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2021-2022学年吉林省松原宁江区五校联考中考数学考前最后一卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.据调查,某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示,尺码(码)3435363738人数251021则鞋子尺码的众数和中位数分别是()A.35码,35码 B.35码,36码 C.36码,35码 D.36码,36码2.2017年,太原市GDP突破三千亿元大关,达到3382亿元,经济总量比上年增长了426.58亿元,达到近三年来增量的最高水平,数据“3382亿元”用科学记数法表示为()A.3382×108元B.3.382×108元C.338.2×109元D.3.382×1011元3.小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.你认为其中正确信息的个数有A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.已知点M、N在以AB为直径的圆O上,∠MON=x°,∠MAN=y°,则点(x,y)一定在()A.抛物线上 B.过原点的直线上 C.双曲线上 D.以上说法都不对5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为弧BD的中点,若∠DAB=50°,则∠ABC的大小是()A.55° B.60° C.65° D.70°6.如图,⊙O内切于正方形ABCD,边BC、DC上两点M、N,且MN是⊙O的切线,当△AMN的面积为4时,则⊙O的半径r是()A. B.2 C.2 D.47.不等式﹣x+1>3的解集是()A.x<﹣4 B.x>﹣4 C.x>4 D.x<48.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形()的交点.A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线C.三条中线 D.三条高9.△ABC的三条边长分别是5,13,12,则其外接圆半径和内切圆半径分别是()A.13,5 B.6.5,3 C.5,2 D.6.5,210.某车间20名工人日加工零件数如表所示:日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是()A.5、6、5 B.5、5、6 C.6、5、6 D.5、6、6二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.函数中,自变量的取值范围是_____.12.一个不透明的袋子中装有6个球,其中2个红球、4个黑球,这些球除颜色外无其他差别.现从袋子中随机摸出一个球,则它是黑球的概率是______.13.计算:21﹣1=1,22﹣1=3,23﹣1=7,24﹣1=15,25﹣1=31,归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测22019﹣1的个位数字是_____.14.在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中随机抽取两张,则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为_____.15.的相反数是_____,倒数是_____,绝对值是_____16.观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,已知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,某同学在测量建筑物AB的高度时,在地面的C处测得点A的仰角为30°,向前走60米到达D处,在D处测得点A的仰角为45°,求建筑物AB的高度.18.(8分)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F(1)证明:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.19.(8分)“六一”期间,小张购述100只两种型号的文具进行销售,其中A种型号的文具进价为10元/只,售价为12元,B种型号的文具进价为15元1只,售价为23元/只.(1)小张如何进货,使进货款恰好为1300元?(2)如果购进A型文具的数量不少于B型文具数量的倍,且要使销售文具所获利润不低于500元,则小张共有几种不同的购买方案?哪一种购买方案使销售文具所获利润最大?20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.(1)求抛物线的表达式;(2)如图,当CP//AO时,求∠PAC的正切值;(3)当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.21.(8分)甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球,已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在离地面1米的C处发出一球,乙在离地面1.5米的D处成功击球,球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米,现以A为原点,直线AB为x轴,建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22.(10分)已知抛物线的开口向上顶点为P(1)若P点坐标为(4,一1),求抛物线的解析式;(2)若此抛物线经过(4,一1),当-1≤x≤2时,求y的取值范围(用含a的代数式表示)(3)若a=1,且当0≤x≤1时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为6,求b的值23.(12分)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0).绕点A旋转的直线l:y=kx+b1交抛物线于另一点D,交y轴于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当点D在第二象限且满足CD=5AC时,求直线l的解析式;(3)在(2)的条件下,点E为直线l下方抛物线上的一点,直接写出△ACE面积的最大值;(4)如图2,在抛物线的对称轴上有一点P,其纵坐标为4,点Q在抛物线上,当直线l与y轴的交点C位于y轴负半轴时,是否存在以点A,D,P,Q为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.24.平面直角坐标系xOy中,横坐标为a的点A在反比例函数y1═(x>0)的图象上,点A′与点A关于点O对称,一次函数y2=mx+n的图象经过点A′.(1)设a=2,点B(4,2)在函数y1、y2的图象上.①分别求函数y1、y2的表达式;②直接写出使y1>y2>0成立的x的范围;(2)如图①,设函数y1、y2的图象相交于点B,点B的横坐标为3a,△AA'B的面积为16,求k的值;(3)设m=,如图②,过点A作AD⊥x轴,与函数y2的图象相交于点D,以AD为一边向右侧作正方形ADEF,试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.【详解】数据36出现了10次,次数最多,所以众数为36,一共有20个数据,位置处于中间的数是:36,36,所以中位数是(36+36)÷2=36.故选D.【点睛】考查中位数与众数,掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数是解题的关键.2、D【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】3382亿=338200000000=3.382×1.故选:D.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3、D【解析】试题分析:①如图,∵抛物线开口方向向下,∴a<1.∵对称轴x,∴<1.∴ab>1.故①正确.②如图,当x=1时,y<1,即a+b+c<1.故②正确.③如图,当x=﹣1时,y=a﹣b+c>1,∴2a﹣2b+2c>1,即3b﹣2b+2c>1.∴b+2c>1.故③正确.④如图,当x=﹣1时,y>1,即a﹣b+c>1,∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>1.∵b<1,∴c﹣b>1.∴(a﹣b+c)+(c﹣b)+2c>1,即a﹣2b+4c>1.故④正确.⑤如图,对称轴,则.故⑤正确.综上所述,正确的结论是①②③④⑤,共5个.故选D.4、B【解析】
由圆周角定理得出∠MON与∠MAN的关系,从而得出x与y的关系式,进而可得出答案.【详解】∵∠MON与∠MAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角,∴∠MAN=∠MON,∴,∴点(x,y)一定在过原点的直线上.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质,熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.5、C【解析】连接OC,因为点C为弧BD的中点,所以∠BOC=∠DAB=50°,因为OC=OB,所以∠ABC=∠OCB=65°,故选C.6、C【解析】
连接,交于点设则根据△AMN的面积为4,列出方程求出的值,再计算半径即可.【详解】连接,交于点内切于正方形为的切线,经过点为等腰直角三角形,为的切线,设则△AMN的面积为4,则即解得故选:C.【点睛】考查圆的切线的性质,等腰直角三角形的性质,三角形的面积公式,综合性比较强.7、A【解析】
根据一元一次不等式的解法,移项,合并同类项,系数化为1即可得解.【详解】移项得:−x>3−1,合并同类项得:−x>2,系数化为1得:x<-4.故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式,解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的解法.8、B【解析】试题分析:根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答.解:到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.故选B.点评:本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键.9、D【解析】
根据边长确定三角形为直角三角形,斜边即为外切圆直径,内切圆半径为,【详解】解:如下图,∵△ABC的三条边长分别是5,13,12,且52+122=132,∴△ABC是直角三角形,其斜边为外切圆直径,∴外切圆半径==6.5,内切圆半径==2,故选D.【点睛】本题考查了直角三角形内切圆和外切圆的半径,属于简单题,熟悉概念是解题关键.10、D【解析】
5出现了6次,出现的次数最多,则众数是5;把这些数从小到大排列,中位数是第10,11个数的平均数,则中位数是(6+6)÷2=6;平均数是:(4×2+5×6+6×5+7×4+8×3)÷20=6;故答案选D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、【解析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依题意,得,解得:,故答案为:.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围,函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑:①当函数解析式是整式时,字母可取全体实数;②当函数解析式是分式时,考虑分式的分母不能为0;③当函数解析式是二次根式时,被开方数为非负数.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.12、【解析】
根据概率的概念直接求得.【详解】解:4÷6=.故答案为:.【点睛】本题用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.13、1【解析】
观察给出的数,发现个位数是循环的,然后再看2019÷4的余数,即可求解.【详解】由给出的这组数21﹣1=1,22﹣1=3,23﹣1=1,24﹣1=15,25﹣1=31,…,个位数字1,3,1,5循环出现,四个一组,2019÷4=504…3,∴22019﹣1的个位数是1.故答案为1.【点睛】本题考查数的循环规律,确定循环规律,找准余数是解题的关键.14、【解析】
用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆,画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】解:用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆,画树状图:共有12种等可能的结果数,其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6,所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率.故答案为.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.也考查了轴对称图形.15、,【解析】∵只有符号不同的两个数是互为相反数,∴的相反数是;∵乘积为1的两个数互为倒数,∴的倒数是;∵负数得绝对值是它的相反数,∴绝对值是故答案为(1).(2).(3).16、135【解析】试题分析:根据题意可得:∠BDA=30°,∠DAC=60°,在Rt△ABD中,因为AB=45m,所以AD=m,所以在Rt△ACD中,CD=AD=×=135m.考点:解直角三角形的应用.三、解答题(共8题,共72分)17、(30+30)米.【解析】
解:设建筑物AB的高度为x米在Rt△ABD中,∠ADB=45°∴AB=DB=x∴BC=DB+CD=x+60在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴tan∠ACB=∴∴∴x=30+30∴建筑物AB的高度为(30+30)米18、(1)证明见解析(2)90°(3)AP=CE【解析】
(1)、根据正方形得出AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,结合PB=PB得出△ABP≌△CBP,从而得出结论;(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP,根据PA=PE得出∠DAP=∠E,即∠DCP=∠E,易得答案;(3)、首先证明△ABP和△CBP全等,然后得出PA=PC,∠BAP=∠BCP,然后得出∠DCP=∠E,从而得出∠CPF=∠EDF=60°,然后得出△EPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;(2)、由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;(3)、AP=CE理由是:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,在△ABP和△CBP中,又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠DCP,∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE考点:三角形全等的证明19、(1)A种文具进货40只,B种文具进货60只;(2)一共有三种购货方案,购买A型文具48只,购买B型文具52只使销售文具所获利润最大.【解析】
(1)设可以购进A种型号的文具x只,则可以购进B种型号的文具只,根据总价=单价×数量结合A、B两种文具的进价及总价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)根据题意列不等式,解之即可得出x的取值范围,再根据一次函数的性质,即可解决最值问题.【详解】(1)设A种文具进货x只,B种文具进货只,由题意得:,解得:x=40,,答:A种文具进货40只,B种文具进货60只;(2)设购进A型文具a只,则有,且;解得:,∵a为整数,∴a=48、49、50,一共有三种购货方案;利润,∵,w随a增大而减小,当a=48时W最大,即购买A型文具48只,购买B型文具52只使销售文具所获利润最大.【点睛】本题主要考查了一次函数的实际问题,熟练掌握一次函数表达式的确定以及自变量取值范围的确定,最值的求解方法是解决本题的关键.20、(1)抛物线的表达式为;(2);(3)P点的坐标是.【解析】
分析:(1)由题意易得点A、C的坐标分别为(-1,0),(0,1),将这两点坐标代入抛物线列出方程组,解得b、c的值即可求得抛物线的解析式;(2)如下图,作PH⊥AC于H,连接OP,由已知条件先求得PC=2,AC=,结合S△APC,可求得PH=,再由OA=OC得到∠CAO=15°,结合CP∥OA可得∠PCA=15°,即可得到CH=PH=,由此可得AH=,这样在Rt△APH中由tan∠PAC=即可求得所求答案了;(3)如图,当四边形AOPQ为符合要求的平行四边形时,则此时PQ=AO=1,且点P、Q关于抛物线的对称轴x=-1对称,由此可得点P的横坐标为-3,代入抛物线解析即可求得此时的点P的坐标.详解:(1)∵直线y=x+1经过点A、C,点A在x轴上,点C在y轴上∴A点坐标是(﹣1,0),点C坐标是(0,1),又∵抛物线过A,C两点,∴解得,∴抛物线的表达式为;(2)作PH⊥AC于H,∵点C、P在抛物线上,CP//AO,C(0,1),A(-1,0)∴P(-2,1),AC=,∴PC=2,,∴PH=,∵A(﹣1,0),C(0,1),∴∠CAO=15°.∵CP//AO,∴∠ACP=∠CAO=15°,∵PH⊥AC,∴CH=PH=,∴.∴;(3)∵,∴抛物线的对称轴为直线,∵以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,∴PQ∥AO,且PQ=AO=1.∵P,Q都在抛物线上,∴P,Q关于直线对称,∴P点的横坐标是﹣3,∵当x=﹣3时,,∴P点的坐标是.点睛:(1)解第2小题的关键是:作出如图所示的辅助线,构造出Rt△APH,并结合题中的已知条件求出PH和AH的长;(2)解第3小题的关键是:根据题意画出符合要求的示意图,并由PQ∥AO,PQ=AO及P、Q关于抛物线的对称轴对称得到点P的横坐标.【详解】请在此输入详解!21、米.【解析】
先求抛物线对称轴,再根据待定系数法求抛物线解析式,再求函数最大值.【详解】由题意得:C(0,1),D(6,1.5),抛物线的对称轴为直线x=4,设抛物线的表达式为:y=ax2+bx+1(a≠0),则据题意得:,解得:,∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+1,∵y=﹣(x﹣4)2+,∴飞行的最高高度为:米.【点睛】本题考核知识点:二次函数的应用.解题关键点:熟记二次函数的基本性质.22、(1);(2)1-4a≤y≤4+5a;(3)b=2或-10.【解析】
(1)将P(4,-1)代入,可求出解析式
(2)将(4,-1)代入求得:b=-4a-1,再代入对称轴直线中,可判断,且开口向上,所以y随x的增大而减小,再把x=-1,x=2代入即可求得.
(3)观察图象可得,当0≤x≤1时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为6,这些点可能为x=0,x=1,三种情况,再根据对称轴在不同位置进行讨论即可.【详解】解:(1)由此抛物线顶点为P(4,-1),所以y=a(x-4)2-1=ax2-8ax+16a-1,即16a-1=3,解得a=,b=-8a=-2所以抛物线解析式为:;(2)由此抛物线经过点C(4,-1),所以一1=16a+4b+3,即b=-4a-1.因为抛物线的开口向上,则有其对称轴为直线,而所以当-1≤x≤2时,y随着x的增大而减小当x=-1时,y=a+(4a+1)+3=4+5a当x=2时,y=4a-2(4a+1)+3=1-4a所以当-1≤x≤2时,1-4a≤y≤4+5a;(3)当a=1时,抛物线的解析式为y=x2+bx+3∴抛物线的对称轴为直线由抛物线图象可知,仅当x=0,x=1或x=-时,抛物线上的点可能离x轴最远分别代入可得,当x=0时,y=3当x=1时,y=b+4当x=-时,y=-+3①当一<0,即b>0时,3≤y≤b+4,由b+4=6解得b=2②当0≤-≤1时,即一2≤b≤0时,△=b2-12<0,抛物线与x轴无公共点由b+4=6解得b=2(舍去);③当,即b<-2时,b+4≤y≤3,由b+4=-6解得b=-10综上,b=2或-10【点睛】本题考查了二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,以及最值问题,关键是对称轴在不同的范围内,抛物线上的点到x轴距离的最大值的点不同.23、(1)y=x2+x﹣;(2)y=﹣x+1;(3)当x=﹣2时,最大值为;(4)存在,点D的横坐标为﹣3或或﹣.【解析】
(1)设二次函数的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=ax2+2ax﹣3a,即可求解;(2)OC∥DF,则即可求解;(3)由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解;(4)分当AP为平行四边形的一条边、对角线两种情况,分别求解即可.【详解】(1)设二次函数的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=ax2+2ax﹣3a,即:解得:故函数的表达式为:①;(
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