2025年高考数学一轮知识点复习-2.11函数模型的应用-专项训练【含答案】

函数的概念与性质第十一节函数模型的应用1.有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘.假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x（小时），货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）2.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y（单位：毫克）与时间x（单位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是（）A.y＝ax＋b B.y＝a·14x＋b（a＞C.y＝xa＋b（a＞0） D.y＝ax＋bx（a＞0，b＞03.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝12x2＋2x＋20（万元）.1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为（A.36万件 B.18万件C.22万件 D.9万件4.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者传染人数为R0N（N－V）.已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为A.45% B.55%C.65% D.75%5.北京时间2023年5月30日9时30分，神舟十六号载人飞船发射成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（km/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是v＝2000ln（1＋Mm）.按照这个规律，当1000M＝6m时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：ln1.006≈0.006）（A.7.9km/s B.11.2km/sC.12km/s D.16.7km/s6.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），则下列结论正确的是（）A.当x＞1时，甲走在最前面B.当x＞1时，乙走在最前面C.当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA（a为常数），广告效应为D＝aA－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为（用常数a表示）.8.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1－3－λt），λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝89λ，则λ＝9.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式f（x）＝5x－2，0≤x≤1，35·13x，x>110.某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是该企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2020202120222023…年投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b（k≠0）；②y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）；③y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）.（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.11.农业农村部发布2024年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过（参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901）（）A.122天 B.124天C.130天 D.136天12.（多选）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A.a＝3B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C.注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5313213.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f（x）（单位：米）与生长年限x（单位：年）满足关系f（x）＝411+3kx＋b（x∈N）.树木栽种时的高度为12米（1）求f（x）的解析式；（2）问从种植之日起，第几年树木生长最快？参考答案与解析1.A分析图象可知选项A正确.故选A.2.B由题图可知，函数在（0，＋∞）上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y＝a·14x＋b的图象为一条曲线，且当a＞0时，该函数单调递减，符合题意，3.B利润L（x）＝20x－C（x）＝－12（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值.故选4.D为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N（N－V）≤1，即R0·（1－VN）≤1.因为R0＝4，所以1－VN≤14，可得V5.C因为v＝2000ln（1＋Mm），当1000M＝6m时，则Mm＝6所以v＝2000ln（1＋0.006）＝2000ln1.006≈2000×0.006＝12km/s.故选C.6.CD由题意知，甲、乙、丙、丁对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1（2）＝3，f2（2）＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1（5）＝31，f2（5）＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.7.14a2解析：令t＝A（t≥0），则A＝t2，∴D＝at－t2＝－t－12a2＋14a2，∴当t＝12a，即A＝8.14解析：因为89λ＝λ（1－3－8λ），所以3－8λ＝19＝3－2，解得λ9.4解析：当0≤x≤1时，由f（x）≤0.02，得5x－2≤0.02，解得x≤2＋log50.02＝log50.5＜0，不符合题意；当x＞1时，由f（x）≤0.02，得35·13x≤0.02，即31－x≤0.1，解得x≥1－log30.1＝1＋log310.因为3＜1＋log310＜4，所以此驾驶员至少要过10.解：（1）将（3，1），（5，2）代入y＝kx＋b（k≠0），得1=3k＋b，2=5k＋b，解得当x＝9时，y＝4，不符合题意；将（3，1），（5，2）代入y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1），得1=ab3，2=ab5，解得a当x＝9时，y＝29－32将（3，1），（5，2）代入y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1），得1=loga（3+b),2=loga（5+b当x＝9时，y＝log28＝3；当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系.（2）令log2（x－1）≥6，则x≥65.∵665＜10%，∴该企业要考虑转型11.A由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则N0（1+6%）nN0＝1200，∴1.06n＝1200，∴n＝log1.061200＝ln1200ln1.06≈121.614，∵n∈N12.AD由函数图象可知y＝4t（0≤t<1),（12）t－a（t≥1),当t＝1时，y＝4，即（12）1－a＝4，解得a＝3，∴y＝4t（0≤t<1),（12）t－3（t≥1),故A正确；药物刚好起效的时间，当4