一次函数与几何问题分类（分层练习）（培优练）-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.34一次函数与几何问题分类专题（分层练习）（培优练）考点类型目录：【考点一】折叠问题【考点二】最值问题【考点三】动点问题【考点四】平移问题【考点五】旋转问题一、单选题【考点一】折叠问题1．（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则a值为（

）.A． B． C． D．2．（2023春·八年级课时练习）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则C点的坐标为（）A．（4，0） B．（0，2） C．（0，1.5） D．（0，3）3．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数解析式是（

）A．y＝﹣x+8B．y＝﹣x+8 C．y＝﹣x+3 D．y＝﹣x+3【考点二】最值问题4．（2023·广东广州·模拟预测）如图，直线分别交轴、轴于两点，为中点（为坐标原点），点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于（

）

A． B． C． D．5．（2023春·河南新乡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．6．（2022春·福建福州·八年级统考期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（）

A． B． C． D．6【考点三】动点问题7．（2023秋·江苏南通·九年级校考开学考试）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（

）

A． B． C．或 D．或8．（2023春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）如图所示，在长方形中，，，P是上的动点，且不与点C，D重合，设，梯形的面积为y，则y与x之间的关系式和自变量的取值范围分别是（

）

A．； B．；C．； D．；9．（2023春·福建宁德·八年级福建省福安市第一中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，过动点且垂于x轴的直线与、．的交点分别为C，D．当点C位于点D上方时，则n的取值范围是（

）

A． B． C． D．【考点四】平移问题10．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（

）A．5 B． C． D．211．（2022春·湖南张家界·八年级统考期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（

）A． B． C． D．212．（2018·河南南阳·统考一模）如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m=（）A．2﹣ B．2+ C．4﹣ D．4+【考点五】旋转问题13．（2018·河北·模拟预测）如图，在直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点M、N，点A、B分别在y轴、x轴上，且∠ABO＝30°，AB＝4，将△ABO绕原点O顺时针旋转180°，在旋转过程中，当AB与直线MN平行时点A的坐标为（

）A． B． C． D．14．（2019春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，） D．（0，3）15．（2020春·浙江·八年级期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点轴上有一点为轴上一动点，把线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，则当长度最小时，线段的长为（

）A． B． C．5 D．二、填空题【考点一】折叠问题16．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）已知，，将沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是．

17．（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）直线与轴、轴分别交于点、点，点是轴上一点，若将沿折叠，使点恰好落在轴上，则点的坐标为．18．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4）点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为．【考点二】最值问题19．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（1，1），点C（t，0）是x轴上的一个动点，设三角形ABC的面积为S．（1）当S＝2时，点C的坐标为；（2）若S的最小值为2，最大值为3，请直接写出点C的横坐标t的取值范围．20．（2023春·天津河东·八年级校联考期中）如图,在直角坐标系中,△ABC是边长为的等边三角形,点B始终落在轴上，点A始终落在轴上,则OC的最大值是.

21．（2023春·重庆潼南·八年级统考期末）如图，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，点C，D分别是，的中点，点P是y轴上一动点，则的最小值是．【考点三】动点问题22．（2022秋·安徽六安·八年级校考阶段练习）动点的运动轨迹表达式为．23．（2023春·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为．

24．（2023春·北京平谷·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与，两点，射线于点，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为．

【考点四】平移问题25．（2023春·北京西城·八年级北京十四中校考期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位长度得到线段，若直线与四边形有两个交点，则的取值范围是．26．（2022·广东·九年级专题练习）将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，那么k的值是．27．（2020·浙江·模拟预测）如图，已知点，点，在x轴上有两动点E，F，且，线段在x轴上平移，当四边形的周长取得最小值时，点E的坐标是．【考点五】旋转问题28．（2023·江苏泰州·模拟预测）已知一次函数y＝x＋1的图像与y轴交于点A，将该函数图像绕点A旋转45°，旋转后的图像对应的函数关系式是．29．（2020春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点顺时针方向旋转45°交轴于点，则直线的函数表达式是．30．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面鱼角坐标系xOy中，A（﹣3，0），点B为y轴正半轴上一点，将线段AB绕点B旋转90°至BC处，过点C作CD垂直x轴于点D，若四边形ABCD的面积为36，则线AC的解析式为．三、解答题【考点一】折叠问题31．（2023秋·全国·八年级专题练习）如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长（2）求点C和点D的坐标（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由32．（2022秋·八年级课时练习）平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0）、A（a，0）、C（0，b），且a、b满足；（1）矩形的顶点B的坐标是（，）；（2）若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式；（3）在（2）的条件下，平面内是否存在一点P，使得△OFP是以OF为直角边的等腰直角三角形．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点二】最值问题33．（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．

（1）请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；（2）若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式；（3）在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由．34．（2022秋·八年级课时练习）直线与x轴交于点A，与y轴交于点．直线，与直线交于点C，与x轴交于点D．（1）求点A和点D的坐标；（2）若，过点作x轴的垂线，分别交直线，于M，N两点，则线段MN的长度是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；（3）若，求m的值．【考点三】动点问题35．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．（1）求直线的表达式；（2）点是直线上的一个动点，若，求点的坐标；（3）点是轴正半轴上的一点，且，在直线上的一个动点，连接与过点的轴的垂线交于点，连接，当平分时，请直接写出点的坐标．36．（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．

（1）求直线的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．①若的面积为，求点M的坐标；②连接，如图2，若，求点P的坐标．【考点四】平移问题37．（2022秋·河南驻马店·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求一次函数与x轴，y轴的交点坐标；（3）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，请直接写出m的取值范围．38．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A在第二象限内作，且．（1）如图，求线段的长度；（2）如图，将向右平移得到，点A的对应点始终在x轴上，当点C的对应点正好落在直线上，求此时的坐标．【考点五】旋转问题39．（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E．（1）求点A的坐标；（2）若点B为线段的中点，求证：；（3）如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值．40．（2023秋·四川南充·八年级统考期末）在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，．（1）如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标．（2）如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标．（3）若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值．参考答案1．A【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（12，0），（0，5），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=a，DA=OA=12，则DB=13-12=1，BC=5-a，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到a的方程，解方程求出n即可．解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线，当x=0，得y=5,当y=0，x=12，∴A（12，0），B（0，5），即OA=12，OB=5，∴AB=，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=a，则BC=5-a，∴DA=OA=12，∴DB=13-12=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴a2+12=（5-a）2，解得a=,故选：A．【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．2．C【分析】先根据一次函数求出A、B两点坐标，并求出AB的长，再利用对称可得AD=AB，BC=CD，故可求出OD，设点C（0，m），则CD=4－m，最后在Rt△OCD中，利用勾股定理列方程即可求出m.解：直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），则AB＝5，将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则AD＝AB＝5，故点D（2，0），设点C（0，m），则CD＝BC=4－m，在Rt△OCD中，OC2＋OD2=CD2即，解得：m＝，故点C（0，1.5），故选C．【点拨】此题考查的是一次函数求交点、折叠问题和勾股定理，利用折叠问题找到相等线段和勾股定理列方程是解决此题的关键.3．C解：【分析】由题意，可求得点A与B的坐标，由勾股定理，可求得AB的值，又由折叠的性质，可求得AB′与OB′的长，BM=B′M，然后设MO=x，由在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，即可得方程，继而求得M的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案．解：当x=0时，y=﹣x+8=8，即B（0，8），当y=0时，x=6，即A（6，0），∵∠AOB=90°，∴AB==10，由折叠的性质，得：AB=AB′=10，∴OB′=AB′-OA=10-6=4，设MO=x，则MB=MB′=8-x，在Rt△OMB′中，OM2+OB′2=B′M2，即x2+42=（8-x）2，解得：x=3，∴M（0，3），设直线AM的解析式为y=kx+b，代入A（6，0），M（0，3）得：，解得：∴直线AM的解析式为：y=-x+3，故选C．【点拨】本题考查了折叠的性质、一次函数的性质、勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．4．B【分析】先通过直线解析式求得A、B的坐标，得到OA=OB=4，AB=，取AB中点E，连接BD、CE、DE，作OM⊥OD交DA延长线于M，易证得△ODM为等腰直角三角形，通过证得△OBD≌△OAM，得到∠BDO=45°，即可求得∠ADB=90°，然后根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质求得CE=2，DE=，根据三角形三边的关系即可求得结论．解：∵直线y=x-4分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A（4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，∴AB==，取AB中点E，连接BD、CE、DE，作OM⊥OD交DA延长线于M，∵∠ADO=45°，∴∠M=45°，∴OD=OM，∴△ODM为等腰直角三角形，∵∠AOB=∠DOM=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠DOM-∠AOD，即∠BOD=∠AOM，在△OBD和△OAM中，，∴△OBD≌△OAM（SAS），∴∠ODB=∠M=45°，∴∠ADB=90°，∵AE=BE，BC=OC，∴CE=OA=2，DE=AB=，∴CD≤CE+DE=2+，故CD的最大值为2+，故选：B．

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．5．D【分析】设点的坐标为，，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出的最小值．解：设点的坐标为，，，，，当时，最短，线段长度的最小值为，故选：D．【点拨】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，配方法的应用，表示出的长度是解题的关键．6．B【分析】首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求．解：取在y轴上点使，连接，∴点的坐标为，∴点与点A关于对称，∴，∴，由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，在中，，故选：B．

【点拨】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．7．C【分析】利用待定系数法求出直线l的解析式，然后求出点A、P的坐标，再分和两种情况，分别画出图形进行求解即可．解：将代入直线得：，∴直线，令，即，解得：，则A点坐标为，将代入，得：，解得：，∴P点坐标为，①如图，当时，则轴，∴；

②如图，当时，过点P作轴于N，则，

∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴，综上，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为或，故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键．8．A【分析】根据可得，再根据梯形面积公式代入相应数值计算即可．解：，，，是上的动点，且不与点C，D重合，，故选：A．【点拨】本题主要考查根据实际问题列函数关系式，关键是掌握梯形面积公式．9．A【分析】根据题意先画图，满足点C位于点D上方，再根据图象作答即可．解：∵直线与直线相交于点，过动点且垂于x轴的直线与、．的交点分别为C，D．当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图：

由图象可知：．故选A【点拨】本题是一次函数综合题，相交问题，解题的关键是学会利用图象，根据条件确定横坐标的取值范围．10．B【分析】过作轴于，过作轴于，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线l的解析式为，，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出．解：过作轴于，过作于，如图，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，同理可证，，，，，点在直线：上，，，直线的解析式为，设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为，点在直线上，，解得：，故选：B．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出点的坐标是解决问题的关键．11．B【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为（3，5），由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为（3，5-m），代入解析式即可求出m．解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=90°，AB=DA，∴∠DAO+∠BAM=90°，∴∠DAO=∠ABM，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA=BM，OD=AM，∵B（5，2），∴BM=2，OM=5，∴OA=2，∴AM=OM-OA=3，∴OD=3，同理可证△CDN≌△DAO，∴DN=OA=2，CN=DO=3，∴ON=OD+DN=5，∴C（3，5），∵点B（5，2）在直线l：y=kx+4上，∴5k+4=2，∴k=-，∴直线l的解析式为y=-x+4，设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为（3，5-m），∵点C在直线l上，∴-×3+4=5-m，解得：m=，故选：B．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．12．B【分析】由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合等边三角形的性质即可得出点C的坐标，再将点C的横坐标代入直线AB中可求出点C′的坐标，由点C、C′的坐标可得出m的值．解：当y=2x+4=0时，x=-2，∴点A的坐标为（-2，0）．∵△OAC为以OA为边的等边三角形，∴点C的坐标为（-1，-）．当x=-1时，y=2x+4=2，∴点C′的坐标为（-1，2），∴m=2-（-）=2+．故选B．【点拨】考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及平移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点C、C′的坐标是解题的关键．13．C解：∵AB=4，∠ABO=30°，∴OA=2，∠BAO=60°，∴∠OAD=120°，∵直线MN的解析式为y＝−x+4，∴∠NMO=30°，∵AB∥MN，∴∠ADO=∠NMD=30°，∴∠AOC=30°，∴AC=OA=1，∴OC==，∴点A的坐标为（，1）；故选C．【点拨】本题主要考查一次函数、等腰三角形、勾股定理等问题，在解题时要能根据题意画出图形是解题的关键．14．A【分析】根据旋转的性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE＝×3＝，AE＝，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（−，），求出直线AD′的解析式为y＝−x＋，于是得到结论．解：∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，∴AM＝AM′，∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，∵∠OAD＝120°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AO＝3，∴DE＝×3＝，AE＝，∴D（，），∴D′（−，），设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，∴，∴∴直线AD′的解析式为y＝−x＋，当x＝0时，y＝，∴M（0，），故选A．【点拨】本题考查了坐标与图形的变换−旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．A【分析】作EH⊥x轴于H，通过证明△DBO≌△BEH，可得HE=OB，从而确定点的运动轨迹是直线m：，根据垂线段最短确定出点E的位置，然后根据勾股定理求解即可．解：作EH⊥x轴于H，如图所示：∵∠DBE=90°，∴∠DBC+∠CBE=90°.∵∠BHE=90°，∴∠BEH+∠CBE=90°，∴∠DBC=∠BEH，∵∠BOD=∠BHE=90°，BD=BE，∴△DBO≌△BEH（AAS），∴HE=OB，HB=OD，当y=0时，，∴x=2，∴HE=OB=2，∴点的运动轨迹是直线m：，B（2，0），∴当⊥m时，CE最短，如图所示，此时点C与点H重合，点的坐标为（-1，-2），∵C（-1，0），B（2，0），∴BC=3，∴OD=，∴CD=，故选A．【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的变化，全等三角形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，解题的关键是确定点E的位置．16．【分析】设，根据题意，，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得．解：设，∴，，，又由折叠知，∴，在中，，∴，解得，∴，故答案为．【点拨】本题考查了一次函数的图象与几何变换，翻折的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．17．或【分析】先根据直线的解析式求出点、点的坐标，由点是轴上一点，若将沿折叠，使点恰好落在轴上，分情况进行讨论点的位置，运用勾股定理，即可求出答案．解：直线与轴、轴分别交于点、点，当时，，当时，，点的坐标为，点坐标为，点是轴上一点，将沿折叠，使点恰好落在轴上，当点在轴正半轴时，画出图如图所示，设，则有，，，，，解得：，点的坐标为；当点在轴负半轴时，画出图如图所示，设，则有，，，，，解得：，点的坐标为，综上所述：点的坐标为：或．【点拨】本题考查了一次函数与几何综合、折叠问题、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．18．（0,-6）【分析】利用勾股定理可得AB=5，由折叠得：AD=AB=5，得出点D的坐标，设点C（0，m），则OC=-m，由勾股定理代入计算即可得出结果．解：∵A（3,0）、B（0，4），∴OA=3，OB=4，∵∠AOB=90°，∴AB=，由折叠得：AD=AB=5，∴OD=OA+AD=3+5=8，∴点D（8，0），设点C（0，m），则OC=-m，由折叠得：CD=BC=4-m，在Rt∆OCD中，，∴，解得：m=-6，∴C（0，-6），故答案为：（0，-6）．【点拨】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理及待定系数法确定函数解析式．19．或或【分析】（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据三角形的面积公式构建方程即可解决问题；（2）求得S＝2和S＝3时t的值，即可解决问题．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（1，1），∴，解得，∴直线AB的解析式为，令y＝0，则x＝3，∴直线AB与x轴的交点为（3，0），∵点C（t，0）是x轴上的一个动点，∴S△ABC＝|t﹣3|×2﹣|t﹣3|×1＝2，∴|t﹣3|＝4，解得t＝7或﹣1，∴C（7，0）或（﹣1，0），故答案为（7，0）或（﹣1，0）；（2）若S的最小值为2，最大值为3，解S＝|t﹣3|×2﹣|t﹣3|×1＝3，得t＝9或﹣3，∵当S＝2时，得t＝7或﹣1，∴若S的最小值为2，最大值为3，点C的横坐标t的取值范围为7≤t≤9或﹣3≤t≤﹣1；故答案为：7≤t≤9或﹣3≤t≤﹣1．【点拨】本题考查了三角形的面积，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．a+a.【分析】由题意得到当OA=OB，即△AOB为等腰直角三角形时OC最大，画出相应的图形，根据等边三角形三线合一与直角三角形斜边上的中线定理即可求出OC的长.解：由题意得到当OA=OB，即△AOB为等腰直角三角形时OC最大，如图所示，由对称性得到OC⊥AB,∵△AOB为等腰直角三角形，AB=a，∴OD=AB=a，在RT△BCD中，BC=a,BD=a，由勾股定理得CD=a,∴OC=OD+CD=a+a,∴OC的最大值是a+a.

【点拨】此题主要考查等边三角形、直角三角形斜边上的中线定理，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置.21．【分析】先求出点A和点B的坐标，再由点C，D分别是，的中点求点C和点D的坐标，设点D关于y轴的对称点为，则，由轴对称图形的性质可得，当点C、P、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长度，再由勾股定理求解即可．解：令，得，令，得，∴，，∵点C，D分别是，的中点，∴，，设点D关于y轴的对称点为，则，∴当点C、P、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长度，，∴的最小值是，故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数综合问题，勾股定理，三角形三边关系，轴对称图形的性质等知识，找到点P的位置是解题的关键．22．【分析】由点的坐标可知，即可得到与的关系式．解：∵，∴，∴；故答案为：．【点拨】本题考查列函数表达式，熟练掌握点的坐标特点，是解题的关键．23．或或【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可．解：当时，，∴点A的坐标为，当时，，解得：，∴点B的坐标为，∴，∵，∴，设，则，在中，，即，解得，∴，∴，∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，以和为腰，为底，则，∴，∴P的坐标为；以和为腰，为底，设，∴，在中，由勾股定理得，，即，解得：，∴，∴P的坐标为，以和为腰，为底，点O是的中点，∴，∴P的坐标为，

综上所述，P的坐标为或或．【点拨】利用全等与勾股定理求点的坐标和线段长度，然后分类讨论即可．24．【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，当时，即，解得：．当时，，∴．∴．∴．∵，点C在射线上，∴，即．∵，∴．若以为顶点的三角形与全等，则或，即或．如图1所示，当时，，

∴；如图2所示，当时，，

∴．综上所述，的长为6或．故答案为：6或．【点拨】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．25．或【分析】由得，直线过定点，与四边形有一个交点时，直线分别过点、，求得直线过点、时的取值，结合图像以及一次函数的性质，即可求解．解：由得，直线过定点将代入得，，即将代入得，，即将线段沿轴向右平移个单位长度得到线段则、由图像可得，当直线与四边形有一个交点时，有两种情况，一是直线过点，一是直线过点，如下图：将点代入得：，解得将点代入得：，解得由图像得直线与四边形有两个交点时，直线应该在、之间，根据一次函数的性质可得，此时或故答案为：或【点拨】此题考查了一次函数与几何的综合问题，熟练掌握一次函数的性质，利用数形结合思想求解是解题的关键．26．【分析】根据直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，可得，即可得k的值．解：∵将直线y＝（k+1）x﹣2平移能和直线y＝﹣3x重合，∴直线y＝（k+1）x﹣2和直线y＝﹣3x平行，∴k+1＝﹣3，解得k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点拨】本题主要考查一次函数图像与几何变换，熟练掌握两直线平行问题，两直线平行，k值相等是关键．27．【分析】欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．解：如图，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．∵A（2，5），∴A′（1，5），∵B（-2，2），∴B′（-2，-2）．设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则，解得．∴直线A′B′的解析式为y=x+，当y=0时，x+=0，解得x=-．故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-，0）．故答案为：（-，0）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．28．y＝－x＋1或y＝3x＋1【分析】分两种情况讨论，通过三角形全等，求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得旋转后的图象对应的函数关系式．解：如图1，∵一次函数y=x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，∴A（0，1），B（-2，0），当直线y=x+1绕点A顺时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，过B作BE⊥FD延长线于E，则△ABD为等腰直角三角形，∵∠EDB+∠FDA=∠EDB+∠EBD=90°，BD=AD，∴∠FDA=∠EBD，∴△ADF≌△DBE（AAS），设AF=a，则DE=a，∵点A（0，1），点B（-2，0），∴DF=BE=OF=1+a，EF=ED+DF=a+1+a=OB=2，∴a=，∴DF=OF=1+a=，∴D（-，），设直线l的解析式为y=kx+1，则=-k+1，解得k=-，∴y=-x+1；如图2，直线y=x+1绕点A逆时针旋转45°后的图象为直线l，过B作BD⊥直线l于D，过D作FD⊥y轴于F，作DE⊥x轴于E，则△ABD为等腰直角三角形，同理可得△ADF≌△BDE（AAS），设DF=b，则DE=b，∵点A（0，1），点B（-2，0），∴AF=BE=1+b，BO=BE+OE=b+1+b=OB=2，∴b=，∴D（-，-），设直线l的解析式为y=kx+1，则-=-k+1，解得k=3，∴y=3x+1；综上，旋转后的图象对应的函数关系式是y=-x+1或y=3x+1．故答案为y=-x+1或y=3x+1．【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，旋转的性质以及一次函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形．29．【分析】过点C作交AB于点F，根据旋转可得△FCA是等腰直角三角形，得到FC=AF，设C点的坐标为，根据A，B的坐标可求出AB所在直线的解析式为，根据直线垂直的特点可以求出FC所在的直线解析式为，联立可得F的坐标为，根据勾股定理可得出FC和AF的值，然后联立式子可求出C点的坐标，进而求的解析式．解：过点C作交AB于点F．设直线AB所在的直线解析式为，由题可知，，得设直线CF所在直线的解析式为，∵直线AB与直线CF垂直∴∴∴联立方程组得解得∴F，根据题意可得又∵∴△FCA是等腰直角三角形∴FC=FA得到整理可得得到解方程可得:（舍去）所以得到C点的坐标为设AC所在直线的解析式为把A，C代入可得∴直线AC的函数表达式为故答案为【点拨】本题主要考查了一次函数图像变换问题，准确利用旋转角度构造直角三角形是解题的关键，结合直角三角形的性质和勾股定理求长度的知识点进行求解．30．y＝x+1或y＝﹣3x﹣9．【分析】过C作CE⊥OB于E，则四边形CEOD是矩形，得到CE＝OD，OE＝CD，根据旋转的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到BO＝CE，BE＝OA，求得OA＝BE＝3，设OD＝a，得到CD＝OE＝|a﹣3|，根据面积公式列方程得到C（﹣6，9）或（6，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A点和C点的坐标代入即可得到结论．解：过C作CE⊥OB于E，则四边形CEOD是矩形，∴CE＝OD，OE＝CD，∵将线段AB绕点B旋转90°至BC处，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝∠CBO+∠BCE＝90°，∴∠ABO＝∠BCE，∵∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△ABO≌△BCO（AAS），∴BO＝CE，BE＝OA，∵A（﹣3，0），∴OA＝BE＝3，设OD＝a，∴CD＝OE＝|a﹣3|，∵四边形ABCD的面积为36，∴AO•OB+（CD+OB）•OD＝×3×a+（a﹣3+a）×a＝36，∴a＝±6，∴C（﹣6，9）或（6，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A点和C点的坐标代入得，或解得：或，∴直线AB的解析式为或y＝﹣3x﹣9．故答案为或y＝﹣3x﹣9．【点拨】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．31．（1）5；（2）C（8，0）；D（0，-6）；（3）P点的坐标为（0，12）或（0，-4）【分析】（1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出OA和OB的长，再根据勾股定理即可求出AB的长；（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，即得出OC=8，即C（8，0）．设OD=x，则DB=x+4．再在Rt△OCD中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标；（3）求出的值，即可得出的值，再根据，即可求出BP的值，从而即得出P点坐标；解：（1）令x=0得：y=4，∴B（0，4）．∴OB=4令y=0得：，解得：x=3，∴A（3，0）．∴OA=3．在Rt△OAB中，；（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C（8，0）．设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．在Rt△OCD中，，即，解得：x=6，∴D（0，-6）；（3）∵，，∴．∵点P在y轴上，，∴，即，解得：BP=8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，-4）．【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．32．（1）；（2）；（3），，，【分析】（1）根据平方和二次根式的非负性求解即可；（2）根据折叠的性质可知DA⊥OE，DE=OD，证明CE∥AD，求出直线AD解析式，从而直线CE的解析式可求；（3）按照当FP=FO，OF=OP讨论即可；（1）解：∵，∴，∵，，∴，，∴，将，代入，得a=-3，∴点B坐标为（-3，4），故答案为：（-3，4），（2）解：如图，连接OE，由折叠性质可得DA⊥OE，DE=OD，∵D为OC中点，∴CD=OD，∵DE=OD=CD，∴，，∵，∴,∴,∴△OCE为直角三角形，∴OE⊥CE,∴CE∥AD，∴,设直线AD解析式为，将点A（-3，0），D（0，2）代入,得,解得,∴，设直线CE解析式为，将点C（0，4）代入可得m=4,∴直线CE的解析式为．（3）解：由（2）可知直线CE的解析式为，∴点F坐标为（-3，2），∴OA=3，FA=2，①当FP=FO时，如图所示，即为所求；过点作，交FB延长线于点H，∵，，∴，在和中，，（AAS），∴OA=FH=3，，∴AH=AF+FH=2+3=5，点的横坐标为-（3-2）=-1，∴点的坐标为（-1，5），同理点坐标为（-5，-1），②当OF=OP时，如图所示，即为所求;过点作轴，交x轴于点Q，∵，，∴，在和中，，（AAS），∴OA==3，，∴点的坐标为（2，3），同理点坐标为（-2，-3），综上所述满足条件的点P坐标为（-1，5），（-5，-1），（2，3），（-2，-3）．【点拨】本题考查了一次函数的综合题，需要掌握平方和二次根式的非负性，待定系数的求解析式，等腰直角三角形的判定等知识点，注意分类讨论思想．33．（1），；（2），直线的解析式为；（3）【分析】（1）分别令，求得两个函数对应的x的值，即可求出点A、B的坐标，联立两个函数的解析式，即可求出点P的坐标；（2）连接OP，则点Q的坐标为，则四边形的面积＝的面积+的面积，根据已知的两个条件可得关于a、b的方程，解方程求出a、b，可得点P、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（3）当时，的值最小，当点F与B重合时，的值最大，然后分别利用等面积法和两点间的距离公式求解即可得出答案．解：（1）对于，令，可得，∴，对于，令，可得，∴，由，解得，，∴；（2）连接OP，则点Q的坐标为，

∵四边形的面积＝的面积+的面积，∴，整理得，①，∵，∴，即②，把②代入①并整理得，∴（负值舍去），，∴，B，设直线的解析式为，则有，解得，∴直线的解析式为；（3）如图，

由题意，Q，B，，∴的面积，∴，，∵点F在线段上，∴时，的值最小，最小值，当点F与B重合时，的值最大，此时，∴．【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、勾股定理、方程组的求解等知识，熟练掌握一次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．34．（1）A（2，0）；；（2）当时，MN的值最小为1；（3）或．【分析】（1）把点得坐标代入函数解析式列方程求解；（2）利用两点之间的距离公式列出关系式，再依据不等式得性质求最值；（3）利用三角形全等的性质求出点C的坐标，再代入函数解析式求出m．解：（1）∵直线与y轴交于点，∴，∴，令，，∴，∵直线与x轴交于点D，∴，∵，∴，∴；（2）当时，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴MN随m的增大而增大．∵，∴当时，MN有最小值，当时，MN的值最小为1；（3）①当点C在x轴上方时，如图．过D作交于点E，过C作轴于F，过E作轴于G．∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴≌，∴，，∵点E在直线上，∴设．∴，，∴，∴，∵点C在直线上，∴，解得，∴，将点代入中，，，②当点C在x轴下方时，记为，如图．∵，，∴，过C作轴于点P，延长CP交于点Q，连接CD，∵，，，∴≌，∴，∴，∵点在直线上，∴，∴．综上所述，或．【点拨】本题考查了一次函数的基础知识，综合考核一次函数，全等三角形，两点间的距离等，是一道综合性较强的题．35．（1）；（2）或；（3）或．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由，即可求解；（3）证明，即可求解．解：（1）