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文档简介
山东省淄博第十中学2024-2025学年高三5月月考(二统模拟)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.2.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.3.已知函数(),若函数有三个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.4.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.若复数是纯虚数,则()A.3 B.5 C. D.6.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则的最小值为()A. B. C. D.7.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.8.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.9.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()A. B. C.或 D.10.已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则()A. B. C. D.11.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,点,B均在抛物线上,等腰直角的斜边为BC,点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标是________.14.已知集合,则_______.15.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中各项的系数和是________.16.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;②若,函数的零点不超过4个,则;③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.其中,正确命题的序号是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点的切线方程;(2)讨论函数的单调性.18.(12分)已知函数(I)当时,解不等式.(II)若不等式恒成立,求实数的取值范围19.(12分)在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取个,求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.20.(12分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)21.(12分)已知,且的解集为.(1)求实数,的值;(2)若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14,求实数取值范围.22.(10分)已知函数,当时,有极大值3;(1)求,的值;(2)求函数的极小值及单调区间.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.2.C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.3.A【解析】
分段求解函数零点,数形结合,分类讨论即可求得结果.【详解】作出和,的图像如下所示:函数有三个零点,等价于与有三个交点,又因为,且由图可知,当时与有两个交点,故只需当时,与有一个交点即可.若当时,时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵,故满足题意;时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点,故不满足题意;时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点,故不满足题意;时,显然与有一个交点,故满足题意.综上所述,要满足题意,只需.故选:A.本题考查由函数零点的个数求参数范围,属中档题.4.D【解析】
根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴离心率e1,故选:D.本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题.5.C【解析】
先由已知,求出,进一步可得,再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数,得且,所以,.因此,.故选:C.本题考查复数的除法、复数模的运算,考查学生的运算能力,是一道基础题.6.A【解析】
首先求得平移后的函数,再根据求的最小值.【详解】根据题意,的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数,所以,所以.又,所以的最小值为.故选:A本题考查三角函数的图象变换,诱导公式,意在考查平移变换,属于基础题型.7.D【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.8.C【解析】
根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.9.D【解析】
先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法,属于中档题.10.B【解析】
由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值.【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:.故选:.如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值.11.C【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.12.B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设出两点的坐标,结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程,解方程求得的坐标.【详解】设,由于在抛物线上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化为,可得,所以,解得,则.所以.故答案为:本题考查抛物线的方程和运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.14.【解析】
由可得集合是奇数集,由此可以得出结果.【详解】解:因为所以集合中的元素为奇数,所以.本题考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.15.【解析】
由题意得出展开式中共有11项,;再令求得展开式中各项的系数和.【详解】由的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以展开式中共有11项,所以;令,可求得展开式中各项的系数和是:.故答案为:1.本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,考查二项式展开式各项系数和的求法,属于基础题.16.①②③【解析】
根据偶函数的图象关于轴对称,利用已知中的条件作出偶函数的图象,利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解:当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:可知当时有5个不同的零点;故①正确;若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,时恒成立又当时,在上恒成立在上恒成立由于偶函数的图象,如下所示:直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.故答案为:①②③本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】(1)当时,,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.(2)的定义域是..①当时,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减;②当时,,所以当和时,;当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减;③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增;④当时,,所以和时,;时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.18.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)根据零点分区间法,去掉绝对值解不等式;(2)根据绝对值不等式的性质得,因此将问题转化为恒成立,借此不等式即可.试题解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集为.(Ⅱ)由不等式的性质得:,要使不等式恒成立,则当时,不等式恒成立;当时,解不等式得.综上.所以实数的取值范围为.19.(1)乙同学正确(2)分布列见解析,【解析】
(1)由已知可得甲不正确,求出样本中心点代入验证,即可得出结论;(2)根据(1)中得到的回归方程,求出估值,得到“理想数据”的个数,确定“理想数据”的个数的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【详解】(1)已知变量具有线性负相关关系,故甲不正确,,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为:(2)由(1)得到的回归方程,计算估计数据如下表:“理想数据”有3个,故“理想数据”的个数的取值为:.,,于是“理想数据”的个数的分布列本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系,以及离散型随机变量的分布列和期望,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.20.(1)见解析;(1)见证明【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,1ln1),∃x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1时,k′(x)>
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