新高三(数学暑期辅导材料)

暑期辅导训练（1）

一、考试内容：集合、子集、补集、交集、并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要

条件.

二、考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；

了解属于、包含、相等关系的意义：掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单

的集合.

三、基础知识：

（一）、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上最高的山

（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合｛H,A,P.Y）

（3）元素的无序性：如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一个集合

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的篮球队员｝,｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

用拉丁字母表示集合：A=（我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,51

♦注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

元素与集合之间的关系：

4.集合的表示方法：

1）列举法：｛a,b,c……｝

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内

表示集合的方法。｛xeR|x-3>2｝,｛x|x集合｝

坐标轴上的点集：｛（x,y）：xy=0,xWR,蚱田.

3）Venn图：

4、集合的分类：

（1）有限集:含有有限个元素的集合

（2）无限集:含有无限个元素的集合

（3）空集:不含任何元素的集合例：｛X|X2=-5｝

（二）、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：A工6有两种可能（1）A是空集（2）A是B的一部分（3）A=B«

子集性质：（1）AaA（2）0gA（3）如果A=B,B=C,那么AcC

2.“相等”关系:A=B（525,且5W5,则5=5）

实例：设A=｛XN-1=0｝B=｛T,1｝“元素相同则两集合相等”

如果A=B同时BcA那么A=B

3.真子藁:如果AcB,且AxB那就说集合A是集合B的真子集，记

UD

作A#B（或BHA）

真子集性质：（1）空集是任意非空集合的真子集（2）真子集的传递性

4.不含任何元素的集合叫做空集，记为0

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

♦有n个元素的集合，含有2"个子集，2"7个真子集，2〃一2个非空真子集。

（三）、集合的运算

定由所有属于A且由所有属于集合A设S是一个集合，A是S的一个

义子集，由S中所有不属于A的

属于B的元素所或属于集合B的元

元素组成的集合，叫做S中子

组成的集合，叫素所组成的集合，

集A的补集（或余集）

做A.B的交叫做A,B的并集.记

记作C$A,即

集.记作ACB作：AUB（读作'A

（读作'A交并B'),即ABCsA={xlxeS,KxgA}

B'),即ACB=={x|xGA,或

{x|xGA,且XGB}).

XGB).

韦

恩a—“

图CB)

示如豳

性AcA=AAuA=A(CMCSXGXADB)

4c0=0Au0=A(CUA)5CU8)=CU(ACB)

Ar\B=BryAA'uBB'UAAD(QA)=U

AcBqAAuB=A

质An(CuA)=0

oB

（四）.简易逻辑：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、若p,则q”形式的命题中的〃称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、原命题：“若口,则逆命题：“若q,则0”

否命题：“若,则F”逆否命题："若「4，则

4、四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，同真同假；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

5、若p=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

若poq,则〃是q的充要条件（充分必要条件）.

利用集合间的包含关系：例如：若A=5,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;

若人=8,则A是B的充要条件；

6、逻辑联结词：⑴且：命题形式p/\q；⑵或（or）：命题形式pvq；

⑶非（not）：命题形式-ip.

pqp^qPvq

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

7、⑴全称量词“所有的”、“任意”、“每一个”等，用“V”表示;

全称命题P：VxeA/,p(x)；全称命题p的否定->p：3xeM,-np(x)»

例子：命题Wxe7?,x2+x+1>0的否定为G/?,x2+x+l<0

⑵存在量词——“存在一个”、“有些”，“有一个”等，用“三”表示；

存在性命题0：3x^M,p(x)；存在性命题p的否定「p：VxeA/，r?(x)；

例子：命题11€/?,/+》+1=0的否定为7；(€/?/2+%+170

四高考实战演练：

1.［2011・安徽卷］集合U={123,4,5,6},5={1,4,5},7={2,3,4},则SC(Ct/O等于

2.［2011•安徽卷］设集合A={12,3,4,5,6},8={4,5,67,8},则艇SUA且SCBW。的集合

S的个数是

3.［2011•北京卷］已知集合尸={xl?Wl},M={a}.若PUM=P，则a的取值范围是

4.［2011・北京卷］已知全集U=R,集合尸={xl?Wl},那么

5.［2011.全国卷］设集合〃={1,2,3,4},知={1,2,3},%={2,3,4},则［(/("。根=

6.12011・福建卷］i是虚数单位，若集合S={-1,01},贝ij()

A.iCSB.i2SS

C.i3GsD.WdS

1

7.［2011・福建卷］若集合M={—1,0/},N={0』，2},则MAN等于___________

8.［2011・湖北卷］已知U={yly=k)g2X,x>l},尸=%)'=:，x>^则［uP=

9.［2011•湖北卷］已和U={1,2,3,4,5,678},A={1,3,5,7},8={2,4,5},贝U「u(AU8)=

10.［2011.江西卷］若全集U={123,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于

11.[2011•辽宁卷]已知M,N为集合/的非空真子集，且N不相等，若Nn["=0,

则MUN=()

A.MB.NC./D.。

12.[2011•辽宁卷]已知集合4={如:>1},B={x\~\<x<2}f贝|JAA8=___________

13.[2011•课标全国卷]已知集合知={0,123,4},N={1,3,5},P=MCN,则。的子集共有

14.［2011.课标全国卷］B【解析】因为柳={0,1,2,3,4},N={1,3,5),所以2

=#0/V—___________

15.［2011.山东卷］设集合知="1?+》-6<0},N={xllWxW3},则MCN=___________

［2011・陕西卷］设集合M={yly=lcos2x—siMxl,xER),N=x"x—；|<^2,i为虚数

16.

单位，xFR,则MCN为

17.［2011・江苏卷］已知集合4={-1,124},5={-1,0,2},则ACB=.

18.［2011.四川卷］若全集M={1,2,3,4,5},N={2,4},则

［2011・天津卷］已知集合4=口6郎、+31+1¥—41忘9},B=xWRx=4f+：—6,fW(0,

19.

+°°),则集合ACB=.

20.[2011・天津卷]已知集合4={xGRIk—ll<2},Z为整数集，则集合4nz中所有元素的

和等于,

21.[2011.重庆卷]设0=1<M={X\X2-2X>0},则

22.[2011・安徽卷]命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()

A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

23.[2011・福建卷]若aSR,则“a=2”是“仅一1)3—2)=0”的(条

件)

24.[2011•福建卷]若“WR,则“”=1”是“1.1=1”的(条件)

25.[2011・湖北卷]若实数a,b满足a20,bNQ,且油=0,则称。与匕互补.记o(a,b)

=yja*2+*4b2—a—h,那么(p(a,匕)=0是a与b互补的(条件)

26.[2011・湖南卷]设集合M={1,2},N={/},则％=1”是“NUM”的

27.[2011糊南卷]“Q1”是“1>1”的(条件)

28.[2011•江西卷]已知a”a2,04是三个相互平行的平面，平面囚,a2之间的距离为4，

平面Ot2，0(3之间的距离为&2，直线/与囚，a2»0(3分别相交于尸1，尸2,23，那么“。122

=尸2P3”是“di=d2”的(条件)

29.[2011•山东卷]对于函数y=/(x),x£R,“y=|/(x)l的图象关于y轴对称”是“y=/(x)是

奇函数”的_______________

30.[2011•山东卷]已知a,b,cSR,命题“若a+b+c=3,则的否命题

是_________________________

31.[2011•陕西卷]设a,b是向量，命题“若a=-b,则lal=l〃”的逆命题是

32.[2011•四川卷]“x=3"是“』=9”的

33.[2011・天津卷]设x,yGR,则“x22且y22"是'室十/与旷的

34.[2011•天津卷]设集合A={xGRbr-2>0},B={xGRlx<0},C={xWRIx(x-2)>0},则“X

GAUB”是“xCC”的

35.[2011•浙江卷]若a,b为实数，则"0<裙<:'是或的

36.[2011.重庆卷]“xV—1”是“』一1>0”的

37.[2011•广东卷]已知集合人={。，y)\x,y为实数，且¥+y2=i},8={(x,y)\x,y为实

数，且〉=灯，则AC8的元素个数为

38.[2011♦广东卷]已知集合4={。，y)\x,y为实数，且，+丁=1},8={(x,y)lx,y为实

数，且x+y=l},则4n8的元素个数为_______________

39.[2011•江西卷]若集合4={XL1W2X+1〈3},8=M\^<0|■，则408=

40.[2011糊南六校联考]已知命题p：“DxGR,三〃?€1<4'-2*7+m=0"，且命题^0

是假命题，则实数机的取值范围为.

41.集合A={2,3,4},集合B={1,2,4,5},若xeA且则x=

22

42.(2010湖北卷理)设集合A={(x,刈土+2~=1},B={(x,y)ly=3*},贝JIACB的子

416

集的个数___________

43.(2010海南卷理)已知集合A=卜卜|R},B=|X|A/X<4,xe,则

AD8=_________

44.(2010山东卷理)已知全集〃=??,婚「},贝iJCuM=_

45.(2010安徽卷理)若集合4={x卜g],,则CUA=

46.(2010陕西卷理)对于数列{《,},"凡+|>IanI(n=l,2…)”是“{4,}为递增数

歹的_____________

47.(2009年上海卷理)“-2Wa<2”是“实系数一元二次方程/+ax+1=0有虚根”

的______________

48.(2010山东卷理)设{4}是等比数列，则“alVa2Va3”是数列{an)是递增数列

的

49.(2009山东卷理)集合A={0,2,a},8={1,/},若AUB={0』,2,4,16},则a的值为

50.(2009陕西卷文)设不等式Y—x<0的解集为M,函数/(x)=ln(l—1x1)的定义域为

N则MCN为______________

51.(2009四川卷理)设集合S={xl|x|<5},7'={xlx2+4x-21<0},则

SC\T=

52.(2009年上海卷理)已知集合&={%1》<1},8={xlx»a},且=则实

数a的取值范围是__________________.

53.(2009重庆卷理)若4=卜€同凶<3},5={xe>1},则=

暑期辅导训练(2)

一、考试内容：

函数概念、函数的解析式、函数的单调性、奇偶性.指数概念的扩充.有理指数毒的运算性

质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数模型及其应用，冥函数，函数与方

程.

函数的应用.

二、考试要求：

(1)理解函数的概念.

(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.

(3)理解分数指数恭的概念，掌握有理指数幕的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和

性质.

(4)理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质.

(5)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

(6)能够了解某函数的定义，对于函数与方程能够解决简单的问题

三、基础知识：

(一)函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照对应法则f,使对于集合A中的每一

个元素x,在集合B中都有唯一的y和它对应，那么就称这样一个人对应为从集合A

到集合B的一个函数.记作：y=f(x),xGA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A

叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xSA)

叫做函数的值域.

注意：

1.定义域：能使函数有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分

都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，(例：>=犬+了的定义域为{》1X#0})

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

例：长度只能为正，人数只能为正整数

2.值域：先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数相等：①表达式相同(经过化简之后)(与表示自变量和函数值的字母无关)；

②定义域相同(3)值域相同

4.函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的•种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是

要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有：

8、凑配法

9、待定系数法

10、换元法

11、消参法

例：已知/。)=/+3求〃x+2)

5.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

⑵各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并

集.

6.复合函数

如果y=f(u)(uWM),u=g(x)(xWA),则y=f[g(x)]=F(x)(xSA)称为f、g的复合函数。

(二).函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于定义域A内的某个区间I内的任意两个自变

量X”X2,当X《X2时,都有f(xj<f(x”,那么就说f(x)在区间I上是增函数.区间I

称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间I上的任意两个自变量的值X”x2,当xKxz时,都有f(xi)>f(X2),

那么就说F&)在这个区间上是减函数.区间L称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质：

(2)图象的特点

如果函数■⑨在某个区间是增函数或减函数，那么说函数产丁⑨在这一-区间上具

有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从

左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

①任取X”X2GD,且X1<X2；

(2)作差f(xj-f(xz)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(Xl)-f(X2)的正负)；

©下结论(指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其

规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一

起写成其并集.

2.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意个X,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫

做偶函数.

(2).奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就

叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.(倒过来也成立)

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

©确定f(一x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：若f(—x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若

f(-X)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义

域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定；

3.函数最大(小)值

($)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

②利用图象求函数的最大(小)值

(3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f(x)在

x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f(x)在

x=b处有最小值f(b)；

(三)、指数函数

指数与指数累的运算

1.根式的概念：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,且〃e

N*.

♦负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作.；

当〃是奇数时，行=。，当”是偶数时，VF=iai=r(a~0)

-a(a<0)

2.分数指数幕

正数的分数指数塞的意义，规定：

m____

anN*,n>T),

-1

an—____,—1(a>0,£N*,〃>1)

m

Ma

a-

♦0的正分数指数基等于0,0的负分数指数塞没有意义

3.有理数指数基的运算性质

(1)，•优=a'+'、(a>0,r,seQ)；

(2)(a')'""(a>0,r,$eQ)；

(3)(ah)r=arhr(a>0,r,5GQ).

指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数），=相（。>0,且。*1）叫做指数函数，其中X是自

变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>l0<a<l

定义域R定义域R

值域y>0值域y>0

在R上单调递增在R上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点函数图象都过定点

（0,1）（0,1）

（四）、对数函数

对数

1.对数的概念：一般地，如果优=N那么数x叫做步a力底N的

对数，记作：x=logflN（a—底数，N—真数，log”N一对数式）

说明：①注意底数的限制a>0,且awl；

（2）a'=N=log,,N=x；

（3）注意对数的书写格式.

两个重要对数：二二一二二二二

①常用对数：以10为底的对数lgN；

（2）自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数InN.

♦指数式与对数式的互化

幕值真数

b

a—NologaN=b

底数

指数对数

对数的运算性质

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么：

①logn(M-N)=log“〃+logaN；

c,M一，》，

②log„—=log,,M-log„N；

③log“Mn=nlog“M(〃wR).

注意：换底公式

logh

log”。=--£—(a>0,且awl；c>0,月.cwl；/?>0).

log"

利用换底公式推导下面的结论

⑴logb"=—log,,b；（2）log,,b=--1—.

mlog%a

对数函数

1、对数函数的概念：函数y=log“x（a>0,且awl）叫做对数函

数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意

辨别。如：y=21og2^,y=logs土都不是对数函数，而只能称

其为对数型函数.

②对数函数对底数的限制：（。>0,且awl）.

1.对数函数的性质：

（五）、冥函数y=xa

哥函数y=x"(aeR)

a-a<00<a<la>1a-1

q

:/•

\a.n./

Ja,i)

p为奇数a,i)

奇函数

q为奇数e*-V)(

(T.-li

/

p为奇数1

q为偶数■----------

1

^aj>■/

\、

P为偶数H,1)X

偶函数

q为奇数(-1.1)、

第一象限性

减函数增函数过定点(01)

质

(六)、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=/(x)(xeO),把使/(x)=0成立的实数x叫做函

数>=/(x)(xe。)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数

y=/(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程/(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点=函数y=/(x)

有零点.

3、函标零点的求法：

①(代数法)求方程/(X)=0的实数根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起

来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数y-ax2+bx+c(aH0).

(1)△>0,方程ad+Ox+cuO有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交

点，二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程以2+区+。=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交

点，二次函数有一个1个零点

(3)△<0,方程4炉+协；+，=()无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函

数无零点.

四、高考实战演练：

1.[2011•安徽卷]函数的定义域是_______.

y]6—x—x

2。x>0,

2.|2011•福建卷］已知函数/(x)=,…若共a)+/(l)=O,则实数a的值等于_______

xI1fxWO.

3.[2011・广东卷]函数;(x)=±+lg(l+x)的定义域是

flgx,x>0,

43】.陕西卷]设阿=|正后。，则所2))=—

—x,x<0,

5.［2011・浙江卷］设函数2若/(a)=4,则实数a=

x',x>0.

4

6.［2011•浙江卷］设函数段)==,若式a)=2,则实数a=

7.12011•江苏卷］函数犬x)=log5(2x+I)的单调增区间是.

8.［2011.安徽卷］设於)是定义在R上的奇函数，当xWO时,/)=2?—》,则4)=.

9.［2011・广东卷］设函数/(x)=x3cosx+l.若犬。)=11,则/(—。)=.

2,在2,

10.［2011•北京卷］已知函数/(x)=«x若关于x的方程/(》)=上有两个不同的实

.(X—1)3,x<2.

根，则实数k的取值范围是.

2

11.［2011.江苏卷］在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数/(x)=i的图象

交于P、。两点，则线段PQ长的最小值是.

2x+mx<l,

12.［2011•江苏卷］已知实数a/0,函数/(x)=°若十一")=川+幻，贝Ija

_x2〃，x1,

的值为.

2一，百i,

13.[2011•辽宁卷]设函数f(x)=则满足Hx)<2的x的取值范

1—log2X,x>1,

14.［2011•浙江五校联考］已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，则满足f(2x—

*)</■(m)的x的取值范围是

15.［2011・天津卷］已知Iog2a+log2b'l，则3"+9”的最小值为.

Y

16.［2011•辽宁卷］若函数/)=3+］)(「“)为奇函数，则。=

17.［2011•浙江卷］若函数/U)=*—k+al为偶函数，则实数。=.

18J20I1.山东卷］若点3,9)在函数y=3'的图象上，则tan,的值为

19.［2011・江西卷］若於)=—J-----,则/(x)的定义域为__________

1碱2x+l)

20"2011.课标全国卷(改)］在下列区间中，函数/)=e'+4x-3的零点所在的区间为(0」),

2

则下一个更精确的区间为

21.［2011•陕西卷改］函数兀0=5—cosx在［0,+8)内有个零点。

22.［2011•陕西卷］方程lxl=cosx在(一8,+8)内由个根。

23.［201】课标全国卷］已知函数y=/(x)的周期为2,当正［-1,1］时段)=~那么函数了=

的图像与函数y=llgd的图像的交点共有个

24.[2011.江西卷]若/(x)=—：------,则及0的定义域为________

1。$(2x+l)

25.[2011•浙江卷]若函数/)=$一Lx+al为偶函数，则实数a=.

26.[2011•湖北卷]已知定义在R上的奇函数/(X)和偶函数g(x)满足./(x)+g(x)=/—相'+

2(〃>0,且。/1).若g(2)=a,则八2)=

暑期辅导(3)

一、考试内容：

(1)导数的概念.几何意义

(2)多项式函数的导数，导数的运算

(3)利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.

(4)导数在实际问题中的应用

二、考试要求：

1)了解导数的概念与曲线上一点的斜率与该点瞬时变化率的关系

2)理解导数的几何意义.

3)掌握导数运算，y=c(c为常数)、y=x"(ndN+)等的导数公式，会求多项式函数的导数.

4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、

极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.

5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

三、基础知识：

函数的最值

1、若某个问题中的函数关系用/（X）表示，问题中的变化率用式子/（々）一/（XJ

%2一再

=竺表示，则式子‘（'"一"'）称为函数/（X）从玉到X,的平均变化率.

Axx2-x}

2、函数/（x）在x=/处的瞬时变化率是二、/，则称它为函数

y=/（x）在x=x（）处的导数,记作/'（凡）或y'[=r，即

小。）=强小热'㈤

3、函数y=/（x）在点与处的导数的几何意义是曲线y=〃x）在点P（x°j（xo））处的切

线的斜率.曲线y=〃x）在点P（XoJ（x。））处的切线的斜率是r（x0），切线的方程为

/

y~fM=/（x0）（x-x0）.若函数在不处的导数不存在,则说明斜率不存在,切线的方

程为X—X。.

4、若当x变化时，/（x）是x的函数，则称它为/卜）的导函数（导数），记作:卜）或y',

lim"*+词―/⑴

即尸(x)=y'=

©T°Ax

5、基本初等函数的导数公式:

⑴若〃x)=c,则/(x)=0；

(2)若/(x)=x",则/'(x)=〃fi；

(3)若/(x)=sinx,则尸(x)=cosx；

(4)若/(x)=cosx,贝ij/'(X)=-sinx；

(5)若/(耳=能，则/'(x)=a1na；

(6)若/(x)=e*，则/'(力=短；

⑺若"x)=」og4x,则/《)=；；

xlna

⑻若〃x)=lnx,则/(尤)=、.

6、导数运算法则：

(1)[/(x)±g(x)]'=/(x)±g1x)；

(2)[/(x>g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

(扉喟[=3在簪3(g(加。).

I_g⑴」]g(x)」

7、对于两个函数>=/(〃)和〃=g(x),若通过变量〃，y可以表示成x的函数，则称这

个函数为函数y=/(〃)和w=/(x)的复合函数，记作y=/(g(x)).

复合函数y=/(g(x))的导数与函数y=/(〃)，〃=g(x)的导数间的关系是

Z=工U.

♦⑴在某个区间(。力)内，若尸(x)>0,则函数y=/(x)在这个区间内单调递增；

⑵若尸(x)<0,则函数)，=/(x)在这个区间内单调递减.

注：如果函数y=/(无)在区间/内恒有f'(x)=O,则y=/(x)为常数.

注：①/(x)>0是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y=21在(-8,+8)上并不

是都有f(x)>(),有一个点例外即x=0时/(x)=0,同样/(X)Y0是/(x)递减的充分非

必要条件.

②一般地，如果/(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么

/(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.

9、点a称为函数y=/(x)的极小值点，/(a)称为函数y=/(x)的极小值：点Z?称为函

数y=/(x)的极大值点,/伍)称为函数y=/(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为

极值点，极大值和极小值统称为极值.

10、求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程:(x)=0.当r(x0)=O时：

⑴如果在与附近的左侧广(x)>0,右侧广(x)<0,那么/(%)是极大值；

⑵如果在飞附近的左侧;(x)<0,右侧;(x)〉0,那么/(%)是极小值.

11、求函数y=/(x)在建,可上的最大值与最小值的步骤是:

⑴求函数y=/(x)在(a⑼内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(“)，/修)比较，其中最大的一个是最

大值，最小的一个是最小值.

4)导数在实际问题中的应用：最优化问题。

54.高考实战演练：

1.［2011•江西卷］若/(x)=x2—2x—41nx,则(x)>0的解集为

2.［2011.江西卷］若犬x)=x2-2x—41nx,问该函数的单调递增区间为

342011.江西卷］曲线y=e'在点A(0,l)处的切线斜率为

4.［2011.重庆卷］曲线y=-f+3f在点(1,2)处的切线方程为

5.［2011•福建卷］若a>0,b>0,且函数段)=4d—af—2bx+2在x=l处有极值，则而的最

大值等于____________

6.［2011・广东卷］函数式x)=/一3x?+l在欠=处取得极小值

7.［2011•江西卷］设兀0=£.?+机x^+nx.如果g(x)=f(x)—2x—3在x=-2

处取得最小值-5,求大x)的解析式；

8.(08江苏)设直线y=：x+b是曲线y=lnx(x〉0)的一条切线，则实数b=

9.(09江苏)函数-15/-33X+6的单调减区间为.

10.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y=x3-10%+3上，且在第二象限内，已

知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.

x

11.(10年全国理)曲线y=-7在点(-1,-D处的切线方程为()

x+2

12.［2011•江西卷］设段)=一1?+52+20工

(1)若f(x)在《，+8)上存在单调递增区间，求a的取值范围；

13.Q011.重庆卷］设式》)=2/+0?+版+1的导数为f(x),若函数y=/'(x)的图象关于直

线x=—3对称，且/''(1)=0.

(1)求实数。，匕的值；

(2)求函数式x)的极值.

暑期辅导训练(4)

一、考试内容：

1、角的概念的推广.弧度制.

2、任意角的三角函数.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的

正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

3、正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(m+°)的图像.正切函

数的图像和性质.

4、正弦定理.余弦定理.及其应用。

二、考试要求：

1、理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.

2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、

余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期.

3、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

4、能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.并能够解决与

向量的综合题型，这是近几年高考热点。

5、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦

函数和函数y=Asin(如+夕)的简图，理解A.3、的意义.

6、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用。

7、“同角三角函数基本关系式：sin2a+cos2a=1,tana=S'nQf

cosa

三、基础知识：

'正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角：不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a

为第几象限角.

第一象限角的集合为{a卜360"<a<%•3600+90°«wz}

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为{a|h360+180°<a（左-360°+270°,Aez}

第四象限角的集合为｛a攸•360,+2700<a<k-360+360°,Aez｝

终边在x轴上的角的集合为｛a卜=h1800#eZ｝

终边在y轴上的角的集合为｛a|a=hl80°+90°,AeZ）

终边在坐标轴上的角的集合为｛a|a=kg。",％wZ｝

3、与角a终边相同的角的集合为｛/7忸=k-W+a,kez｝

4、任意角和弧度制

⑴1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角

⑵弧度数公式：\a\=-

⑶角度制与弧度制的互化：

万弧度=180°,r=2弧度，1弧度=（图）°=57°181

1807t

⑷弧长公式：（注意灵活运用，高考曾经出现过）

扇形面积公式：5=—\aIR2=—Rl.

22

5.三角函数定义：

⑴设。是一•个任意角，终边与单位圆交于点P（毛。，

那么y叫作。的正弦，记作sina；

x叫作a的余弦,记作cosa；

上叫作a的正切，记作tana.

X

⑵角a中边上任意一点尸为（x,y）,设IOPI=r,贝IJ：

丫尤v

sina=—,cosa=二，tana=—.

rrx

三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦.

6.三角函数线：

正弦线：朗°；余弦线：0M；正切线：AT.

7.诱导公式：

、角