2024年江苏省南通市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×10123．（3分）计算×的结果是（）A．9 B．3 C．3 D．4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥5．（3分）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，则∠1的度数为（）A．41° B．51° C．49° D．59°6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（）A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝72007．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（）A．12 B．13 C．14 D．159．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h），下列说法正确的是（）A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（）A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝．12．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是cm2．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：．14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，则旗杆AC的高度为m．15．（4分）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm．16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上．18．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；（2）解方程﹣1＝．20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）50个家庭去年月均用水量频数分布表组别家庭月均用水量（单位：吨）频数A2.0≤t＜3.47B3.4≤t＜4.8mC4.8≤t＜6.2nD6.2≤t＜7.66E7.6≤t＜9.02合计50根据上述信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在组；（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？21．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．（1）求图中阴影部分的面积；（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）1326032360信息二A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？25．（13分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上0＝．求点P到y轴的距离；（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°2图③130°请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC之间的数量关系【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，BC分别交于M，N两点．请补全图形+的值是否变化？

2024年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃【解答】解：“正”和“负”相对，所以，那么零下3℃记作﹣3℃．故选：A．2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×1012【解答】解：由题知，1582亿＝1582×108＝1.582×106×108＝1.582×1011．故选：C．3．（3分）计算×的结果是（）A．9 B．3 C．3 D．【解答】解：．故选：B．4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥【解答】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥．故选：D．5．（3分）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，则∠1的度数为（）A．41° B．51° C．49° D．59°【解答】解：延长CB与直线b交于点M，∵a∥b，∠2＝41°，∴∠BMA＝∠2＝41°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠6+∠BMA＝90°，∴∠1＝90°﹣41°＝49°．故选：C．6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（）A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200【解答】解：由题意可得，7200（1+x）2＝8450，故选：A．7．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）【解答】解：因为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，所以抛物线y＝x2+2x﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以将此抛物线向右平移5个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2．故选：D．8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝2①，∵（m+n）2＝21，∴m2+n8+2mn＝21②，①+②得2（m4+n2）＝26，∴大正方形的面积为：m2+n4＝13，故选：B．9．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h），下列说法正确的是（）A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；乙的速度是：20÷8＝20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，故选：D．10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（）A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误【解答】解：小明的发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点．当E落在AC上时，根据旋转的定义．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，这意味着小明的发现是正确的．首先，要确定AE的长度何时最小，当E落在AC上时，根据小明的发现．此时，E与A，AE的长度达到最小．当E与A，H三点共线时．∴，∵HE＝HC﹣HD＝，∵D是HC的中点，并且AH是△ABC的高，∴AH2＝AB•HE，∵HE＝AE，当E与A，AH5＝AB•AE成立，∴小丽发现也是正确的．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝a（x﹣y）．【解答】解：ax﹣ay＝a（x﹣y）．12．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是12πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×4÷2＝12πcm2．故答案为：12π．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：k＜1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝7有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣3k＝4﹣4k＞8，解得：k＜1．故答案为：k＜1．14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，则旗杆AC的高度为6m．【解答】解：由题意可得：BC＝6m，又tan60°＝＝＝，∴AC＝6m．故答案为：5．15．（4分）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，∵周长为20cm，∴CD＝5cm，∵∠BCD＝45°，∴∠CDE＝45°，∴高＝CE＝cm，故答案为：．16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是R≥3.6．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，把（9，4）代入得：k＝7×9＝36，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤10时，则≤10，R≥3.7，故答案为：R≥3.6．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上3．【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，AB＝，∵GH⊥AC，∴△AGH是等腰直角三角形，∴AH＝HG，AG＝，∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，在△DGH和△DEC中，，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝DC，DH＝CE，∴AH＝HG＝DC，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，∵正方形DEFG的边长为，∴DE＝，∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE4，∴2a+b＝5，a3+b2＝（）3，将b＝5﹣2a代入a4+b2＝（）5整理得：a2﹣4a+5＝0，解得a＝2（负值已经舍去），∴AH＝a＝6，∴AG＝AH＝2，∴BG＝AB﹣AG＝5﹣7，故答案为：2．18．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为．【解答】解：如图，设AB与直线y＝kx+b交于点P．设AB所在直线的函数关系式为y＝k1x+b1（k3、b1为常数，且k1≠4）．将坐标A（3，0）和B（41x+b1，得，解得，∴AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3．将点（1，8）代入y＝kx+b，得k+b＝0，解得b＝﹣k，∴直线y＝kx+b为y＝kx﹣k．，解得，∴P（，），∵SRt△AOB＝×3×3＝，∴远离原点部分的面积为﹣＝，∴×（7﹣1）×＝，∴k＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；（2）解方程﹣1＝．【解答】解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1）＝m8﹣2m﹣m2﹣m＝﹣7m；（2）﹣1＝，6x﹣（3x+3）＝6x，3x﹣3x﹣8＝2x，∴x＝，经检验，x＝．20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）50个家庭去年月均用水量频数分布表组别家庭月均用水量（单位：吨）频数A2.0≤t＜3.47B3.4≤t＜4.8mC4.8≤t＜6.2nD6.2≤t＜7.66E7.6≤t＜9.02合计50根据上述信息，解答下列问题：（1）m＝20，n＝15；（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组；（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？【解答】解：（1）由题意得，C组的频数n＝．∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．故答案为：20；15．（2）由题意，根据中位数的意义，∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．又∵A组频数为7，B组频数为20，∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．故答案为：B．（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.7吨的家庭数有7+20＝27（个），∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.7吨的家庭数有：1200×＝648（个）．21．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E【解答】证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠ADE＝∠CFE，∴CF∥AB．22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，故答案为：；（2）∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有2种情况，∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．（1）求图中阴影部分的面积；（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，∴AC6+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD＝，S＝S△ABC﹣S扇形＝；（2）当C，A，P三点共线时，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝．24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）1326032360信息二A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，∴，∴，答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，∴80a+60（10﹣a）≤700，∴a≤5，∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，∴当a＝4时，每天分拣快递的件数最多为200万件，∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．25．（13分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上0＝．求点P到y轴的距离；（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝33+（x﹣3）2＝8x2﹣4x+10，∵当x＝﹣＝4时，∴x0＝1；（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，∴b＝﹣，∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x2﹣（2a﹣）x+a4+，∵x4＝﹣＝，∴a1＝2，a3＝﹣1，当a＝2时，点P到y轴的距离为6；当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；综上所述，点P到y轴的距离为5或1；（3）∵a2﹣3a﹣2b+3＝5，∴b＝，由题意得：x0＝＝，∵1≤x0＜4，∴1≤＜3，整理得：2≤a2＜9，∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜7，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或6或2，共4个．26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°2图③130°