2025高考数学一轮复习-8.1.1-第1课时-条件概率-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-8.1.1-第1课时-条件概率-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．抛掷一颗质地均匀的骰子所得点数的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{1,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为eq\f(3,10)，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为eq\f(1,2)，则事件A发生的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,10)3．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)5．已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.326.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”．则P(B|A)＝()A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(20,57)7．(多选题)下列说法错误的是()A．P(B|A)＝P(AB)B．P(B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的C．0<P(B|A)<1D．P(Ω|A)＝08．(多选题)下列说法正确的是()A．若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0B．若事件A等于事件B且P(A)P(B)≠0，则P(B|A)＝1C．P(B|A)与P(A|B)相同D．若P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，则P(B|A)＝eq\f(1,2)二、填空题9．一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是.10．抛掷红、黄两颗骰子，设事件A为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于7”．当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为.11．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为.三、解答题12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求：(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．13．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．(1)求男生甲被选中的概率；(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．14．(多选题)记eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分别为A，B的对立事件，且P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(A|B)＝eq\f(3,4).则()A．P(B|A)＝eq\f(3,8) B．P(eq\x\to(A)|B)＝eq\f(1,4)C．P(A∪B)＝eq\f(3,10) D．P(eq\x\to(A)∪eq\x\to(B))＝eq\f(7,10)15．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.男生女生有参加滑雪运动打算810无参加滑雪运动打算1012从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为.16．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为eq\f(7,9)，(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．2025高考数学一轮复习-8.1.1-第1课时-条件概率-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．抛掷一颗质地均匀的骰子所得点数的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{1,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)的值为(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：因为A＝{1,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，∴A∩B＝{1,5}，所以n(B)＝5，n(AB)＝2，故P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(2,5).故选B.2．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为eq\f(3,10)，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为eq\f(1,2)，则事件A发生的概率为(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,10)解析：由题意得P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，根据条件概率的公式得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),PA)＝eq\f(1,2)，解得P(A)＝eq\f(3,5).所以事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(3,5).故选A.3．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为(D)A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,5)解析：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故选D. 4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于(C)A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：甲独自去一个景点有3种，乙、丙有2×2＝4种，则B＝“甲独自去一个景点”，共有3×4＝12种，A＝“三个人去的景点不相同”，共有3×2×1＝6种，所以概率P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(nA,nB)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).故选C.5．已知某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是(B)A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.32解析：设事件A＝“某种动物由出生算起活到20岁”，事件B＝“某种动物由出生算起活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，显然AB＝B，即P(AB)＝P(B)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.故选B.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”．则P(B|A)＝(D)A.eq\f(5,16) B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32) D.eq\f(20,57)解析：每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”．P(A)＝1－eq\f(1,26)－eq\f(C\o\al(1,6),26)＝eq\f(57,64)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(3,6),26)＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16)，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,16),\f(57,64))＝eq\f(20,57).故选D.7．(多选题)下列说法错误的是(ACD)A．P(B|A)＝P(AB)B．P(B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的C．0<P(B|A)<1D．P(Ω|A)＝0解析：∵P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，eq\f(1,PA)≥1，∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错误；当P(A)＝1时，P(B)＝P(AB)，则P(B|A)＝P(B)＝eq\f(PB,PA)，∴B正确；而0≤P(B|A)≤1，P(Ω|A)＝1，∴C、D错误．故说法错误的是ACD.8．(多选题)下列说法正确的是(ABD)A．若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0B．若事件A等于事件B且P(A)P(B)≠0，则P(B|A)＝1C．P(B|A)与P(A|B)相同D．若P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，则P(B|A)＝eq\f(1,2)解析：选项A，因为事件A与B互斥，所以在事件A发生的条件下，事件B不会发生，即P(B|A)＝0，正确；选项B，因为事件A等于事件B，所以事件A发生，事件B必然发生，即P(B|A)＝1，正确；选项C，由条件概率的概念知，该说法错误；选项D，由条件概率的定义知，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)，正确．故选ABD.二、填空题9．一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是eq\f(1,5).解析：若事件A为“一位医生是男医生”，事件B为“另一位医生也是男医生”，∴P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，而P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(5,7)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,5).10．抛掷红、黄两颗骰子，设事件A为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于7”．当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为eq\f(7,12).解析：设x为掷红骰子的点数，y为掷黄骰子的点数，(x，y)共有6×6＝36种结果，则黄色骰子的点数为3或6共有12种结果，事件A，B同时发生的所有结果有7种，利用古典概型概率公式可得P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(7,36)，由条件概率公式可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,36),\f(1,3))＝eq\f(7,12).11．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为eq\f(46,91).解析：根据题意，15项“世界互联网领先科技成果”中，其中5项为芯片领域，10项为非芯片领域，其中华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”也属于芯片领域，设“选出的3项中，其中1项选择华为高性能服务器芯片‘鲲鹏920’”为事件A，则共有n(A)种情况，即n(A)＝Ceq\o\al(2,14)＝91，设“选出的3项中至少有2项属于芯片领域”为事件B，则n(AB)＝Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,4)＝46，所以在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(46,91).三、解答题12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求：(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．解：设第i次接通电话为事件Ai(i＝1,2,3)，则A＝A1∪(eq\x\to(A)1A2)∪(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)表示“拨号不超过3次就接通电话”．(1)因为事件A1与事件eq\x\to(A)1A2，eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3彼此互斥，所以P(A)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＋eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(3,10).(2)用B表示“最后一位是奇数”的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(eq\x\to(A)1A2|B)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＋eq\f(4×3×1,5×4×3)＝eq\f(3,5).13．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．(1)求男生甲被选中的概率；(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．解：(1)记4名男生为A，B，C，D,2名女生为a，b，从6名成员中挑选2名成员，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A，事件M所包含的样本点数为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故P(M)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，则P(MN)＝eq\f(1,15)，又由(1)知P(M)＝eq\f(1,3)，故P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(1,5).(3)记“挑选的2人一男一女”为事件S，则P(S)＝eq\f(8,15)，“女生乙被选中”为事件N，P(SN)＝eq\f(4,15)，故P(N|S)＝eq\f(PSN,PS)＝eq\f(1,2).14．(多选题)记eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分别为A，B的对立事件，且P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(A|B)＝eq\f(3,4).则(ABC)A．P(B|A)＝eq\f(3,8) B．P(eq\x\to(A)|B)＝eq\f(1,4)C．P(A∪B)＝eq\f(3,10) D．P(eq\x\to(A)∪eq\x\to(B))＝eq\f(7,10)解析：由题可知，P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，则P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,15)＝eq\f(1,10)，对于A，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8)，故A正确；对于B，P(eq\x\to(A)|B)＝eq\f(P\x\to(A)B,PB)＝eq\f(PB－PAB,PB)＝eq\f(\f(2,15)－\f(1,10),\f(2,15))＝eq\f(1,4)，故B正确；对于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(4,15)＋eq\f(2,15)－eq\f(1,10)＝eq\f(3,10)，故C正确；对于D，P(eq\x\to(A)∪eq\x\to(B))＝1－P(AB)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)，故D错误．故选ABC.15．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.男生女生有参加滑雪运动