高中数学人教A必修第一册同步练习：5.7三角函数的应用

5.7三角函数的应用

课后篇巩固提升

…“一基础达标练

如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置0的距离s（单位:cm）和时间/（单位:s）的函数关系式为

s=6sin（2nt+习,那么单摆来回摆动一次所需的时间为（）

A.2KsB.兀s

C.0.5sD.ls

丽单摆来回摆动一次所需的时间即为函数.v=6sin（2nt+习的一个周期7=9=l（s）.

答案D

2.（多选题）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）

x/cm

A.该质点的运动周期为0.8s

B.该质点的振幅为5cm

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大

D.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零

隆明由图可得，半个周期为0.4s,所以周期为0.8s,A正确;平衡位置为x轴，最低点纵坐标是-5,故振幅

为5cm,B正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零，故C错误,D正确.

答案|ABD

3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（3+9）+£据此函数可知，这段

■O

时间水深（单位:m）的最大值为（）

斗水深(m)

2-----------V

。6时间(h)

A.5B.6

C.8D.10

|解析|由题意可知当sin(也+8)取最小值-1时，

函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,

・：y=3sin(%+9)+5,当sin(%+e)取最大值1时，

函数取最大值ymax=3+5=8.

Jgc

4.简谐运动y=；sin(务-2)的频率f=

Zo

1T

1

=16,

5.某地一天0〜24时的气温y(单位:℃)与时间1(单位:h)的关系满足函数y=6sin信t-多+20QW

[0,24]),则这一天的最低气温是℃.

解析因为0W/W24,所以?,故当白心穹=3即1=2时函数取最小值-6+20=14.

g<]14

6.弹簧振子以点O为平衡位置，在B,C间做简谐运动,B,C相距20cm,某时刻振子处在点氏经0.5s振

子首次达到点C.求：

(1)振动的振幅、周期和频率；

(2)振子在5s内通过的路程及这时位移的大小.

网⑴设振幅为A,

则2A=20cm^4=10cm.

设周期为7,则3=0.5s,T=lsJMHz.

(2)振子在17内通过的距离为4A,

故在5s内通过的路程

s=5x4A=20A=20x10cm=200cm=2m.

5s末物体处在点B,所以它相对平衡位置的位移大小为10cm.

7.(2019山东烟台模块统测)下表是某地1988~2019年的月平均气温(华氏度).

月份123456

平均

行：日21.426.()36.048.859.16S.6

~1/皿

月份789101112

平均

/=CB73.071.964.753.539.827.7

~1/皿

以月份为X轴，令》=月份-1,以平均气温为y轴.

(1)描出散点图.

(2)用正弦型曲线去拟合这些数据.

(3)第(2)问中所求得正弦型曲线对应的函数的周期T是多少?

(4)估计这个正弦型曲线的振幅A

(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？

(2^=cos^;(^^=cos学(^^=cos学(^^=si喏.

网(1)(2)如图所示.

(3)1月份的平均气温最低为21.4华氏度,7月份的平均气温最高为73.0华氏度，根据图知［=7-

1=6,所以7=12.

(4)24=平均最高气温-平均最低气温=73.0-21.4=51.6(华氏度).

所以A=25.8.

(5)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-l=l,y=26.0,代入①

得1=甥＞l#cos2所以①不合适•

JIZb♦b。

代入②得空=嘤*<(Vcosm，同理④也不合适，只有③最适合这些数据，所以应选③

AZD.OO

…一能力提升练

1.如图，圆。的半径为是圆上的定点『是圆上的动点，角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点

P作直线OA的垂线，垂足为M将点M到直线OP的距离表示为x的函数大尤),则丫可口)在区间［。㈤上

的图象大致为()

0rtx

B

ORx

D

,----,(|sin2x,xe1

龌丽由题意可得<x)=12L2J排除A,B,D,选项C满足函数的图象，故选C.

^--sin2x,xS^-,n],

gl]c

2.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产

生了影响,温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单

价y(每平方米的价格，单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(s;+9)+9500(①>0),已知第一、二

季度平均单价如下表所示：

1

10~9

()0()500

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()

A.10000元

B.9500元

C.9000元

D.8500元

|解析|因为,y=500sin(<wx+9)+9500(@>0),所以当A=1时,5OOsin(<w+0)+9500=10000;当x=2

时,500sin(2o+9)+9500=9500,所以。可取当可取兀,即y=500sin(齐+1+9500.当x=3时,y=9

000.

ggc

3.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置尸(x,y),若初始位置为

Po悻3当秒针从Po(注:此时f=0)正常开始走时，点P的纵坐标y与时间f的函数关系为()

A产sin儒t+£)B.产sin(端片)

卷t+弓)D.y=sin(嗡吗,

|解析卜殳尸sin(①什8),其中①<0.

由辟60,得⑻喘,：。=嗡.

,:产sin(嗡t+*

又当f=0时,y=；,

^M]c

4.

如图所示，一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在地面上2m处,如果此摩天轮按逆时针转动，每30s

转一圈，且当摩天轮上某人经过点尸处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.

解1)设在fs时，摩天轮上某人在高/7m处.这时此人所转过的角为引=尊,故在rs时,此人相对于地

面的高度为/7=1(^喂/+12(后0).

⑵由1Osin自+12217,

则衿吟

故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.

5.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间

人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).

时间

024681012

(时)

温度

36.836.736.636.736.83737.2

(℃)

时间

141618202224

时)

温度

37.337.437.337.23736.8

(℃)

(1)作出这些数据的散点图；

(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;

(3)作出(2)中所选函数的图象.

网(1)散点图如下：

y/℃

37.6

37.4-

37.2-

37­

36.8■

36.6-

024681012141618202224t/h

⑵设t时的体温y=Asin(o>/+*)+C,

则c=2写”=37/=37.4-37=0.4,

2n2nn

(!)—.....=-----=-----

T2412,

由o.4sin(y|X16+0)+37=37.4,

得sin得+=

取m夕二下51T•

故可用函数y=0.4sin信t片)+37来近似描述这些数据.

(3)图象如下:

…一素养培优练

为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发

现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投

入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的

变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

网⑴设该函数为«r)=Asin(«xr+9)+B(A>0,3>0,0<：l9l<7t),根据条件①可知这个函数