七年级数学上册 讲义（北师大版）第01讲 认识一元一次方程(6类热点题型讲练)（解析版）

第01讲认识一元一次方程(6类热点题型讲练)1.掌握一元一次方程的定义；2.掌握一元一次方程的解的概念；3.掌握等式的性质及其应用.知识点01方程的有关概念1.定义：含有未知数的等式叫做方程.【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.知识点02一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．知识点03等式的性质性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．题型01判断各式是否是方程例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可．【详解】A.，不是等式，不是方程，不符合题意；B.是方程，符合题意；C.不是等式，不符合题意；D.不含有未知数，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南周口·七年级校考期中）下列各式是方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，逐一判断即可．【详解】解：不是等式，故A选项不符合题意；不含有未知数，故B选项不符合题意；不是等式，故C选项不符合题意；是方程，故D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了方程的定义，熟知该定义是解题的关键．2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）下列各式中，属于方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答．【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意；B、不是等式，故不是方程，不符合题意；C、不是等式，故不是方程，不符合题意；D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程．题型02列方程例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）若的4倍与7的和等于20，则可列方程为．【答案】【分析】根据题意中的数量关系解答即可．【详解】解：的4倍与7的和等于20，则可列方程为；故答案为：．【点睛】本题考查了列方程，明确题意中的数量关系是关键．【变式训练】1．（2023春·上海·六年级专题练习）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列出方程来．【答案】【分析】根据x的3倍与5的和比x的多2表示减去等于2，即可求解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为．【答案】0.8x-10=0.6x+50【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可．【详解】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：0.8x-10=0.6x+50，故答案为：0.8x-10=0.6x+50．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键．题型03判断是否是一元一次方程例题：（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）下列方程中是一元一次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元一次方程定义“只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程”解答即可．【详解】解：A、，是一元一次方程，故此选项符合题意；B、，未知数最高次数是2，故不是一元一次方程，故此选项不合题意；C、，不是整式方程，不是一元一次方程，故此选项不合题意；D、，化简整理后不是方程，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程定义，熟知一元一次方程定义是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可．【详解】A．是一元一次方程，故本选项符合题意；B．不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．2．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）在方程，，，，中，一元一次方程的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】解：方程含有两个未知数，故不是一元一次方程；方程是一元一次方程；方程是一元一次方程；方程未知数的次数是2次，故不是一元一次方程；方程分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程；所以一元一次方程的个数是2个，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解．题型04根据一元一次方程求参数的值例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）若是关于的一元一次方程，则．【答案】1【分析】只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．据此解答即可．【详解】解：因为是关于的一元一次方程，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义．解题的关键是明确一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是，一次项系数不是．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）若是关于的一元一次方程，则．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义即可求解．【详解】解：是关于的一元一次方程，∴的次数为，且的系数不能为零，即，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元一次方程概念的理解，掌握其概念是解题的关键．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若是关于x的一元一次方程，则k的值为．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且）【详解】解：∵是关于的一元一次方程，∴且，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．题型05已知一元一次方程的解求参数的值例题：（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）方程的解是，则．【答案】3【分析】把代入方程解答即可．【详解】解：把代入方程，可得：，解得：，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是把代入方程得出关于的方程解答．【变式训练】1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）关于x的方程的解是，则a的值为．【答案】【分析】将代入，即可求出a的值．【详解】解：把代入得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握使方程等号两边相等的未知数的值，是方程是解．2．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）若是方程的解，则的值为．【答案】【分析】由是方程的解，可得，再把化为，再代入求值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解的含义，熟练的利用整体法求解代数式的值是解本题的关键．题型06等式的性质例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列运用等式变形错误的是（）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．【详解】解：A、若，则，正确，不合题意；B、若，得，正确，不合题意；C、若，则，正确，不合题意；D、若，则，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·山东东营·六年级校考期末）设是有理数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据等式的性质一一判断即可．【详解】解：∵，∴或，故A不符合题意；∵，∴，故B符合题意；∵，，∴，故C不符合题意；∵，∴，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列结论错误的个数为（

）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或整式等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或整式等式仍成立，即可解决．【详解】解：∵，∴，∴，故（1）正确，不符合题意；∵，，∴，故（2）错误，符合题意；∵，∴，故（3）正确，不符合题意；∵，∴，故（4）错误，符合题意；错误的共2个，故选C【点睛】本题考查的是等式的基本性质的应用，熟记等式的基本性质是解本题的关键．一、单选题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）下列等式变形正确的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】根据等式的性质逐项判断即得答案．【详解】解：A、如果，当时，可得，故本选项变形错误；B、如果，那么，故本选项变形错误；C、如果，当时，可得，故本选项变形错误；D、如果，那么，故本选项变形正确；故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边都加上（或减去）同一个数或式，所得结果仍是等式，等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，熟练掌握等式的性质是关键．2．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程，，，中一元一次方程的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】中有两个未知数，不是一元一次方程；中分母中有字母，不是一元一次方程；是一元一次方程；中未知数的最高次数为2，不是一元一次方程；故一元一次方程的个数为个，故选A．【点睛】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．3．（2023春·河南开封·七年级统考期中）关于的方程的解是，则的值为(

)，A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】将代入求解即可．【详解】解：将代入得：，解得：故选：A．【点睛】本题考查了方程的解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．4．（2023春·河南新乡·七年级校联考阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可【详解】解：由题意可得：，故选：C【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．答：“？”处应放〇的个数是3个．故选：C．【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．6．（2023秋·七年级课时练习）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：且，，故选：B．【点睛】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．二、填空题7．（2023春·河南周口·七年级统考阶段练习）已知，则．（填“”“”或“”）【答案】【分析】根据等式的基本性质进行解答即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是理解并掌握等式的基本性质，等式两边同时乘以一个数或整式，等式仍然成立．8．（2023春·湖南郴州·七年级校考期末）已知方程，用含x的代数式表示y的形式为．【答案】【分析】运用等式的性质，将含字母y的项放左边，其它项移到右边，将y的系数化为1．【详解】解：∴故答案为：【点睛】本题考查等式变形，掌握等式的性质是解题的关键．9．（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是，其中含有未知数的等式是，所以其中的方程是．（填序号）【答案】①③④⑤③④⑤③④⑤【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可．【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程，①是等式；②是多项式，既不是等式也不是方程；③既是等式也是方程；④既是等式也是方程；⑤既是等式也是方程，故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤．【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值为．【答案】【分析】利用一元一次方程的定义求解即可．【详解】解：∵是关于的一元一次方程，∴且，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义及一次项系数不能为．11．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）若是关于x的方程的解，则代数式的值是．【答案】【分析】把代入得，则，即可解答．【详解】解：把代入得：，∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．12．（2023秋·七年级课时练习）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为．【答案】【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答．【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米，由题意可得：．故答案为．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．三、解答题13．（2023秋·全国·七年级课堂例题）检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解．(1)；(2)；【答案】(1)不是方程的解，是方程的解(2)不是方程的解，是方程的解【分析】（1）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答；（2）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答．【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解．把代入方程，左边，右边，左边＝右边，所以是方程的解．（2）解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解；把代入方程，左边，右边，左边＝右边，所以是方程的解．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）完成下列解方程的过程．解：根据________________，两边________________，得________________．于是________________．根据________________，两边________________，得________________．【答案】等式的性质1，同时减去3，，1，等式的性质2，乘以（或除以），【分析】根据等式的性质解方程【详解】解：根据等式性质1，两边同时减去3，得．于是．根据等式的性质2，两边乘以（或除以），得．【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．15．（2023秋·七年级课时练习）利用等式的性质解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论；（2）先把等式的两边同时加4，再把两边同时除以2即可得出结论；（3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论；（4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论．【详解】（1）解：两边同时加5，得．（2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得．（3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得．（4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得．【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等．16．（2023秋·全国·七年级课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵．(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；(2)根据题意列出含未知数的方程；(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵(2)(3)见解析【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可；（2）直接列出等式即可；（3）利用代入法进行检验即可．【详解】（1）根据