（初中教案）九年级春季班第4讲：创新题型-教师版

（初中教案）九年级春季班第4讲：创新题型--教师版（初中教案）九年级春季班第4讲：创新题型--教师版/（初中教案）九年级春季班第4讲：创新题型--教师版创新题型创新题型知识结构知识结构模块一：模块一：定义应用例题解析例题解析定义[x]为不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[]=．对于任意实数x,下列式子错误的是()A．[x]=x(x为整数) B．C． D．(n为整数)【难度】★★【答案】C．【解析】由反例,可知C错误．【总结】本题考查取整函数[x]的定义及应用．在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和Q(x,),给出如下定义：若,则称点Q为点P的"可控变点”．如果点(,)为点M的可控变点,则点M的坐标为___________．【难度】★★【答案】(-1,2)【解析】由题意得,当时,,且不变,所以当,时,即点坐标为(,2)．【总结】把握好"可控变点”的定义,找出与两者之间存在的关系．定义一种新运算：,如,则______．【难度】★★【答案】0．【解析】先计算,再计算．【总结】根据运算法则进行运算,注意运算顺序．已知,,若规定,则y的最小值为()A．0 B．1 C． D．2【难度】★★【答案】B．【解析】把,代入,得到,当时,;当时,．所以的最小值是1,故选B．【总结】考查分段函数求最值的问题．(2015学年·浦东新区二模·第17题)定义运算"*”：规定(其中a、b为常数),若,,______．【难度】★★【答案】4．【解析】把,代入运算法则,得,解得：,所以2×1+1×2=4．【总结】根据新运算,求出a、b的值是解答本题的关键．(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第17题)对于实数m、n,定义一种运算"*”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根,那么满足条件的实数a的值是______．【难度】★★【答案】0．【解析】根据运算法则,,,整理得,此方程有两个相等的实数根,则,解得：(舍),所以a=0．【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式,再结合一元二次方程根的判别式进行求解,注意二次项系数不能为零．(2014学年·宝山区、嘉定区二模·第17题)我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图,在和中,,点D在边BC的延长线上,如果BC=DC=3,那么和的外心距是______．CABCABD【答案】3．【解析】直角三角形的外心为斜边的中点,所以和的外心分别为和的中点,这两个三角形的外心距即的中位线,长度是．【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．(2014学年·虹口区二模·第17题)定义[a,b,c]为函数的"特征数”．如：函数的"特征数”是[1,3,],函数的"特征数”是[0,,4]．如果将"特征数”是[2,0,4]的函数图像向下平移3个单位,得到一个新函数图像,那么这个新函数的解析式是__________________．【难度】★★【答案】．【解析】由题意得"特征数”是[2,0,4]的函数解析式为,向下平移3个单位可得新函数的解析式为：．【总结】特征数[a,b,c]即为二次函数的三个系数,已知特征数则可求得二次函数的解析式,再根据抛物线的平移法则"上加下减、左加右减”进行解题．(2015学年·闸北区二模·第17题)在平面直角坐标系xOy中,的半径为r,点P是与圆心C不重合的点,给出如下定义：若点为射线CP上一点,满足,则称点为点P关于的反演点．如图为点P及其关于的反演点的示意图．请写出点M(,0)关于以原点O为圆心,以1为半径的的反演点的坐标．xyP'CxyP'CPO【答案】(2,0)．【解析】由反演点的定义可得,即,解得：,又点在轴上,所以点的坐标为(2,0)．【总结】掌握"反演点”的定义中,两点之间存在的关系．(2014学年·普陀区二模·第17题)如图1,对于平面上不大于90°的,我们给出如下定义：如果点P在的内部,作,,垂足分别为点E、,那么称PE+PF的值为点P相对于的"点角距离”,记为d(P,)．如图2,在平面直角坐标系xOy中,点P在第一象限内,且点P的横坐标比纵坐标大1,对于,满足d(P,)=5,点P的坐标是__________．图1图2图1图2【答案】(3,2)．【解析】过点分别作⊥轴,⊥轴,∵点P在第一象限内且横坐标比纵坐标大1,∴设=,则=+1,∵d(P,)=5,可得：+=5,即++1=5,解得：=2,所以点的坐标为(3,2)．【总结】本次考查"点角距离”的定义,利用定义求解相关点的坐标．模块模块二：阅读理解例题解析例题解析一组数1,1,2,x,5,y,…,满足"从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为______．【难度】★【答案】8．【解析】由题得,=1+2=3,=3+5=8．【总结】本题难度不大,运算也比较简单．四个数a、b、c、d排列成,我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：．若,则x=______．【难度】★★【答案】1．【解析】由运算法则得,整理得：,解得：=1．【总结】由运算法则整理,再解关于的方程即可．对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号,表示a、b中的较大值,如：,,按照这个规定,方程,的解为()A． B．C．或 D．或【难度】★★【答案】D．【解析】当>0时,,解方程,得：,所以;当<0时,,解方程,得：,所以;综上,或,故选D．【总结】本题注意分类讨论,根据定义进行取值,再解关于的方程．(2014学年·奉贤区二模·第17题)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的"内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2,"内角正度值”为45°,那么该三角形的面积等于______．【难度】★★【答案】1或2．【解析】设最小角为,则最大角为,当顶角为,则,解得：,此三角形为等腰直角三角形,∴此三角形的面积=;当顶角为时,则,解得：．如图,,,作⊥,在,∵,∴,∴此三角形的面积=．综上所述,该三角形的面积等于1或2．【总结】本题注意分类讨论．根据"内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数,再进行面积的求解．(2013学年·松江区二模·第17题)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为"有趣三角形”,这条中线称为"有趣中线”．已知,,较短的一条直角边边长为1,如果是"有趣三角形”,那么这个三角形"有趣中线”长等于．【难度】★★【答案】．【解析】"有趣中线”有三种情况：若"有趣中线”为斜边上的中线,直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等,不合题意;若"有趣中线”为边上的中线,根据斜边大于直角边,矛盾,不成立;若"有趣中线”为另一直角边上的中线,如图所示,=1,设,则．在中,勾股定理得1+,解得：=,所以=2=．【总结】本题考查"有趣中线”的定义,注意分类讨论．(2015学年·崇明县二模·第17题)如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分,那么称这样的平行四边形为"协调平行四边形”,称该边为"协调边”．当"协调边”为3时,它的周长为______．【难度】★★【答案】8或10．【解析】由题意可知,存在两种情况：(1)一组邻边长分别为3和1,周长=8;(2)一组邻边长分别为3和2,周长=10．【总结】本题考查"协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．(2015学年·虹口区二模·第17题)设正n边形的半径为R,边心距为r,如果我们将的值称为正n边形的"接近度”,那么正六边形的"接近度”是______(结果保留根号)．【难度】★★【答案】．【解析】设正六边形的边长为,则半径为R=,边心距为r=,所以=．【总结】本题考查"接近度”的定义及正六边形的性质．(2013学年·静安区二模·第16题)将关于x的一元二次方程变形为,就可将表示为关于x的一次多项式,从而达到"降次”的目的,我们称这样的方法为"降次法”．已知,可用"降次法”求得的值是____________．【难度】★★【答案】1．【解析】由,得,代入=．【总结】本题运用"降次”及"整体代入”的思想进行解题．(2014学年·金山区二模·第17题)在平面直角坐标系中,我们把半径相等且外切、连心线与直线y=x平行的两个圆,称之为"孪生圆”;已知圆A的圆心为(,3)半径为,那么圆A的所有"孪生圆”的圆心坐标为_________．【难度】★★【答案】(0,5)或(-4,1)．【解析】由题意得,连心线所在直线为,因为两圆外切,设另一圆心为圆,所以圆心距,设,所以,解得：,,所以圆心的坐标为(0,5)或(-4,1)．【总结】本题考查了"孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．(2013学年·黄浦区二模·第17题)当两个圆有两个公共点,且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时,我们称此两圆的位置关系为"内相交”．如果、半径分别3和1,且两圆"内相交”,那么两圆的圆心距d的取值范围是___________．【难度】★★【答案】．【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交,可得,当小圆的圆心恰好在大圆上时,,所以内相交的圆心距d取值范围是．【总结】本题考查圆与圆的位置关系及"内相交”的定义．

模块模块三：规律探究例题解析例题解析观察下列各数：1,,,,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为()A． B． C． D．【难度】★★【答案】C．【解析】根据题意,可知规律为,故第6个数为：,化简为,故选C．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．按一定规律排列的一列数：,,,,,,…．若x、y、z表示这列数中的连续三个数,猜测x、y、z满足的解析式是____________．【难度】★★【答案】．【解析】由给出的这一列数字,可得出规律：从第三个数字开始,每个数等于它两个数的乘积,所以．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．在平面直角坐标系中,有三个点A(1,)、B(,)、C(0,1),点P(0,2)关于点A的对称点为,关于点B的对称点为,关于点C的对称点为,按此规律,继续以点A、B、C为对称中心重复前面的操作,依次得到点,,,…,则点的坐标为()A．(0,0) B．(0,2) C．(2,) D．(,2)【难度】★★【答案】C．【解析】由题意得(2,4)、(4,2)、(4,0)、(2,2)、(0,0),(0,2),每6个数形成一个周期,2017÷6=336……1,所以的坐标和的坐标相同,故选C．【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为,…,按照此规律继续下去,则的值为_____________．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意得=2×2=4=22,=,==20,……DCAB由以上规律,可知=2-2014DCAB【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．随堂检测随堂检测定义：如果二次函数(,、、是常数)与(,、、是常数)满足,,,那么称这两个函数互为"旋转函数”．若函数与互为"旋转函数”,则________．【难度】★★【答案】-1．【解析】由"旋转函数”的定义得,解得：,所以(1)2017=1．【总结】本题考查"旋转函数”的定义．(2013学年·虹口区二模·第17题)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为"好玩三角形”．在中,,若是"好玩三角形”,则tanA=_______．【难度】★★【答案】或．【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,因此斜边上的中线不满足;故只能是直角边上的中线等于此直角边的长,如图所示,设=2,=,则,在中,=2,．当为较小锐角时,;当为较大锐角时,．【总结】本题考查"好玩三角形”的定义,注意分类讨论．(2013学年·杨浦区二模·第17题)我们把四边形两条对角线中点的连线段称为"奇异中位线”．现有两个全等三角形,边长分别为3cm、4cm、5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形,如果凸四边形的"奇异中位线”的长不为0,那么"奇异中位线”的长是______【难度】★★【答案】．【解析】如图,将两个全等的直角与的斜边与重合,拼成凸四边形,与交于点O,为的中点．∵△≌△,易证⊥．在中,=•=,因为,所以．即奇异中位线的长是．【总结】本题考查了"奇异中位线”的定义,注意根据题目要求画出合适的图形．(2014学年·崇明县二模·第17题)如果一个二次函数的二次项系数为1,那么这个函数可以表示为,我们将[p,q]称为这个函数的特征数．例如二次函数的特征数是[,2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2,3],将的特征数为______．【难度】★★【答案】[6,8]．【解析】特征数是[2,3]的二次函数为,即,将其,即,所以特征数为[6,8]．【总结】本题考查了"特征数”的定义及二次函数图像的平移．图1图2(2014学年·黄浦区二模·第18题)如图1,点P是以r为半径的圆O外一点,点在线段OP上,若满足,则称点是点P关于圆O的反演点．如图2,在中,,AB=2,BO=4,圆O的半径为2,如果点、分别是点A、B关于圆O的反演点,那么的长是______．图1图2【难度】★★★【答案】．【解析】由反演点的定义,可知：,,则,即,又,可证∽,∴,即,解得：=．【总结】本题考查了"反演点”的定义,以及相似三角形的判定与性质．正方形,,,…,按如图所示的方式放置．点,,,…和点,,,…,分别在直线()和x轴上,已知点(1,1),(3,2),则点的坐标是__________,点的坐标是__________．xyO【难度】★xyO【答案】(63,32),．【解析】由(0,1)、(1,2),可求得直线解析式为．可求得(3,4)、(7,4),(7,8)、(15,8),(15,16)、(31,16),(31,32)、(63,32),……,按照此规律可得．【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．课后作业课后作业(2014学年·浦东新区二模·第17题)对于函数,我们称[a,b]为这个函数的特征数．如果一个函数的特征数为[2,],那么这个函数图像与x轴的交点坐标为_______．【难度】★★【答案】(,0)．【解析】特征数为[2,]的函数为,令,解得,所以函数图像与轴的交点坐标为(,0)．【总结】本题考查了"特征数”的定义,以及二次函数的图像．(2013学年·金山区二模·第17题)如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍,我们把这样的三角形成为"倍边三角形”,如果一个直角三角形是倍边三角形,那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为．【难度】★★【答案】或．【解析】当斜边长等于直角边长的两倍时,最小角为30°,正切值为;当直角边长等于另一直角边长的两倍时,最小角的正切值为．【总结】本题考查了"倍边三角形”的定义,以及锐角三角比的求值．已知抛物线p：的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为,我们称以点A为顶点且过点,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的"梦之星”抛物线,直线为抛物线p的"梦之星”直线．若一条抛物线的"梦之星”抛物线和"梦之星”直线分别是和,则这条抛物线的解析式为________________．【难度】★★【答案】．【解析】由=可求得：(-1,0)．由,可求得：,所以点