北师大版必修第二册5.2平面与平面垂直-2课时练习

【精选】5.2平面与平面垂直-2课时练习

一.填空题

1.在正三棱锥P-ABC中，口，E分别是AB,BC的中点，有下列三个论断：①②AC//

平面PDE；③.上平面PDE其中正确的个数是.

2.正方形AB。。的边长为2,沿着对角线3。把平面ABD向上折起得到三棱锥A-BCD,则三棱锥

A-BCD的体积的最大值为.

3.如图，在四棱锥ABC。中，夕。_1_平面ABC。，AB±AD,ABI/CDtAD=CD=PD=2,

AB=1,E，F分别为棱PC,PB上一点,若距与平面PCD所成角的正切值为2,则（人口+石厂了的

最小值为.

4.如图圆锥高为2,侧面积为4&兀，P为顶点，。为底面中心，A,B在底面圆周上，M为PA

中点，MBYOAf则。到面P43的距离为.

5.正四面体相邻两侧面所成角的大小为

6.在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于a,则sin。=.

7.如图，在正方体ABCD-ABCD中，过点A作平面ABG的垂线1,则直线1与直线CG所成角的余

弦值为.

ZFBA=—

8.如图，两个正方形5c0,ECBF边长为2,12.将AABD绕AB旋转一周，则在旋转

过程中，°与平面石。即的距离最大值为.

9.如图，三棱锥尸一MC的体积为24,又NPBC=ZABC=90°,BC=3,AB=4,PB=4如,

且ZPBA为锐角，则PA与平面ABC所成的角为.

10.在三角形ABC中，A6,ACA。'8C,口是垂足，则AB2^BD-BC推广到空间,三棱锥人—BCD

中，AO上面ABC，_L面BCD,。为垂足，且0在三角形BCD内，则类似的结论为

11.已知四棱锥的底面是边长为。的正方形，其外接球的表面积为56乃，APAB是等边三

角形，平面上钻，平面ABCD,则。=.

CF=-CR

12.如图，在三棱柱"C-ABC中，A4J底面ABC,CA=CB=CC、",笈，“一3°”，

CD=jcq

,则直线AG与。石所成角的大小为

'B

13.如图，在多面体ABCDEF中，平面AW平面ABCD,皿7是正三角形，四边形ABCD是正方

形，ABEF,AB=2EF=2,则多面体ABCDEF的体积为.

14.如图，在三棱锥0-ABC中，三条棱0A.OB.0C两两互相垂直，且0A=0B=0C,M是AB边的中

点，则0M与平面ABC所成的角的余弦值_____.

15.如图，在三棱锥S-ABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=g,M.N分

别为棱SC.的中点，并且.则异面直线MN与AC所成角为；三棱锥S-A5C

的外接球的体积为.

S

A,C

N

B

参考答案与试题解析

1.【答案］2

【解析】利用直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，直线的平行等判断.

【详解】

①根据正三棱锥的性质可知对棱互相垂直，故正确；

②AC//DE；AC.面PDE,DEu面PDE,

；•AC”平面PDE,故正确；

③若平面PDE,则因为QE//AC,所以，而正三棱锥中AC与AB不垂

直，故不正确.

故答案为：2.

【点睛】

主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多，属于基础题.

2.【答案】述

3

【解析】根据三棱锥的体积公式可知，当底面积一定，高最大时，三棱锥的体积最大，所以折起后，

当面面BCD时，三棱锥A-BCD的体积最大，即可求出.

【详解】

如图所示，当面面时，此时点A到面的距离最大，最大距离为近

V=-x-x2x2xV2

三棱锥人―BCD的体积最大为323.

2后

故答案为：3.

【点睛】

本盲主要考查几何图形折叠形成的三棱锥体积的求法，意在考查学生的的直观想象能力和数学运算能

力，属于基础题._

3.【答案】14+4：

3

【解析】先找出郎与平面PC。所成角，再利用正切值为2,证得E为PC的中点.根据所给各边的长

度，求出的斜弦值，再将APBC翻折至与平面PAB共面，利用余弦定理求出AE,即为

(AE+EE)2的最小值.

【详解】

取CD的中点H,连接BH,EH.

依题意可得，/LCD.因为平面ABCD,所以PD上

从而5HL平面ABCD,

所以BE与平面PCD所成角为NBEH,

BH2

tan/BEH-----------2

EH，则.=1,则E为PC的中点.

AP2A/2

cosZAPB=—=—

在RtAB4B中，PB3

因为PB=3,PC=2亚,BCM,

cosZBPC=—ZBPC=-

所以2,所以4

将"BC翻折至与平面PAB共面如图所示则图中

当F为AE与PB的交点时，AF+EF取得最小值此时

(AF+EF)2=AE2=(2拒了+(72)2-2x2^2xgx4一血="+4后

14+472

故答案为：3.

【点睛】

本题考查空间中线面垂直.线面角.余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算求解能力，将

空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要求较高，属于难题.

4.【答案】3包

7

【解析】先利用侧面积计算〃=2,再利用体积法得到％代入数据计算得到答案.

【详解】

如图所示：N为0A中点，连接MN,OB,BN

圆锥高为2侧面积为4缶

即兀八14+产=4五匹r=2

用为以中点，N为抽中点，MNOP,故WQ4

又所以。4,平面故Q4L6N

故AQ钻为等边三角形.

VP-OAB=1X2X1-X2X73=1A/3

在AABP中：AP=BP=2®,AB=2,超边上的高力=巾

^MBP=1X2XV7=V7

VO-ABP=^hXS^ABP=Vp_OAB=三百

h*7

2叵

故答案为7

【点睛】

本题考查了点到平面的距离，利用体积法可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生的空间想象能

力和计算能力.

5.【答案】arccos^

【解析】转化为侧面与底面所成角，取底面中心°,连,延长交与E,连AE,则可得NAEO为

二面角的平面角，然后在直角三角形中计算可得.

【详解】

如图：

A

因为正四面体的相邻两个侧面所成的角和侧面与底面所成的角相等，

所以只需求侧面与底面所成角的大小，

设正四面体人―BCD的棱长为1,底面中心为。，连A°,则40,平面BCD,

，连,并延长交5C于E,则DE,BC,连AE,则,且E为5c的中点,

所以ZAEO就是侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角，

DE=AE=^BC=B

因为22,

OE=-DE^—

所以361

cosZAEO==—

AE好3

所以在直角三角形中2,

ZAEO=arccos—

所以3.

1

arccos—

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了二面角的求法,解题关键是利用三垂线定理作出平面角，属于基础题.

6.【答案】昱

3

【解析】画出几何图形，可知面43cl与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于夕，在

Rt£84可求得5垣1

【详解】

画出几何图形,可知面与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于a

正方体ABCD—AB、C]Di

.3片与面A3G所成的角为

EB[=—

不妨设正方体棱长为1,故2_

在RAEBBI中由勾股定理可得：2

也

sinZBlBE=^=^=—

EB瓜3

2

,V3

sina=——

二3

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于基础题.

7.【答案】昱

3

【解析】连结DBi,则DBi,平面ABC,从而1〃DB1，直线1与直线CG所成角为/DDB,由此能求出

结果.

【详解】

如图，连结DBi,则DB」平面ABC”

・・・l〃DBi,

直线1与直线C3所成角为NRD4,

连结BD,在RtaDiDBi中,设DDi=a,则DBi=&,

Q

AcosZDiDBi6〃3.

V3

故答案为：3.

【点睛】

本法考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】76

【解析】AABD绕A3旋转一周得到的几何体是圆锥，0点的轨迹是圆.过AD作平面平面

ABCD,交平面ECBb于G”.0的轨迹在平面AZX7H内.画出图像，根据图像判断出圆的下顶点

距离平面水前的距离最大，解三角形求得这个距离的最大值.

【详解】

AABD绕AB旋转一周得到的几何体是圆锥，故D点的轨迹是圆.过A。作平面ADGH±平面

ABC。，交平面ECBb于G".D的轨迹在平面ADG8内.画出图像如下图所示，根据图像作法可

知，当。位于圆心A的正下方点P位置时，到平面ECB厂的距离最大.在平面山田内，过「作

PQ^BH,交BH于。,在Rt^PQH中，丫―512-12,

Sir5兀?!（571_।.71

HP=HA+AP=AB-tan—+2=2tan——+2PQ=HPsin—=2tan—+2-sin—

1212,所以工12I12J12①,其

7171

tan—+tan—

5兀（兀兀、

tan——tan—I—46

12<46）171兀

1-tan—•tan—厂

中46=2+73

（6+2⑹.县正空

，所以①可化为'）*4

故答案为：底

【点睛】

本小题主要考查旋转体的概念，考查空间点到面的距离的最大值的求法，考查空间想象能力和运算能

力，属于中档题.

7T

9.【答案】

2

【解析】首先由线面垂直的判定定理得到3cL平面以5,由线面垂直的性质得到由

V=-SAPABBC=--PB-ABsinZPBABC

332计算出再根据同角三角函数的基本关系得

至!jcos/PBA,在AR45中，由余弦定理求出刈的值，即可得到以上A3,

从而得到上4工平面ABC,即可得解.

【详解】

解：因NPBC=NABC=90°,即BCLAB,BC上PB,

又ABi平面P4B,尸5u平面PBcAB=B

所以平面

又BC=3,AB=4,PB=4回,由勾股定理可得PC=13,AC=5,由三棱锥的体

V=-SAPABBC=--PBABsinZPBA-BC=8AMsinZPBA=24sinZPBA=

332，解得1°,又

cosNPBA=

“84为锐角，所以1°,_

PA2=160+16-2x4x4710x^=144

在APAB中，由余弦定理得1°，即m=12,则

22

PB=P^+AB,故由BC_L平面B45,APu平面：.BCLPAy

JBCU平面ABC,ABI平面ABC,ABcBC=B,

71

故平面ABC,故以与平面ABC所成的角为2.

TC

故答案为：2

【点睛】

本题考查线面垂直的判定及性质定理的应用，锥体的体积计算，属于中档题.

10.【答案】S故=S岫co■S帖CD

【解析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推

理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中在AABC中，AB_LAC,点D是

点A在BC边上的射影，则/止2=皮＞80,我们可以类比这一性质，推理出若在三棱锥A?BCD中，

BA,平面ACD,点0是点A在平面BCD内的射影，即可得到答案

【详解】

解：由已知在平面几何中，

若三角形ABC中，D是垂足，

则而=&5.3。，

我们可以类比这一性质，推理出：

若三棱锥人―BCD中，面ABC,AO面BCD,。为垂足，

贝15AABC=SABCO,S/^BCD。

证明：如图，连接D0并延长，交BC与点E,连接AE,BO,C0,

面ABC,则

又A。J-面BCD,则AO_LED,

所以在三角形AED中，DA±AE,AO±ED。是垂足，则人加二屈6瓦）,

:\BC-AE^=（BC-EOy（BC-ED）

:.\^BC-AEj=\^BC-EOj-\^BC-ED^

SAAB」=SABCO，SSBCD,

故答案为：SAABC=^ABCO.SABCD.

【善睛】

类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另

一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.

11.【答案】2娓

【解析】利用外接球的表面积56不，求出四棱锥的外接球半径，进而利用勾股定理求解；

【详解】

解：根据题意，画出示意图如图所示，

。为四棱锥P—A5CD的外接球的球心，M为AC与BD交点,过尸作PE_LA5交A3与点E,过

0作ONJ_PA,交PA,与点N,

则|0A|=|0尸|=R,

^\OM\=h9

•••外接球的表面积是56乃,

4/rR2=567r

得R=>/14

\AM\=—\AB\=—a

在中，।।2।।2

2

h2+—=14

2

在HfAQVP中，

一a2+

4中一”

联立以上两式解得a=2#,

故答案为：2G.

【点睛】

考查四棱锥外接球的理解，勾股定理的应用，正确画出示意图是解决本题的关键.

12.【答案】600

【解析】连接BCi,根据平移找到直线4c与OE所成角，假设C4长度，计算A5,8G，AG长度,

可得结果.

【详解】

连接5

CDCE

,所以函二而

易知£>E〃8G,所以

ZAC'B就是直线AG与DE所成角.

设G4=C3=CG=a,则AC】=3C|="=伍，

则Mg是正三角形，则NAC&=60°.

故直线AC与所成角的大小为60°.

故答案为：60°

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，这种题型，有以下做法：①向量法②平移或者作辅助线，找到这个角,

根据特点或结合三角函数以及余弦定理求值，属基础题.

13.【答案】上叵

3

【解析】如图所示,分别过E作EG//ED交0c于G,作EH//A/交AB于H,于是将多面体ABCDEF

分为一个棱柱和一个棱锥，分别求出其体积，即可求出.

【详解】

如图所示，分别过后作EG//ED交℃于G,作印//AF交于连接GH.

因为平面尸,平面ABCD,ADF是边长为2的正三角形，所以E到平面ABCD的距离为代，且

S河=£乂2乂#>=邪>

=

VABCDEF=^ADF-HGE+^E-BCGHX+ZX义2义1=1\/3

故33.

56

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查简单几何体的体积求法，涉及棱锥和棱柱的体积公式应用，意在考查学生的转化能力和

直观想象能力，属于中档题.

14.【答案】B

3

【解析】根据线面垂直的判定定理，根据三棱锥的体积公式，利用等积性，最后根据线面角的定义,

求出0M与平面ABC所成的角的余弦值

【详解】

VOA,OB,0C两两垂直,

；.0A_L平面0BC,

设0A=0B=0C=l,贝I]AB=BC=AC=^,