6，∴，∵，∴的平方根为：±5．26．计算：．【分析】先计算算术平方根和立方根、去绝对值符号，再计算加减可得．【解答】解：原式＝9﹣3+2﹣（﹣2）＝9﹣3+2﹣+2＝10﹣27．计算：（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）；（2）；（3）﹣；（4）．【分析】（1）先变有理数的加减运算为加法运算，再进行求解；（2）先计算有理数的乘除法，再计算加减运算；（3）先计算立方、变除法为乘法，再运用乘法分配律计算乘法，最后计算加减；（4）先计算绝对值、算术平方根和立方根，再计算加法．【解答】解：（1）4﹣（﹣8）+（﹣6）＝4+8﹣6＝6；（2）＝17﹣4×5﹣1×＝17﹣20﹣＝﹣3；（3）﹣＝﹣8+（﹣+）×24＝﹣8+×24﹣×24+×24＝﹣8+8﹣20+18＝﹣2；（4）＝2﹣﹣2﹣4＝﹣4﹣．28．计算：+﹣．【分析】原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．【解答】解：原式＝3﹣2﹣＝．29．计算：（1）；（2）．【分析】（1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；（2）利用平方和绝对值的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣2+5+2＝5，（2）原式＝＝．30．（1）计算：；（2）已知a2＝16，，且ab＜0，求a+b的算术平方根．【分析】（1）本题考查了立方根，平方根的定义．（2）本题考查了立方根，平方根和算术平方根的定义．【解答】解：（1）＝3+（﹣2）﹣2＝﹣1；（2）由题意得：a＝±4，b＝8，∵ab＜0，∴a＝﹣4，b＝8．∴a+b的算术平方根为．31．已知x，y为实数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+x+y+1．（1）求﹣2※4的值；（2）任意选择两个实数x，y，分别计算x※y和y※x，并比较两个运算结果，初步判断此运算是否满足交换律？（3）对于实数a＝2、b＝﹣1、，这种运算※是否满足结合律（a※b）※c＝a※（b※c），请通过计算判断．【分析】（1）根据新运算，求值．（2）选两个实数，运算两次．比较结果，做出判断．（3）分步计算求出（a※b）※c和a※（b※c