新高考数学二轮复习 数列重难点提升专题09 数列不等式的证明与求解参数（原卷版）

专题09数列不等式的证明与求解参数◆题型一:数列不等式的证明方法解密:对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.【经典例题1】已知等比数列SKIPIF1<0为递增数列，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【经典例题2】已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【经典例题3】已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列．(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型.【经典例题4】等差数列SKIPIF1<0前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求n的最小值．【练习1】等差数列SKIPIF1<0中，前三项分别为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(3)证明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0【练习2】已知数列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求数列{SKIPIF1<0}的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.证明：SKIPIF1<0【练习3】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；(2)对任意的正整数n，有SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【练习4】已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0是等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.◆题型二:数列不等式求解参数方法解密:对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,数列单调递增.SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,数列单调递减.含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.(1)SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0下面看一下有关恒成立问题的例题:【经典例题1】已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对于任意SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_______．【经典例题2】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．若对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则正整数SKIPIF1<0的最小值为______．分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:【经典例题3】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，则实数k的取值范围是______．【经典例题4】已知数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【练习1】设SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，则m的最小值为___．【练习2】已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围.【练习3】已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【练习4】设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【过关检测】1.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的最小值，若不存在，说明理由.2.已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．(1)求数列SKIPIF1<0的公比q和通项SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，求满足SKIPIF1<0的n的最大值．3.记SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；(2)求使SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值.4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．(1)求an、Sn；(2)若数列SKIPIF1<0的前n项和Tn，求满足SKIPIF1<0的最小正整数n．5.已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)记SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是等比数列；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.6.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.①数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列；②数列SKIPIF1<0是递增的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0.7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且SKIPIF1<0.（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得SKIPIF1<0？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.8.已知正项等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0前n项和SKIPIF1<0，求使得不等式SKIPIF1<0成立的n的最小值.9.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的最小值，若不存在，说明理由.10.已知等差数列SKIPIF1<0公差不为零，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0各项均为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0