2025年高考数学一轮复习2.1.2-不等式的性质-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习2.1.2-不等式的性质-专项训练【原卷版】1．已知a，b∈R，则“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}3．若关于x的不等式eq\f(ax,x－1)<1的解集为{x|x<1或x>2}，则实数a的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－2 D．24．甲、乙两人同时从寝室出发去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等)，则()A．两人同时到教室 B．谁先到教室不确定C．甲先到教室 D．乙先到教室5．已知点M(x0，y0)在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0>y0－1，则eq\f(y0,x0)的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,3)))B．(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))C．(－∞，－3]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,3)))6．(多选)已知命题p：关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是()A．－1<a<－eq\f(1,2) B．－eq\f(2,3)<a<0C．－1≤a≤0 D．a≥－17．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0C．若a>b，c>d，则a－d>b－cD．若a>b，c>d>0，则eq\f(a,d)>eq\f(b,c)8．已知不等式－x2－ax＋b≥0的解集为[－2,3]，则不等式|ax＋b|<5的解集为________．9．已知一元二次不等式2kx2＋kx＋eq\f(3,8)>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________．10．设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq\f(a,b)；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为eq\f(c,d)，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，求证：eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d)(其中b>a>0，d>c>0)．11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(4)<f(5)，则不等式f(1－x)<f(1)的解集为()A．(0，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(－4,0) D．(2,4)12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－a，x>0，,2x－1，x≤0，))若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1,1] D．(－∞，1)13．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a>b；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a<0且b<0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．14．设f(x)＝eq\f(x2,a－x)(常数a∈R)，且已知x＝3是方程f(x)－x＋12＝0的根．设常数k∈R，解关于x的不等式：(2－x)f(x)<(k＋1)x－k．15．(多选)已知两个不为零的实数x，y满足x<y，则下列结论正确的是()A．3|x－y|>1 B．xy<y2C．x|x|<y|y| D．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<ex－ey16．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农副产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为减少农民负担，制定积极收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点(x>0)，收购量增加2x个百分点，为使得税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%，求x的取值范围．2025年高考数学一轮复习2.1.2-不等式的性质-专项训练【解析版】1．已知a，b∈R，则“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A由题意，若a>|b|，则a>|b|≥0，则a>0且a>b，所以a|a|＝a2，则a|a|>b|b|成立．当a＝1，b＝－2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不成立，所以a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件．故选A．2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}解析：B不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为－n<x<m，故选B．3．若关于x的不等式eq\f(ax,x－1)<1的解集为{x|x<1或x>2}，则实数a的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2解析：A根据原不等式可以推出eq\f(ax,x－1)－1<0⇒eq\f(ax－x＋1,x－1)<0⇒eq\f(1－ax－1,x－1)>0⇒(x－1)[(1－a)x－1]>0，x≠1，因为不等式eq\f(ax,x－1)<1的解集为{x|x<1或x>2}，所以1,2是方程(x－1)[(1－a)x－1]＝0的两根，且1－a>0，所以(1－a)×2－1＝0⇒a＝eq\f(1,2)．故选A．4．甲、乙两人同时从寝室出发去教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等)，则()A．两人同时到教室 B．谁先到教室不确定C．甲先到教室 D．乙先到教室解析：D设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，∴T＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b)＝eq\f(sa＋sb,2ab)，ta＋tb＝s，∴2t＝eq\f(2s,a＋b)，∴T－2t＝eq\f(sa＋sb,2ab)－eq\f(2s,a＋b)＝s×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2ab)－\f(2,a＋b)))＝s·eq\f(a－b2,2aba＋b)>0．∴乙先到教室．故选D．5．已知点M(x0，y0)在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0>y0－1，则eq\f(y0,x0)的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,3)))B．(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))C．(－∞，－3]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,3)))解析：B由题意3x0＋y0＋2＝0，y0＝－3x0－2，∵x0>y0－1，∴x0>－3x0－2－1，解得x0>－eq\f(3,4)，eq\f(y0,x0)＝eq\f(－3x0－2,x0)＝－3－eq\f(2,x0)，∵x0>－eq\f(3,4)，且x0≠0，∴eq\f(1,x0)<－eq\f(4,3)或eq\f(1,x0)>0，∴－3－eq\f(2,x0)<－3或－3－eq\f(2,x0)>－eq\f(1,3)，∴eq\f(y0,x0)∈(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))．故选B．6．(多选)已知命题p：关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是()A．－1<a<－eq\f(1,2) B．－eq\f(2,3)<a<0C．－1≤a≤0 D．a≥－1解析：CD命题p：关于x的不等式x2－2ax－a>0的解集为R，则Δ＝4a2＋4a<0，解得－1<a<0，又(－1,0)[－1,0]，且(－1,0)[－1，＋∞)，故选C、D．7．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0C．若a>b，c>d，则a－d>b－cD．若a>b，c>d>0，则eq\f(a,d)>eq\f(b,c)解析：BC若a>0>b,0>c>d，则ac<bd，故A错误；若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(bc－ad,ab)>0，化简得eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，故B正确；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则eq\f(a,d)＝－1，eq\f(b,c)＝－1，eq\f(a,d)＝eq\f(b,c)＝－1，故D错误．故选B、C．8．已知不等式－x2－ax＋b≥0的解集为[－2,3]，则不等式|ax＋b|<5的解集为________．解析：因为不等式－x2－ax＋b≥0的解集为[－2,3]，所以－2,3是方程－x2－ax＋b＝0的两个根，所以a＝－1，b＝6．所以不等式|ax＋b|<5等价于|－x＋6|<5，解不等式|－x＋6|<5，得－5<x－6<5,1<x<11，即不等式|ax＋b|<5的解集为(1,11)．答案：(1,11)9．已知一元二次不等式2kx2＋kx＋eq\f(3,8)>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________．解析：因为不等式2kx2＋kx＋eq\f(3,8)>0为一元二次不等式，所以k≠0，又一元二次不等式2kx2＋kx＋eq\f(3,8)>0对一切实数x都成立，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k>0，,Δ＝k2－4×2k×\f(3,8)<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,0<k<3，))即0<k<3，所以实数k的取值范围是{k|0<k<3}．答案：{k|0<k<3}10．设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq\f(a,b)；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为eq\f(c,d)，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，求证：eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d)(其中b>a>0，d>c>0)．证明：∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，且b>a>0，d>c>0，∴ad<bc，即bc－ad>0，eq\f(a,b)－eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(ab＋ad－ab－bc,bb＋d)＝eq\f(ad－bc,bb＋d)<0，即eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，eq\f(c,d)－eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(cb＋cd－ad－cd,db＋d)＝eq\f(cb－ad,db＋d)>0，即eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d)．∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d)．11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(4)<f(5)，则不等式f(1－x)<f(1)的解集为()A．(0，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(－4,0) D．(2,4)解析：C依题意，由f(3＋x)＝f(3－x)可知二次函数关于直线x＝3对称，又因f(4)<f(5)，则f(x)＝ax2＋bx＋c，在(3，＋∞)单调递增，所以f(x)开口向上且f(1)＝f(5)，根据二次函数的对称性，若f(1－x)<f(1)，即有1<1－x<5，所以－4<x<0．故选C．12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－a，x>0，,2x－1，x≤0，))若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1,1] D．(－∞，1)解析：B由不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，即f(x)≥－1在R上恒成立，可得：当x≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0显然成立；当x>0时，x2－a≥－1，即a≤x2＋1，即a≤1．综上可得a≤1，故选B．13．已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a>b；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a<0且b<0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．解析：若a>b，a<0且b<0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，证明：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵a>b，∴b－a<0．∵a<0，b<0，∴ab>0，则eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，故eq\f(1,a)<eq\f(1,b)．答案：若a>b，a<0且b<0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)(答案不唯一)14．设f(x)＝eq\f(x2,a－x)(常数a∈R)，且已知x＝3是方程f(x)－x＋12＝0的根．设常数k∈R，解关于x的不等式：(2－x)f(x)<(k＋1)x－k．解：将x＝3代入方程f(x)－x＋12＝0，解得a＝2，故f(x)＝eq\f(x2,2－x)，∵(2－x)f(x)<(k＋1)x－k(x≠2)，∴x2－(k＋1)x＋k<0(x≠2)，即(x－1)(x－k)<0(x≠2)．①当k∈(－∞，1)时，不等式的解集为(k,1)；②当k＝1时，不等式的解集为∅；③当k∈(1,2]时，不等式的解集为(1，k)．④当k∈(