2024年高考数学三轮冲刺训练平面向量含解析

平面对量1.平面对量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等学问相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的实力．难度为中等或中等偏易.1、向量共线定理假如有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，假如b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.2、平面对量基本定理（1）平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面对量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.3、平面对量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上随意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面对量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示全部向量）4、向量数量积运算，其中为向量的夹角5、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，其中：同向：反向：6、数量积运算法则：（1）交换律：（2）系数结合律：（3）安排律：7、平面对量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.8、平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.1、推断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种状况.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法；2、向量法；1、已知向量a，b满意，，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D．2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，的模为2，依据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．3、已知非零向量a，b满意，且b，则a与b的夹角为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．4、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．−3 B．−2C．2 D．3【答案】C【解析】由，，得，则，．故选C．5、在中，为边上的中线，为的中点，则A． B． C． D．【答案】A【解析】依据向量的运算法则，可得，所以.故选A.6、设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.7、已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．8、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.9、已知正方形的边长为2，点P满意，则_________；_________．【答案；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.10、已知平面单位向量，满意．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案为：.11、已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，，所以，所以．12、在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，，所以.所以.13、如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．【答案】.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．，，得即故14、已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是___________；最大值是___________．【答案】0；.【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则,令0.又因为可取遍，所以当时，有最小值.因为和的取值不相关，或，所以当和分别取得最大值时，y有最大值，所以当时，有最大值.故答案为0；.一、单选题1、已知向量满意，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，且，∴，∴.故选：D.2、已知向量，若，则（）A．1或4 B．1或 C．或4 D．或【答案】B【解析】由题意，向量，可得，因为，则，解得或.故选：B.3、已知向量满意，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，①，②①②，可得，解得，所以.故选：C4、已知向量满意，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将，，两边同时平方，求出，进而可求出结果.【详解】，①，②①②，可得，解得，所以.故选：C5、如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，，，所以，所以.因为，所以.故选：D6、如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】连接,则,在中，由余弦定理得：.所以.故选：C7、已知向量，，则面积的最大值为（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】，,，其中，故，，故当时，即时，取最大值为.故选：C.8、已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，建立平面直角坐标系，则.设，则，故，即的取值范围是.故选：A9、如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则（）A．1 B． C．3 D．【答案】B【解析】因为，为的中点，，所以，，则为等边三角形，所以，又，所以，则，因为，，所以，即为直角三角形，所以，因此.故选：B.10、已知为等边三角形，，所在平面内的点满意，的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，，由平面对量模的三角不等式可得.当且仅当与方向相反时，等号成立.因此，的最小值为.故选：C.多选题11、已知向量则（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由题意可得.因为，所以，则A正确，B错误；对于C，D，因为，所以，则C错误，D正确.故选：AD.12、已知向量，，，设，所成的角为，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】向量，由，可得即，解得，所以A正确.，所以又，所以，所以D正确,C不正确.,则，故B正确.故选：ABD13、已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为【答案】BCD【解析】由题E为AB中点，则，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，，设，∥，所以，解得：，即O是CE中点，，所以选项B正确；，所以选项C正确；因为，，所以选项A错误；，，在方向上的投影为，所以选项D正确.故选：BCD14、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；∵，∴，∴，又F为AE的中点，∴，B对；∴，C对；∴，D错；故选：ABC．15、已知向量，，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若取得最大值时，则D．的最大值为【答案】ACD【解析】A选项，若，则，即，故A正确．B选项，若，则，则，故B不正确．C选项，，其中.当取得最大值时，，即，，故C正确.D选项，，当时，取得最大值为，所以的最大值为，故D正确.故答案为：ACD16、已知向量，则（）A． B．C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是【答案】AB【解析】对于A:，故A正确；对于B:，故B正确；对于C:向量在向量上的投影是，故C错误；对于D:向量的单位向量是和，故D错误．故选：AB．17、对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（）A．B．C．过点的直线交于，若，，则D．与共线【答案】ACD【解析】如图，设AB中点为M,则,,故A正确；等价于等价于,即，对于一般三角形而言，是外心，不肯定与垂直，比如直角三角形中，若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；设的中点为,则，∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；,与垂直,又,∴与共线，故D正确.故选：ACD.填空题18、已知向量满意，，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.19、若则向量与向量夹角的大小是_______.【答案】【解析】由得20、若非零向量、,满意,,则与的夹角为___________.【答案】【解析】设与的夹角为，由题意,,，可得，所以，再由可得，，故答案是.21、