高一数学期末复习综合测试卷（人教A版2019必修第二册）（解析版）

高一数学期末复习综合测试卷

试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1.（5分）（2021春•抚州期末）已知复数z=—2+倔，2为z的共朝复数.若复数

则下列结论错误的是（）

A.3在复平面内对应的点位于第二象限

B.|3|=1

C.3的实部为一:

D.3的虚部为4西

【解题思路】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解.

【解答过程】解：因为z=—2+遮1,

所以，=一2-遮i,

诉Wz-2-屈（-2-底:1,475.

所以“，=三话=口+庖，亍而）=一百+丁''

3在复平面内对应的点为（-义,崎），位于第二象限，

，\a）\=偿+需=1，3的实部是一］,虚部是65，所以4B,C正确，。错误•

11\818199

故选：D.

2.（5分）（2021秋•日照期末）已知AABC是边长为1的等边三角形，点。，E分别是边

AB,BC的中点，且法=3京，则前•无的值为（）

11

A.一言B.—C.1D.-8

1212

【解题思路】设加=之，AC=b,将2*乍为一组基底，酢与局通过这组基底表示，

利用向量的数量积运算可得答案.

【解答过程】解：设施=/晶=1,•.♦点£）,E分别是边AB,BC的中点，UDE=3EF,

1TT1112

-bD-+

:.DE=*b,EF-,F---

6263

-TT

T1_2TBcb

J.AF=+可仇=-

2T1T12111

2

+-b-b=-+--X-=

3-6a--23-62

12

故选：B.

A

3.（5分）（2021春•舒城县期末）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为出

n,记『"+〃，则下列说法正确的是（）

1

A.事件“f=12”的概率为一

21

B.事件“f是奇数”与互为对立事件

C.事件）=2”与“fr3”互为互斥事件

D.事件）>8且mn<32"的概率为三

4

【解题思路】计算出事件）=12”的概率可判断4；根据对立事件的概念，可判断B；

根据互斥事件的概念，可判断C计算出事件“f>8且瓶〃<32”的概率可判断£>；

【解答过程】解：连掷一枚均匀的骰子两次，

所得向上的点数分别为“，b,记/="+6,则

事件）=12”的概率为上，故A错误；

36

事件、是奇数”与“〃?=〃”为互斥不对立事件，故8错误；

事件）=2”与-W3”不是互斥事件，故C错误；

事件“f>8且加〃<32”共有9个基本事件，

1

故事件”f>8且相〃<32”的概率为一，故。正确；

4

故选：D.

4.（5分）（2021春•东城区期末）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”

的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至

100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示,

下列说法正确的是（）

频率/组距争

0.040-

x-------------------------------------

0.015-----------------------——

0.010----------------1—

0.005-----------1-

5060708090100攵数

A.直方图中x的值为0.004

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［60,70）的学生数为10

C.估计全校学生的平均成绩不低于80分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

【解题思路】根据直方图中学生成绩落在各个区间概率和为1可求得x,可判断A；

根据成绩在区间［60,70）的学生的频率计算学生数，可判断B：

按照频率分布直方图中平均数算法求得平均数，可判断C；

按照频率分布直方图中百分位数算法计算样本数据的80%分位数，可判断D.

【解答过程】解：由图可知（0.005+0.01+0.015+0.04+x）X10=l,解得x=0.03,错;

由图可知根据成绩在区间［60,70）的学生数为0.01X10X200=20,二8错；

由图可知平均数为：55X0.05+65X0.1+75X0.15+85X0.3+95X0.4=84,对；

由图可知样本数据的80%分位数约为：90+*10=95,.•./）错.

”U.秘4,6

故选：C.

5.（5分）（2021春•威海期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次

接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个

能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概

率为P，录用到能力中等的人的概率为q,则（p,q）=（）

11111111

A.（一,一）B.（一,—）C.（—,—）D.（一，一）

66262423

【解题思路】利用列举法列出基本事件总数和该公司录用到能力最强的人包含的基本事

件个数和该公司录用到能力中等的人包含的基本事件个数，由此能求出结果.

【解答过程】解：设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序为：

（强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，中，强），

（弱，强，中），

即基本事件总数〃=6,

按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第

二个人，否则就录用第三个人”的规定，

该公司录用到能力最强的人包含的基本事件有：（中，强，弱），（中，弱，强），（弱,

强，中），共三种情况，

该公司录用到能力最强的人的概率P=|=今

该公司录用到能力中等的人包含的基本事件有：（强，弱，中），（弱，中，强），共

二种情况，

该公司录用到能力中等的人的概率

oO

故选：D.

6.（5分）（2021秋•昌江区校级期末）在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的

对边，已知y+c2=q2+bc,b=2,则△ABC的面积S的取值范围是（）

A.[竽，2V3）B.（苧，2V2]C.（苧，2^3）D.（苧，2V2）

【解题思路】根据余弦定理求出A的值，求出c的取值范围，从而求出"BC的面积的

取值范围.

【解答过程】解：在△ABC中，由余弦定理知：

又46(0,n),A4BC为锐角三角形，故4=多

,.11兀V3

故SAABC=5&csinA=弓x2XcXsin—=—c,

2232

当CB_LAB时，C”“R=Z?COSA=1,

当C8LAC时，Cmax=忌=4,

故cW(1,4),

6L

故SAABCW(一,2遮)，

2

故选：C.

7.（5分）（2021秋•工农区校级期末）如图，在正方体ABCD-AiBCQi中，点尸在线

段BCi上运动，给出下列判断：

（1）平面P8iOJ_平面AC。；

（2）AiP〃平面ACDi；

（3）异面直线AiP与A"所成角的范围是（0,野；

（4）三棱锥-APC的体积不变.

其中正确的命题是()

A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(2)(4)

【解题思路】利用项目垂直判断平面与平面垂直判断4平面与平面平行的性质判断&

求出异面直线所成角的范围判断C；几何体的体积判断D.

【解答过程】解：对于(1),易知8i£>_L平面ACZ)i,BOu平面从而平面PB1D

_L平面ACG，(1)正确；

对于(2),易知平面BAiCi〃平面ACO,AiPu平面84G，所以4P〃平面AC。，

故(2)正确；

对于(3),A1P与所成角即为41P与8cl的所成角，BA\=BCi=A\C\,当P与线

TC

段BG的两端点重合时,4P与A9所成角取最小值F当尸与线段的中点重合时,

TTTT71

4P与AD1所成角取最大值三，故小P与AD1所成角的范围是苧，-J,故⑶不正确；

对(4)D,由选项B得BC1〃平面ACDi,故BC\上任意一点到平面ACDi的距离均相

等，所以以户为顶点，三角形AC。为底面，则三棱锥P-ACCi的体积不变，又VO1-

APC^VP-AD\C,所以三棱锥。i-APC的体积不变，故(4)正确.

故选：D.

8.(5分)(2021秋•房山区期末)如图，正方体ABCD-4B1C1D1中，M是4。的中点，

贝I」()

A.直线MB与直线BiCi相交，直线MBu平面A8C

B..直线MB与直线CMC平行，直线M8_L平面4C1D

C.直线M8与直线4C异面，直线MB_L平面AQCiBi

D.直线M2与直线4。垂直，直线MB〃平面21O1C

【解题思路】可利用正方体的性质以及线!面垂直，线面平行的判定及性质逐一选项判断

即可.

【解答过程】解：对于选项A,连接加BD,如图，

在正方体ABC£>-4B1C1D中,B\D\//BD,

BOu面MBD,所以BiDi〃平面MBD,

XMBcffiMBD,MBC\BD=B,

所以直线MB与直线81。不相交，故选项A错误;

对于选项B,连接48,D\C,如图，

在正方体ABCQ-AiBiCiG中，A\B//D\C,

A।Be®MBD,所以。iC〃面MB。，

又MBu面MB。，

所以直线MB与直线。iC不平行，故选项B错误;

对于选项C,连接ABi，DCi，A\B,

在正方体ABCD-481C1D1中，AB\LA\B,A\B±B\Ci,

AB\QB\C\=Bi,所以48_1_面4£）。81,又

所以与平面ADC1B1不垂直，故选项C错误；

对于。选项，连接AG,BC\,Bid,B\C,CD\,

DiCi

AB

在正方体ABC£>-A1B1C1Q1中，AD\±A\D,AiD±AB,

AD\C\AB=A,所以41£>_1_面ABCiOi,BA/c®ABC1D1,

所以设8iCC8Ci=0,连接QiO,如图，

'：BC\//AD\,：.D\M//OB,OB=DiM,

所以四边形BMDi。为平行四边形，所以8M〃Oi。，

又因为OlOu面2i£）C,所以〃面81D1C,故选项。正确，

故选：D.

二.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9.（5分）（2021春•龙岩期末）设zi,Z2,Z3为复数，则（）

A.若Z1>Z2,则zi-Z2>0

B.若Z1Z2=Z2Z3，则Z1=Z3

C.若豆=Z1，则|Z1Z3|=|Z2Z3|

D.若Z1满足|zi|=l,则|Z1-21的最小值为1

【解题思路】根据已知条件，结合共筑复数的概念和复数模的求法，以及复数模的几何

意义，即可求解.

【解答过程】解：•••zi>Z2,

/.Zl-Z2>Z2-22=0,故A选项正确，

若Z1Z2=Z2Z3，则Z2(Z1-Z3)=0,当Z2=0,Z1#Z3时，等式也成立，故8选项错误,

•Z?二Z],

••Z?=Z］，

设zi=。+瓦,则Z2=Q-bi9

22

\zr\=\z2\=Va+b,

A|Z1||Z3|=|Z2||Z3|»即|Z1Z3|=|Z2Z3|，故C选项正确,

设zi=a+Z?i,(mZ?ER),

V|zi|=l,

・・・。2+庐=1,-

Azi-2=a-2+bi,

2222

A|z1-2|=/(a-2)+&=7(a-2)4-1-a=V5-4a,

•・・-

A|Z1-2|mE=V5-4=1,故。选项正确.

故选：ACO.

10.(5分)(2020•山东模拟)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红

球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4,A2和A3表示

由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙

罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()

A.P(B)=|

B.P(B|Ai)=/

C.事件B与事件4相互独立

D.Ai,AI,A3是两两互斥的事件

【解题思路】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键.本

题在4,A2,A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P(B)—P(B|Ai)P(4)

+P(B|A2)P(42)+P(8忸3)P(42),可知事件B的概率是确定的.

【解答过程】解：因为事件4,A2和小任意两个都不能同时发生，所以Ai,A2,凡是

两两互斥的事件，

因为P(&)=喘，P(4)=P(4)=赤

所以P(B|4i)=鬻，=誓=搐，

2434

px

P(B\AA_(^2)_Ton_±p(BlA)_P(B&)_TpX1T_"

p@2)一,一11，"⑷/)-p(&3)-3_

55243

P⑻=P(BM1)P(4Q+P(BM2)P/2)+P(B%)P(43)=6X1+WX》+)X

_4___9_

Tl=22,

P")=15,P(&)P(B)=\5x^9=9言,

所以P(4B)(4i)P(B),于是事件B与事件Ai不相互独立.

故选：BD.

11.(5分)(2021秋•湖北期末)在△ABC中，BD=ABC,AE=nAC,其中入€[0,1],

巧[0,1],8=申AB=4,BC=5,则()

A.当/I=凯1寸，A-D»=^2ATB+l^ATC

4

B-

5AB-BD=8

C.当〃=/时，|晶|=亭

a当=4QCE=7T-

6

TTTA

【解题思路】当入=百时,AD=AB+BD,再把BD用4B,4C表示可判断A；当入=今时,

△AB£＞是边长为4的等边三角形，由晶晶=|西•|晶|cosl20°可判断3；当产亨时,

45

当

u-时+-

BE(BA+BC),两边平方化简可判断C；,-9BE=$BC9BA,由向量

夹角公式可判断。.

【解答过程】解：当人=；时,AD=AB^BD=AB^BC=AB+4(盛-48)="B+

1—»

nAC,故A正确;

4T4

-时80=-

35\BC\=4=\AB\,所以△AB0是边长为4的等边三角形,

由/•BD=\AB\■|Sl)|cosl20o=-16x^=-8,故8错误;

11

2

=-

当|1=5时，BE=3(BA+BC),所以4-4<\BA\2+\BC\2+2BA-

BC)

=1(16+25+2X4X5Xcos60°)=%所以|函=粤■，故C错误;

4TT4TT

当

u=-H九aE-acT4TqT

-9=9可得BE=+押,

T4盛5T

^-B2

+=16x25,25x16.404c11200

^9-8^+^^+81X4X5X2=^

45

TT4T5T--X=

BEBA=(-BC+-BA),BA-916430

999

T—>

430

所以cosNABE=Bg__——,

\BA\-\BE\4x等2

因为OCNABEV与，所以NABE=$故。正确.

36

故选：AD.

12.（5分）（2021秋•珠海期末）如图，在直棱柱ABC。-AiBiGDi中，各棱长均为2,

NABC=*则下列说法正确的是（）

A.三棱锥4-ABC外接球的表面积为一n

3

B.异面直线AB\与BCi所成角的余弦值为工

2

C.当点M在棱8班上运动时，IMCI+IM41I最小值为245+

D.N是平面A8C。上一动点，若N到直线AA1与8c的距离相等，则N的轨迹为抛物

线

【解题思路】对于A,先求出外接圆半径r,再借助R2=（务2+「求外接球半径；对于B,

先通过平行转化异面直线所成的角，再借助余弦定理求解：对于C,借助平面展开图求

最小值；对于。，利用抛物线定义判断.

【解答过程】解:对于A,由题可知△ABC是边长为2的等边三角形,则外接圆半径r=意,

由R2=弓）2+1=［得外接球表面积为4述2=等，所以A选项正确.

对于B,连接。C1,因为所以NBCi。即为异面直线ABi与BCi所成角,

由题可知=CiD=2近,BD=26，

由余弦定理得B/）2=BCl+DCl-2BJ•DCiCOS乙BC、D,

所以cos/BCiD=*所以B选项错误.

对于C,分别将四边形AAiB山与。。山8沿着棱3溜展开得到四边形AAIDI。,

阳。|+附4|的最小值即为力。1=122+(2+2代产=2J5+2®所以C选项正确.

对于D,N到直线A4与直线BC的距离相等，

又24,441,N4即为N到直线A4的距离，

即N到点A直线8c的距离相等，根据抛物线的定义，所以。选项正确.

故选：ACD.

三.填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)

13.(5分)(2021•东莞市模拟)已知样本xi,X2,X3,,,,,沏方差5=2,则样本2xi+l,

2x2+1,2x3+1,…，2xn+\的方差为8.

【解题思路】根据题意，设样本XI,"，…，融方的平均数为a样本2XI+1,2x2+1.

2x3+1,…，2xn+\的平均数为7,方差为s'2,由平均数公式可得了=%(2X1+1)+

(2x2+1)+..+(2xn+1)]—2x+1,进而结合方差的计算公式可得s'2=三(2x1+1-

2222

2x-l)+(2x2+1-2x-l)+……+(2xn+l-2x-l)]=4s,计算即可得答案.

【解答过程】解：根据题意，设样本xi,xi,汨，…，X”方的平均数为土，方差为好=2,

样本2xi+l,2x2+1,2x3+1,…，2x〃+l的平均数为％，,方差为s'2,

样本XI，X2，无3，…，物方的平均数为元，则元=，(幻+%2+刈+…+%),

其方差为，=2,则有%(XI—元)2+(X2-X)2+……+(xn-x)2]=2,

对于样本2x]+l,2x2+1,2x3+1,…，2x〃+l,其平均数为X，,

-1

贝反'(2x1+1)+(2x2+1)+...+(2x„+l)]=2x+l,

其方差s'2=1[(2xi+l-2x-l)2+(2x2+1-2x-l)2+....+(2x„+l-2x-l)2]=4s2

=8,

故答案为：8.

14.(5分)(2021春•赣榆县校级期末)关于x的不等式-2V0解集为(-1,2),

若复数zi=m+2i,z2=cosa+zsina,且zfz2为纯虚数，则tan2a=-g.

【解题思路】根据不等式的解集可得所对应方程的根，将根代入方程可求出，〃的值；利

用复数的乘法法则将zi•及化成标准形式，根据纯虚数的概念建立等式，可求出tana的

值，最后利用二倍角公式可求出所求.

【解答过程】解：•.•不等式2Vo解集为（-1,2）.

2是方程^+mx-2=0的两个根，则4+2机-2=0,解得m=-1

z\*z2=(-cosa-2sina)+(-sina+2cosa)，为纯虚数,

1

/.-cosa-2sina=0,tana=一彳

,,2tana

•.tan2a=--------o—=—

l-tan£a

故答案为：_寺.

15.（5分）（2021秋•广西期末）已知在△A8C中，角A,B,C的对边分别是〃，b,c.

若△ABC的面积为2,AB边上中线的长为遮.S.b=acosC+csinA,则外接圆的面

积为2n或5R.

【解题思路】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简先求出A,然后结合三角形面

积公式及余弦定理求出。，c,再由正弦定理求出外接圆半径，进而可求圆的面积.

【解答过程】解：因为Z?=acosC+csinA,

由正弦定理得，sin8=sinAcosC+sinCsinA=sin（4+C）=sinAcosC+sinCcosA,

所以sinCsinA=sinCcosA,

因为sinOO,

所以sinA=cosA,即tanA=1,

由A为三角形内角得，A=?

△ABC的面积S=±〃csinA=争7c=2,

所以6c=4々①，

设。为A8边上的中点，

△AOC中，由余弦定理得，A/2=炉+（J_2b.E・COS“

所以炉+96②，

①②联立得，忆册或忆产

当｛，二时，由余弦定理得，a2=b2+c2--2/>ccosA=4+8-2x2x2-y2x~=4,

所以a=2,

由正弦定理得，2/?=急=2近，BPR=V2,

此时448。外接圆的面积2m

当［b=也时,由余弦定理得，a2^b2+c2-2Z>ccosA=2+16-2x4xV2x=10,

lc=4/

所以a=VTO,

由正弦定理得，27?=号=2而，即/?=遥,

SlllrX

此时aABC外接圆的面积57T.

故答案为：2ir或5n.

16.（5分）（2021春•赤峰期末）如图，在棱长为2的正方体ABC。-AiBiCiDi中，P为

线段上的动点（不含端点）,则下列结论正确的是①②④.

①平面A1D1尸，平面BB1P；

@DC11PC；

③NAPOl的取值范围是g,7T）；

4

④三棱锥Ci-DiPC的体积为定值一.

3

【解题思路】利用平面与平面垂直判断①；直线与平面的位置关系判断②；当点P为线

段A山的一个四等分点且靠近点8时，由余弦定理可得NAP。〈色从而判断③；求出

三棱锥的体积判断④.

【解答过程】解：对于①，因为几何体是正方体，所以平面AAiBiB,AiDiu平面

A\D\P,

所以平面A1O1PJ•平面BBiP,故①正确；

对于②，在正方体ABC。-AiBiCiDi中，PCu对角面4BCO,

所以。C1LPC,故②正确;

对于③，当点P为线段4B的一个四等分点且靠近点8时,

计算可得AP=^^,D\P=AD\=2版,

2225.17-82

由余弦定理可得cosZAPDi=AP2^~pP12+2B.=_j_〉o

2x平x乎一南

此时NAP。故③错误;

对于④，因为△D1C1C的面积是定值S=^x2X2=2,

点P到平面£>1C1C的距离是定值BC=2,

所以三棱锥Ci-C1PC的体积为定值V=|x2X2=|,故④正确.

故答案为：①②④.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）（2021秋•镇海区校级期末）在如图所示的平面图形中，已知OM=1,ON=

2,BM=2MA,CN=2NA,求：

(1)设辰1=xOM+yON,求x+y的值;

TCn

（2）若血〃小，且V。》，ON>E[6'?,求/•北的最小值及此时的夹角VOMON

【解题思路】（1）由向量的减法法则知/=启-/，结合题意和平面向量共线定理,

即可求得辰1=-30为+3加，得解；

（2）设&=入0京，。=<0M,0N>,根据平面向量加法法则和平面向量共线定理可得

=（3-A）OM-30N,再结合平面向量数量积，可将六•见?表示成关于人的函数，

然后根据二次函数和余弦函数的性质，即可得解.

【解答过程】解：（1）因为BM=2MA,CN=2NA,

所以或=AC-AB=3AN-3AM=3MN=3（ON-OM）=-30M+30N,

所以x=-3,y=3,

所以x+y=O.

…TTTTTCTC

（2）设（L4=2lOM,0=<0M,ON>G［->

则/=AC+CB=-XOM+3（OM-ON）=（3-入）OM-3ON,

所以灿•前=［（3-入）OM-3tWp（-入。］）=-入（3-入）。为2+3入届•前

=(A2-3入)|。"|2+3入|。“卜|。阳0«8=入2-3入+6入85。=入2+(6cos6-3)入,

当人=一生等二1时,入2+（6cos0-3）人取得最小值，为_（6COS；-3）,

又6日，，卞，所以6cos0-310,36一3],所以一酗亭充日史等^,0],

—9yf3—18—tTC

所以4BJC的最小值为------，此时VOM,ON＞为一.

26

18.（12分）（2021春•广陵区校级期末）已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|.

（1）求|才;

（2）是否存在实数〃?，是二+”为实数，若存在，求出加值；若不存在，说明理由；

mz

（3）若（1-2z）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z.

【解题思路】（1）由题意设z=x+），i（x,）ER且yr0）,由复数的模和条件列出方程化

简即可；

•7TTI

（2）先化简一+一整理出实部、虚部，根据实数的充要条件列出方程，结合题意和（1）

mz

的结论求出m的值;

（3）化简（1-2z）z整理出实部、虚部，根据条件列出关系式，代入|z|对应的方程求出

x、y,即可求出复数z.

【解答过程】解：⑴设z=x+yi（%,）€R且yWO）,

由|2z+5|=|z+10|得：（2%+5）2+4/=（x+10）2+/

化简得：/+/=25,所以|z|=5.…（4分）

zmxmxmy

(2)•・•一+一=(^+^^)+e

mzER‘

m

...—y———y-=on，

mx乙+*

1Tn

又yWO且加2+〃2=25,/.———=0,解得机=±5.…(8分)

m25

(3)由(1-2z)z=(1-2/)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i及已知得：x+2y=y-2x,

'/io>/To

X=X=~~

2

即y=-3x,代入=25解得：3^或，

3国

、y=

7=--~^r~

故z=^一嘤减z=—乎+空i.…（14分）

19.（12分）（2021秋•普宁市期末）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期

培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为8类工人）.现用分层

抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生

产能力（生产能力指一天加工的零件数）.（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？

（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2

表1:

生产能力分组[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人数4853

表2：

生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人数6y3618

①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中

个体间的差异程度与8类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察

直方图直接回答结论）

②分别估计4类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平

均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

8o36

8o2

6o3S

O4

O2O

So6

1?

6ol~

6oS

5(xo4

o<。

图Id类工人生产能力的频率分布直方图肆麋工人生产能力的频率分布直方图

【解题思路】（1）先计算抽样比为L,进而可得各层抽取人数.

10

（2）①A类、B类工人人数之比为250：750=1：3,按此比例确定两类工人需抽取的人

数，再算出x和y即可.画出频率分布直方图，从直方图可以判断：8类工人中个体间的

差异程度更小②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数

【解答过程】解：（1）由已知可得：抽样比％=盖=表，

故A类工人中应抽取：250x==25人，

8类工人中应抽取：750X日=75人，

（2）①由题意知4+8+x+5=25,得x=5,

6+）叶36+18=75,得y=15.

满足条件的频率分布直方图如下所示：

6o36

6o3T

6o-

2-

o2S

o24

6O1O

16

602

60S

801^4

0<

o100110120130140

图14类工人生产能力的频率分布直方图即联工人生产能力的频率分布直方图

从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小.

②石=.x105+.x115+言x125+言x135+.x145=123,

豆=羌工115+岩X125+^x135+^x145=133.8

2575

=wx123+wXl33-8=133J

4类工人生产能力的平均数,8类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均

数的估计值分别为123,133.8和131.1

20.(12分)(2021秋•武侯区校级期末)口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球

的编号分别为1,2,3,4,甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编

号分别为a,b,c.

(1)在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两

人成为“好朋友”的概率：

(2)求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率.

【解题思路】(1)将甲、乙依次取到小球的编号记为(a,b-),利用列出法求出基本事

件个数和甲、乙两人成为好朋友包含的情况种数，由此能求出甲、乙两人成为“好朋友”

的概率.

(2)将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为(a,6,c),求出基本事件个数，利用列

举法求出丙抽取的编号能使方程〃+b+2c=6成立包含的基本事件个数，由此能求出抽取

的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率.

【解答过程】解：(1)将甲、乙依次取到小球的编号记为(a,%),

则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M,则M包含的情况有：

(1,I),(2,2),(3,3),(4,4),共4个人，

41

--

故甲、乙两人成为“好朋友”的概率为尸(M)4

16

(2)将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为(a,b,c),

则基本事件有"=4X4X4=64个，

记“丙抽取的编号能使方程a+什2c=6成立”为事件M

当丙抽取的编号c=l时，a+b=4,

：.(a,b)分别为(1,3),(2,2),(3,D,

当丙抽取的编号c=2时，a+》=2,(a,6)为(1,1),

当丙抽取的编号c=3或c=4时，方程a+Z?+2c=6不成立.

综上，事件N包含的基本事件有4个，

63)=44=七1

21.(12分)(2021春•庐阳区校级期末)在①=a(sinC+V5cosC)；②2“cosA=

bcosC+ocosB,@acosC+^c=h,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解

答补充完整的题目.

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.

(1)求角A；

(2)设△ABC的面积为S,若。=代，求面积S的最大值.

【解题思路】(1)首先任选择一个条件，然后根据正弦定理进行边角互化，再根据三角

恒等变换，化简