高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题含答案

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，试求：（1）数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0解：（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作差得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为正数数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（Ⅰ）求首项SKIPIF1<0与通项SKIPIF1<0；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,SKIPIF1<0=eq\f(3,2)SKIPIF1<0eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－SKIPIF1<0)<eq\f(3,2)二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，前n项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列．设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴公比SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（利用等比数列前n项和的模拟公式SKIPIF1<0猜想）∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0 （I）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（II）若数列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；（Ⅲ）证明：SKIPIF1<0. （I）解：SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公比的等比数列 SKIPIF1<0即SKIPIF1<0 （II）证法一：SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0① SKIPIF1<0② ②－①，得SKIPIF1<0 即SKIPIF1<0SKIPIF1<0 ③－④，得SKIPIF1<0 即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列 （III）证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<02．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以数列SKIPIF1<0为递增数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0解：（1）在条件中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由条件SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，上述两式相减，注意到SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0练习：1.（08南京一模22题）设函数SKIPIF1<0，已知不论SKIPIF1<0为何实数，恒有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.对于正数列SKIPIF1<0，其前n项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(Ⅰ)求实数b的值；（II）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（Ⅲ）若SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小并证明之.解：(Ⅰ)SKIPIF1<0（利用函数值域夹逼性）；（II）SKIPIF1<0；（Ⅲ）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<02.（04全国）已知数列SKIPIF1<0的前项和SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）写出数列SKIPIF1<0的前三项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）证明：对任意的整数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：SKIPIF1<0（n>1）化简得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0故数列{SKIPIF1<0}是以SKIPIF1<0为首项,公比为SKIPIF1<0的等比数列.故SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴数列{SKIPIF1<0}的通项公式为：SKIPIF1<0.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=SKIPIF1<0，如果我们把上式中的分母中的SKIPIF1<0去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，可将SKIPIF1<0保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对SKIPIF1<0进行分类讨论，（1）当SKIPIF1<0为偶数SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0是奇数SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0所以对任意整数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.（07武汉市模拟）定义数列如下：SKIPIF1<0求证：（1）对于SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0成立；（2）当SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立；（3）SKIPIF1<0分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0……SKIPIF1<0以上各式两边分别相乘得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）要证不等式SKIPIF1<0，可先设法求和：SKIPIF1<0，再进行适当的放缩。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。用放缩法处理数列和不等问题（学生版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，试求：（1）数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（Ⅰ）求首项SKIPIF1<0与通项SKIPIF1<0；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，前n项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列．设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0 （I）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（II）若数列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；（Ⅲ）证明：SKIPIF1<0. 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<03．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPI