抛物线的几何性质教学案

2.7.2抛物线的几何性质(1)

教材分析

本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课

主要学习抛物线的简单几何性质

《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修27第二章第四节的内容。本节课是在是在学习了

椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重

要内容，也是高考的重点与热点内容。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.运动变

化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教

学.

骸学目标与被心素养

课程目标学科素养

A.掌握抛物线的简单几何性质.1.数学抽象：抛物线的几何性质

2.了解抛物线几何性质的简单应用.2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质

3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的

3.数学运算：运用抛物线的方程推导其几何性质

几何性质的异同.

4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用

重点难点

重点：抛物线的简单几何性质

难点：抛物线几何性质的简单应用

课前发备

多媒体

敢学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、创设问题情境

前面我们由椭圆和双曲线的方程，讨论了它们的几何性质，下面

我们继续通过抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质。

通过，类比椭圆

.L和双曲线的几何性

''';

ok质的学习过程，学习

抛物线的几何性质。

已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务：发展学生数学抽象、

数学运算、直观想象

(1)已观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平

的核心素养。

面直角坐标系中的位置特征；

(2)指出抛物线C是否具有对称；

(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐

标；

2

抛物线y=2px(p>0)①的几何性质

四方程》2=即*3>0)”『欠1.2/zrmo.乂因为

/»<).所以X三O.内此，除顶点夕卜.抛物线

厂1池1同1-----------匕的」匕余点都在》轴的Yf侧.为夕卜.、耳X无

限增大日寸Jy|也无限地天，这说叨抛物线向

右1方和右下方无限延伸.此H寸，称抛物线

的开口向彳「(破期彳)

加1米(x,»)是方程y2=2/)X(/)>O)的一2且角牛.贝II

不难看(-―”也是方程的俯.这说明抛

JLT对称件1——

物线CK于大铀对称.d匕口寸，称“釉足抛物纹

何—的对称。由(笳称釉).

性

质

在方程产=4次中.3=O.彳导x=O；令x=O,

T顶点1-----------彳妙=o.“r知拢i物线釉、v铀邢相交于原

点(0,0).此口寸.称原点坦抛物线的顶点.

地物线1•.的点到热点;的町闵1到J7作线的昨

J居心率|----

雨之比称为她14勿线的离心率•月Je表示.根加

抛物线的定义nJ•知.她物线的网心率e=J_.

如果抛物线的标准方程是

y2=-2px(p>0),②

x2=2py[p>0),③

x2=-2py(p>0),4

那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪

些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？

抛物线四种形式的标准方程及其性质

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py通过抛物线凡何

标准方程

(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)性质的讨论，进一步

yy\J

1/体会数形结合的思

图形k0

7X想方法。发展学生数

学运算，数学抽象和

范围xN0,y£Rx<0,yeRy>0,xeRy<0,xeR

对称轴X轴X轴y轴y轴数学建模的核心素

养。

2222

标准方程y=2pxy=-2pxx=2pyx=-2py

(p>0)(P>0)(P>0)(P>0)

焦点坐标9)F（一夕.0）F（。有F(0._f)

准线方程工=包y=y=4

22-iy2

顶点坐标0(0,0)

离心率e=l

L对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，

其共同点：（1）顶点都为原点；

（2）对称轴为坐标轴；

⑶准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的

距离都等于一次项系数的绝对值的;;

（4）焦点到准线的距离均为p.

2

其不同点：（1）对称轴为X轴时，方程的右端为以外，左端为y;对称轴为

），轴时，方程的右端为地9,左端为；（2）开口方向与x轴（或y轴）的正

半轴相同,焦点在x轴（或.V轴）的正半轴上,方程的右端取正号;开口方

向与X轴（或y轴）的负半轴相同，焦点在X轴（或），轴）的负半轴上，方

程的右端取负号.

2.只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.

1.判断

（1）抛物线关于顶点对称.（）

（2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.（）

（3）抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.（）

答案:（l）x（2）V（3）4

2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方

向？

解析:一次项的变量若为M或历,则x轴（或，轴）是抛物线的对称轴,一

次项系数的符号决定开口方向.

如果y是一次项，负时向下，正时向上.

如果X是一次项，负时向左，正时向右.

通过典型例题，

3.以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长

熟练掌握根据几何

为8,若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（）

条件求抛物线的方

22

A.y=8xB.y=-8x法，提升学生数学建

2222

C.y=8x或y=-8xD.x=8y或x=-8y模，数形结合，及方

22程思想，发展学生逻

解析:设抛物线方程为y=2内（/»0）或y=-2/»（p>o）,依题意得x音代

辑推理，直观想象、

222

入y=2px或y=-20工得仅|=0,二2仅|=20=8,0=4.二抛物线方程为丫=舐数学抽象和数学运

2

或y=-8x.算的核心素养。

答案:c

问题思考

（1）掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们

分别指的是什么？

提示「两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对

称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.

(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些？

提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称

轴和一条准线.它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆

和双曲线为有心圆锥曲线.

二、典例解析

例1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，

又抛物线经过点M(-4,2g),求这个抛物线的标准方程。

解：根据已知条件可设抛物线的标准方程为

y2=-2px(p>0),因为点M(-4,2百)在抛物线上，所以

(2V3)=-2px(-4),因此2P=3,从而可知所求方程为

y2=-3x

2

跟踪训练1.设抛物线y=mx(m翔)的准线与直线y=1的距离为3,求

抛物线的标准方程.

错解:由y=mx\m川)可知其准线方程为丫=三.由题意知q=2解得

m=8.故所求抛物线的标准方程为y=8x：

错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛

物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得

到准线方程为y=-不

二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，

只得到了一个解.

正解y=mx2(m#0)可化为x2=\y,其准线方程为y=-七.由题意知-熹=-2

或会=4,解得m=［或m=-^,

故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.

2

例2抛物线y=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的

最小值是__________.

解析:如图所示，

设此抛物线的焦点为F(1,O),准线l:x=-l.

过点P作PMJJ,垂足为M.

则|PM|=|PF|.

设Q((),3),因此当F.P.Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值

22

(|PF|+|PQ|)min=|QF|=V3+I=VW.

即|PM|+|PQ|的最小值为g.

答案:

2

例3求抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.

2

解:方法一:设A(t,-t)为抛物线上的点，

则点A到直线4x+3y-8=0的距离

d=中=中井(局M+8]4(闻2+3

2

+*所以当t=：时,d有最小值?

方法二:如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为

4x+3y+m=0,由&=#,n

;(4x+3y+m=0,

消去y得3x2-4x-m=0,/•A=16+12m=0,**.m=-^.

|-8+斗史

故最小距离为1=卷=:4

I

\\4x+^-8=0

X|V

L求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路：

一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的

代数式，以计算函数最值来解决.

二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.

2.建立形与数的联系，提升数形结合的能力，有利于优化解题的方式与

方法.

跟踪训练2已知P为抛物线y=；x2上的动点,P在x轴上的射影为H,

点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是()

A.13B.12C.llD.10

解析:化抛物线y=；x2为标准形式xMy,

得它的焦点为F(o,l),准线为l:y=-l,

延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义，得

yr-

|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,

V|PA|+|PF|>|AF|,

•••当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.

V|AF|=J122+(6-1)2=13,

；.|PA|+|PH|的最小值为13-1=12.

答案:B

三、达标检测

1.若抛物线的焦点到准线的距离为2,则〃?=()

通过练习巩固本

A4C.3国

节所学知识，通过

解析:抛物线的标准方程为声曰,焦点到准线的距离为岛学生解决问题，发

展学生的数学运

由已知得白卜2廨得”号.

算、逻辑推理、直

答案:D

观想象、数学建模

2.已知抛物线y=4*2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为

的核心素养。

()

371517

AqB*C,-D,-

解析:根据抛物线方程可求得焦点坐标为(o,，准线方程为y二喜，根

据抛物线定义,•••»&=1.解得yp=^.

Io1O

答案:c

222

3.若点P在抛物线上点。在圆M:(x-3)+y=1上，则仍。|的最小

值是()

A.&B.票]C.2D亨1

解析:将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设。(必,师),由

(x-3)2+V=l可知圆心坐标为M(3,o),半径r=l,则

-M=J(M-3)2+犬=J(苏沙5%+9=J(y2-|)2+*因此的

最小值为亨，从而IPQ的最小值为4-1.故选D.

答案:D

4.已知抛物线C：r=4x的焦点为F,准线为l,P是/上一点是直线PF

与C的一个交点，若丽=3无厕|QF|=_________

解析:设。到/的距离为4则由抛物线的定义可得1。/1=4

•：QP=3QF,：.\QP\=3d,：.直线PF的斜率为i2

•1(1,0),准线/：x=-l,.•.直线PF的方程为y=±2V2(x-l),

与)?=4x联立可得x=[(舍)或x=2,.\|。尸|=2+1=3.

答案：3

t

2

5.已知抛物线y=8x.

(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；

(2)以坐标原点0为顶点，作抛物线的内接等腰三角形

04氏|。4|=|。8|,若焦