6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版

教学设计

课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学目标1.能用坐标表示平面向量的数量积,培养数学抽象的核心素养；2.能用坐标表示平面向量的模及夹角，提升数学运算的核心素养；3.能用坐标表示两个平面向量垂直的条要条件，培养数学运算的核心素养.教学内容教学重点：平面向量数量积的坐标表示.

教学难点：用向量运算的坐标表示解决问题.教学过程【自主学习】自主学习目标：1.平面向量数量积的坐标如何表示？2.平面向量模的如何坐标表示?3.平面向量夹角的如何坐标表示?4.平面向量垂直的如何坐标表示？自主学习内容：探究一:平面向量数量积和垂直的坐标表示问题1:设i，j为正交单位向量，则i·i=______；j·j=______；i·j=_____．问题2：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？问题3：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用坐标表示a⊥b呢？两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)数量积两个向量的数量积等于它们，即a·b＝向量垂直a⊥b⇔注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．探究二:平面向量模的坐标表示问题4：若a＝(x，y)，，如何计算向量的模|a|呢？问题5：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量eq\o(AB,\s\up6(→))的模？探究三:平面向量夹角的坐标表示问题6：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用坐标表示a与b的夹角呢？与向量的模、夹角相关的几个重要公式：1.向量的模的坐标表示：设a＝(x，y)，则|a|＝.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.3.向量的夹角的坐标表示：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝.注意：由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π自我检测题：判断正误(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()自主学习问题反馈【探究学习】课堂探究目标：通过探究，理解并能用坐标表示平面向量的数量积，会表示坐两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线和垂直的条件题型一:平面向量的夹角和垂直问题例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC是什么形状？证明你的猜想.思考：是否还有其他方法？变式：【链接高考】1.（2022·新高考Ⅱ）已知，若，则（）A. B. C.5 D.62.（2022·全国甲）已知向量．若，则______________．点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a·b以及|a|，|b|，再由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，求出cosθ，也可由cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2.由于0≤θ≤π，所以利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.题型二:平面向量数量积的坐标运算例3.已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)．点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．题型三:平面向量的模例4.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4eq\r(2)B．2eq\r(5)C．8 D．8eq\r(2)【链接高考】（2022·全国乙）已知向量，则（）2 B.3 C.4 D.5点拨：求向量的模的两种方法：(1).字母表示下的运算，利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq\r(x2＋y2)【归纳总结】知识总结：(一个意义、四个公式)方法总结：化归与转化、数形结合、分类讨论（三种方法）易错点总结：两向量的夹角公式容易记错（一个易错点）【分层作业】A层：基层巩固（必做）、拓广探索（选做）基础巩固1.若向量＝3，则x＝()A.3B.－3C.eq\f(5,3)D.－eq\f(5,3)2.已知那么的夹角θ＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)3.已知向量若与垂直，则等于()A.1B.eq\r(2)C.2D.44.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，则eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝________.5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形拓广探索