第2章 实数（单元测试基础卷）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第2章实数（单元测试·基础卷）【要点回顾】【要点1】平方根、立方根1.平方根定义一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；2.立方根定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【要点2】二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式叫做二次根式.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【要点3】二次根式的运算1.乘除法法测2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，属于无理数的是（

）A． B．1.414 C． D．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．的计算结果估计在（

）A．1至1.5之间 B．1.5至2之间 C．2至2.5之间 D．2.5至3之间4．下列二次根式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．5．下列说法错误的是(

)A．的平方根是 B．的立方根是C．是的平方根 D．是的平方根6．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．7．的平方根为（

）A．2 B． C．4 D．8．已知，与是同一个数的平方根，则m的值是（

）A． B．1 C．或1 D．9．已知，，，，那么精确到的近似值是（

）A． B． C． D．10．以单位长度为边长画一个正方形，以顶点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为（点在点左侧），再以顶点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴的交点为（点在点右侧），已知正方形两条对角线相等，设点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．的绝对值是．12．若有意义，则a的取值范围为．13．化简：．14．已知，则．15．已知，则代数式的值为．16．如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是．17．（1）若，则代数式的值为．（2）如下是按规律排列的一列单项式：，…则第10个单项式是．18．【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是厘米．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（1）；（2）20．（8分）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程：

填空：_______________的解法是错误的；求代数式的值，其中．21．（10分）解答下列问题．（1）已知，，求．（2）已知实数，满足，求的平方根．22．（10分）观察下列等式：；；；；……请你按上述规律写出第5个等式：_______；用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．23．（10分）如图是一块正方形纸片．

如图1，若正方形纸片的面积为，则此正方形的边长的长为，对角线的长为；如图2，若正方形纸片的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由．24．（12分）阅读下列材料，然后回答问题：阅读：在进行二次根式的化简与运算时，可以将进一步化简：方法一:方法二:【探究】选择恰当的方法计算下列各式：（1）；（2）．【猜想】＝．参考答案1．C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：属于无理数的是．故选：C．【点拨】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．2．A【分析】根据被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可．【详解】解：A是最简二次根式，故符合题意；B不是最简二次根式，不符合题意；C不是最简二次根式，不符合题意；D不是最简二次根式，不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．3．B【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式，根据2.25，3，4的关系，可得答案．【详解】解：原式＝，，，故选：B．【点拨】本题考查了估算无理数的大小，先化简二次根式，再比较二次根式的大小．4．D【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．【详解】解：A、＝2，故A不符合题意；B、＝2，故B不符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝2，故D符合题意．故选：D．【点拨】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键．5．A【分析】根据平方根与立方根的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.的平方根是，故该选项不正确，符合题意；

B.的立方根是，故该选项正确，不符合题意；C.是的平方根，故该选项正确，不符合题意；

D.是的一个平方根，故该选项正确，不符合题意；故选：A．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．6．C【分析】根据二次根式的性质和运算法则对各选项逐一进行判断即可．【详解】A、为无理数，不能与有理数进行加减运算，故错误，不符合题意；B、根据二次根式计算法则，同类二次根式相减时，系数相减，应该为，故错误，不符合题意；C、根据二次根式乘法法则，计算正确，符合题意；D、根据二次根式除法法则，应该为，不符合题意；故选C．【点拨】本题考查二次根式的四则运算，解决本题的关键是熟悉二次根式计算法则．7．B【分析】先求得，再求4的平方根即可．【详解】∵，∴4平方根为，故选B．【点拨】本题考查了求立方根，平方根，熟练掌握求根的基本方法是解题的关键．8．C【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【详解】解：当时，；当时，；综上分析可得：或，故C正确．故选：C．【点拨】本题主要考查了平方根的性质，明确与相等或互为相反数是解题的关键．9．B【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可．【详解】解：，，，，精确到的近似值是，故选B．【点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．10．A【分析】由勾股定理求出的长，从而可求出的长，由在数轴上表示的数是，即可得到点在数轴上表示的数．【详解】解：由题意知，四边形是正方形，，，，，，，，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是．故选：A．【点拨】本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．11．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【详解】解：∵，∴的绝对值是：．故答案为：．【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．12．【分析】利用被开方数的非负性即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题关键．13．【分析】进行分母有理化运算即可．【详解】解：．故答案为：．【点拨】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键．14．【分析】由非负数的性质可得，，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，负整数指数幂的含义，利用非负数的性质求解，是解本题的关键．15．【分析】直接把代入代数式求值即可．【详解】解：把代入代数式得：故答案为：【点拨】本题考查的是代数式的求值，同时考查了二次根式的平方运算，掌握以上知识是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点A的位置确定点A表示的数．【详解】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，直角三角形的斜边，则，∵如图，点A是以原点O为圆心为半径作弧与数轴的交点，∴点A表示的数为．故答案为：．【点拨】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键．17．【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可求解；（2）根据单项式的系数的绝对值为，字母都为，指数的规律为对应的序号，系数的符号奇数个时为正，偶数个时为负，乘以即可求解．【详解】解：（1）∵，∴故答案为：；（2），…∴第个单项式为，∴第10个单项式是．故答案为：．【点拨】本题考查了实数的计算，单项式规律，掌握实数的运算法则以及找到单项式的规律是解题的关键．18．【分析】先求解边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为34，可得大正方形的面积为34，从而可得答案．【详解】解：由题意可得：边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为，∴拼成的大正方形的面积为34，∴大正方形的边长为，故答案为：【点拨】本题考查的是等面积法的应用，算术平方根的应用，理解拼接前后的面积不变是解本题的关键．19．（1）3；（2）4【分析】（1）利用平方根的性质化简，再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简即可求出答案．（2）利用平方根的性质化简，再根据实数的运算法则即可解答．【详解】解：（1）原式（2）原式【点拨】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．20．(1)小明(2)【分析】（1）由于当，，由此可知小明的解法是错误的；（2）仿照题意中小颖的解法求解即可．【详解】（1）解：由题意得，小明的解法是错误的，因为小明在化简二次根式的时候没有注意符号问题，当，，故答案为：小明（2）解：，当时，，∴原式．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟知是解题的关键．21．（1）19；（2）．【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y与xy，再将原式配方后，整体代入计算即可，（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x，y的值，代入求出值，再求平方根即可．【详解】（1），．，，．（2），，，，，6的平方根为．【点拨】本题考查二次根式的条件求值问题，掌握二次根式的条件求值方法，会分母有理化，会利用被开方数有意义求字母的值是解题关键．22．(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：．【详解】（1）解：∵；；；；……∴第5个等式：，故答案为：；（2）解：第n个等式：，证明：，∵n为正整数，∴．【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．23．(1)，2(2)他不能裁出，理由见解析【分析】（1）由正方形面积，确定出正方形边长，即可利用勾股定理确定正方形的对角线长；（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为，∴此正方形的边长的长为∴正方形的对角线长为：，故答案为：，2．（2）解：他不能裁出，理由如下：根据题意设长方形的长和宽分别为和．∴，解得：，∴长方形的长为．∵正方形的面积为，∴正方形的边长为，∵，∴，∴他不能裁出．