高三数学黄金考点汇编14解三角形理（含解析）

考点14解三角形（理）

【考点分类】

热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长

1.12014高考广东卷理第12题】在AABC中，角A、8、C所对应的边分别为a、b、c,

已知。cosC+ccosB=2b,则3=____.

h

【答案】（-in22）

【解析】

试题分析：设切点尸（&切，则由辔—=-2,e"a=2.a=-ln2.d=e's=2）所以

点尸的坐标是（-In2,2）.

2.【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC的面积是J,AB=1,BC=V2,则AC=（）

A.5B.V5C.2D.1

【答案】B

【解析】由面积公式得：：xJIsin8=W，解得sinB=W=，所以8=45=或8=135：,当5=45：时，

由余弦定理得；HC：=1+2-2J5COS45、1,所以又因为AB=LBC=JL所以此时为

等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以5二E由全工定理得：HC'=l+2-20cosl35：=S,

所以=故选3.

【考点】本小题主要考查余弦定理及三角形幼面积公式，考查解二角形的基础知识.

3.12014四川高考理第13题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别

为67°,30°,此时气球的高是46加，则河流的宽度BC约等于加.（用四舍五入法将

结果精确到个位.参考数据：sin670-0.92,cos670=0.39,sin370=0.60,cos37°=0.80,

△=1.73)

【答案】60

【解析】

46Ss1

试题分析：AC=92,.4B=-t;.BC=--；.-60.

cos6-uin30'sir37-sin30'

【考点】解三角形.,

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)】在A48C中，。=3'=5,sinA=L

3

则sin8=()

(A)-(B)—(D)1

593

【答案】B

【解析】由正弦定理，得$亩5=姆巴1=-3选B.

a39

5.【2013年普通高等学校统一考试天津卷】在a'中，48c=^,AB=V?,BC=3,则

4

./n\/A\V103\ZT0z\V5

sinZBAC=()(A)-----(B)-----(C)-------n(D)——

105105

【答案】C

【解析】因为乙430=}-4B=g.3(?=3,所以由余'处理得：JC:=2+9-2X3><72-COS45S

=5,即HC=JL由正弦定理得：W7T-一：-----审用sinz3_4C=雪，故选C.

sin4^sinz5JC10

6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)】在AA3C,内角A,8,C所对的边长

分别为a,Z?,c.asin8cosc+csin8cosA=,"且。则N8=()

【答案】A

【解析】由正弦定理可得:

a=2Rsin_1c=2,RsinC;b=2Rsin二由asinS，.'resin3cosH=三,可得：

sinAcosC-sinCcosA=:§P：sin（.Jcj=sin5=—.又a>瓦故-5=在，故选A.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】在锐角中AABC,角4,8所对的边

长分别为a,0.若2asin8=回，则角A等于（）

7T7T7t7T

A.—B.—C.—D.—

12643

【答案】D

G

【解析】因为2asin8=®,所以丝0=2,所以sinA=①，所以A=^.

ba23

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】如图，在AABC中，已知点。在BC边

上，ADLAC,sinABAC=^^,AB=3y/2,AD=3,则8。的长为.

3

［答案］出

［解析］设ABAD=6则sinZBAC=sin©+90：）=co<F,二cos9==,在AABD中应用余

3

i3d「

弦定理得：cos8=*=---------------欲BD=5

32*372*'

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）】已知AABC的内角A、B、C所对应边

分别为a、b、c,若3a2+2帅+3/_3。2=0,则角C的大小是（结果用反

三角函数值表示）.

【答案】^-arccos-

3

2］J

【解析】3。~+2。。+3尸-3ci23-Qc2=a2+b~+—ab,故cosC=—,C—7T-arccos—.

333

10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】ZVLBC中，NC=90"，”是6C的

中点，若sinNBAM=-,则sinNBAC=________.

3

【答案】赵

【解析】此题画出图形，结合已知条件利用正余弦定理叼锐角的二电函数

的定义构造出方程然后求解.如图5所示，设

CM-MB-x.AC=yAM=Jx*+y*.AB="x，+]',由已知

,-----；-------入尸

得到cosNAL/=VI-sin2N&L"=+t二RB中,

3

由余弦定理得到:

11.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】

设AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,(a+b+c)(a-h+c)=ac.

(I)求B；

J3-I

(II)若sinAsinC=--------,求C.

4

【答案】(I)因为(a+5+c)(a~b+c)—etc»所以cT+c*—b"——etc.

由余弦定理得cosB=因亡5=12「二

lac2

(II)由(I)知＜+C=60,,巴以ej・C)=cos-4cosC+sinJsinC

=cosAcosC-sinJsinC+2sin-d1：C=cos(-4+L)4-2sin-4sinC

=±+2x±一=义，故月一。二30、或工一。二一301因此。=15、或。=45"

242

12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)】

在AABC中，斫3,b=2瓜,/斤2/4

(I)求cos力的值,

(II)求c的值.

[答案]⑴由正弦定理，，一=」一,因为k3,瓜,/斤24,

sinAsin8

E、I32A/62A/6〃〃汨.V6

所以一:---=------=—；---------,解得cosA=——・

sinAsin2A2sinAcosA3

⑵由⑴知,cos.^=9所以sin」=Jl-a=.

又因为N后2N4所以cos3=2co『M-1=

------------9/T

所以sin3=Jl—sin-3二=二.

在aiBC中，sinC=sinIH*3I=sinJcosB4-cosJsin5=

9

asinC

所以c=

sinA

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）】在A48C中，角A,民。的对边分别

A_B

为a,b,c,且2cos2---cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)

———3

5.

(I)求cosA的值；

(H)若。=4后，b=5,求向量而在前方向上的投影.

-B3

解：(I)S2cos'^—^cosPsin(-4-5；sin5+cos(-4+C)=-,得

—一

c

[cos(-4-5)4-1]cos5-sin^4-5)sin5-cos8=-。，

即cos(X—B)cos3—sinQd-3北沁£二一二

5

rr

贝ijcos(--l-5+5)=——,cosA=-J.................5分

55

3,4

(II)山cosA二——，OCACTT,得sinA=—,

55

,—j由十ab「匚”._hsinAy/2

由正弦理，有二---=-----，所以sin8=---------=——，

sinAsin8a2

TT

由题知a>b,则A>5,故5=一.

4

根据余弦定理，有(4扬2=52+c2-2x5cx(—|),

解得c=l或c=-7(舍去).

故向量—3A■在——3。方向上的投影为|一BA|cos8=J

14.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，旅客从某旅游区的景点4处下山至C

处有两种

路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.

现有甲、

乙两位游客从4处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min,在甲出发2min后，乙从A

乘缆车到B,

在5处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,

山路AC长

123

1260m,经测量，cosA=—，cosC=—.

135个

(1)求索道48的长；7

(2)问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？c/^

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

々54

解：(1)在'中，,.,cos,d=—cosC=—,sii.1=—,cosC=—,

135135

5312463

从而sin5=sin[^-(J+C)]=sin(J-C)=sinicosC+cosJsinC=—x-Hx—=—.

13513565

由正弦定理二匕=±，得.四=二'一xsint=野x二=1040,所以索道的长为1040(m).

sinCsin5sin50'

，*

(?.

(2)假设乙出发r分钟后，甲、乙两游客距,二，」，此时，甲，二走了(100+50r)小乙距离H处

由余弦定理得d：=(100+50。：+(13。£、-2x130*«100+5。=200(37/：-70r+50),

10403A

"/0<r<—,即0W8,故当『=三，：必)时，巴乙两游客距离最短.

130

(3)由正弦定理，—BCAC,得5。-±4乂C良^:1=P斗60乂二<=50(m),乙从8出发时，甲走了

sinAsin5sin^。，13

65

50x(2+8+1)=550(m),还需要走71J(m)才能到达C,

设乙步行的速度为vm/min,由题意，a-3M<d00i7;'-C<3,解得］上”0二£丫6,”上，

5u4314

为使两游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在［亲,号6”］(单位：m/min)

范围内.

15.【2013年普通高等学校招生全国统•考试(山东卷)】

7

设A46C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S.a+c=6,h=2,cos8=§.

(I)求a,c的值；

(H)求sin(A-B)的值.

解：3)因为cos5=a-+「-”=一,

2ac9

所以s-1一二

lac9

分别代入a+c=6：5=2得=9：解得&=c=3.

.....D7/B.,472

(II)由cosB=—得sin3=-----

99

因为‘一=工：所以Siuzl=士在eCOSJ=-s

sinJsinB33

所以siniJ-Bl=sinAcos5-cosHsin5=义—H'=1。".

393927

16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)】

在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-JJsinA)cos8=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=l,求。的取值范围.

解：(1)

,/-cosQ+3)+(cosH-/sina)cosB-0..'.sin1sin5-^3sinJcos5=0:

/.sinJ(sinB-抬cos5)=0,sin5-拒cos5=。即2sin(B-y)=0,.',B==.

此类求三角形的内角的问题在解法上既可以直接化简求值」可以运用正余弦定理化边为角，或化角为边,

注意角的取值范围.

(2)在三角形ABC中有余弦定理得

zz:

b=a+c-2accos[=(a+c)：-3ac>(a+c2,)'=(.二52bva+c=W5VL

用余弦定理和均值不等式是解决该类间三点用的解汰，但是不能忽略题设条件下边长b固有的范围.

17.【2013年全国高考新课标(I)]

如图，在AABC中，NABC=90°,AB=^3,BC=1,P为AABC内一点，NBPC=90°.

(1)若PB=1,求PA；

⑵若NAPB=150°,求tan/PBA.

解：(1)因为外=上所以尸=6°：,所以/尸氏4三°：,由余弦定理得:

PA=BA"~2PB•BA•cos=•：—；

(2)设N产氏T=a,由已知得产8=sine上二弦定理得-华-=—吧？一，化蔺得

sinl，0"sin(30'-a)

•VJcoscz=4sin<z,故tana=

4

【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即

可.

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这

是解题的难点，应引起注意.

(3)已知三边，解三角形，利用余弦定理；

(4)已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；

【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果。

如：在ZXABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程--+2=0的两个根,且2cos(4+8)=1。

求：（D角C的度数；（2）AB的长度。

【解析｝（1）cosC=cos[;r-（A+B）]=-cos（A+8）=-；/.C=120°

fa+h=2ypi

（2）由题设：|ah=2

AB2=AC2+BC2-2AC•BCcosC=a2+h2-2aZ?cosl20°

=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2百)—2=10

AB=4W

【易错点睛】已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨

论该角，这是解题的难点，应引起注意.

如：在△ABC中，a=2后，b=2五,B=45°,则A等于（）

A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°

【解析】由正弦定理，可得2叵=2^,解得sinA=@；

sinAsin4502

•.•。=2百>6=2&,.•.4>2=生，所以A=60°或120°,故选C.

------------------4

热点二、利用正余弦定理判断三角形形状

1.12014全国1高考理第16题】已知“也c分别为A48c三个内角A,民。的对边，a=2,

且(2+b\smA-sinB)=(c—?sinC,则AASC面积的最大值为一

【答案】下

【解析】

试题分析।由々=3且12+bQna-s&i8)=(c-6)sinC,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,又根

据正弦定理，得(@+1?)(々-6)=9-埃，代商得，b:+'a,=be,故cosA=^~~—=^,所以

2be-

A=60：,

又b：+c’-6c=42be,故S3n=：bcsinA.

【考点】1、正弦定理和余弦定理；2、三用形的面积公式.

2.12014高考安徽卷第16题】(本小题满分12分)设48c的内角A,B,C所对边的长分别

是a,仇c,且b=3,c=1,A=2B.

(1)求a的值；

(2)求sin(A+?)的值.

【答案】(Da=:/；(2)

6

【解析】

试题分析：(1)根据H=25,则有sina-sin2B-1:sin?-os3,再由正、余弦定理

a=2b“一_1一,二,可以求得f=12..=25/3.(：公求弦定理可以求出

lac

b2^c2-a29+1-121rc元,所以einH=-71-cos:A=Jl-g=

cosA=----------=----------=一一.n(j0v一"

2bc63

穴^2y/2.Jl［、正"0

故sin(J+—)=sinAcos—+cosJsin—=---x--------Fi——)X-------=---------------.

44432326

试题解析：（1）因为一T=25,所以sina=sin25=2sm3cos6,由正、余弦定理得

1?j

a=1b尸+：------.因为方=3.c=l.所以〃=12.t?=2>/3.

（2）由余弦定理得（:。5*=匕±二：上=0^=-！.由于0<4<刀，所以

sinJ=Jl-cos'a1------?>：.式-4+-)--3nJcos—+cosJsin二

934

考点：L正、余弦定理；2.三角函数恒等变形.

TT

3.【2014高考北京理第15题】如图，在AA8C中，ZB=-,AB=8,点。在8C边上，且

CD=2,cosZADC=—.

7

(1)求sinNBA。；

(2)求BD,AC的长.

【答案】（1）----;（2）?.

t解析】

试题分析：⑴由条件，根据sin，a+cos，a'..diZ.-WC,亏由两个角的差的正弦公式求sin-BJD；

（2）根据正弦定理求出再由余弦定理求HC.

14、冷

试题解析：(1)在AJDC中，因为cosNHZ)C==,所以sin乙〃)C=三,

//

所以sin^BAD-sin(z-TDC-zP)=sinZ'DCcosNE-cos乙TDCsin33

47311-,G3/

----------X---=a

727214

.,g义更

（2）在A.4BD中，由正弦定理&BD==一=3，

2.”DB4、6

在AJ3C中由余弦定理得HC?=AB:+F^--1ABSC-cosB

,1

-o*+5*-Ix8x5x=49,

->

所以XC=7.

考点：同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】设AABC的内角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,若。cosC+ccos3=〃sinA,则AABC的形状为（）

【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形A8CO中，AD=1,CD=2,AC=@.

⑴求cosNCAO的值；

⑵若cosABAD,sinNCBA=-，求BC的长.

146

ii

图5

【答案】⑴cosNGID=或（2）3

【解析】

试题分析:□题目已知三角形ACD的三条•,2利用3余弦定理即可得到该角的余弦值.

亡，利用工间得到的的余弦结合正余旷之..力关系即可声尢该角的正弦值，再利用正余弦之间的关系

即可得到而4CAD与^BAD之差即为则利用正在的和差角公式即可得至!（角Z-BAC的正

弦值,再利用三角形.括。的正弦定理即可求的3C边长.

试题解析」D由ADJC关于Z.CAD的余弦定理可得

COSZ-CJZ)=

IAD»AC

a因为-RdZ）为四边形内角，所以sinN「富。>0巳,inz_c>0贝J由正余弦的关系可得

sinZLBAD=Jl—cos'乙BaD=NsinZ.CAD--Jl—cos'Z.C.4D=.再由正弦的和差角公式

147,

可得sin乙BaC=sin(二BAD-^CADI=sinZr*./.oszClD-sin^LCADCOS^BAD

3日2#6W3073>/3...5/ST号…中-r/m

=、一X二J—2-X|-2_|='-」一=工：用由AdF"的正弦定理可得

1477(14•7141

AC

sinzCBJ

【考点定位】三角形正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式

【方法规律】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

1.利用正、余弦定理把己知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系,

从而判断三角形的形状；

2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形,

得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用4+6+C=n这个结论.

【解题技巧】熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中

的运用

如：在A48C中，已知Y=/+02+bc,则角A为（)

,兀、兀兀一、2〃

A.—B.—I).—或——

3633

【解析｝考虑余弦定理的公式特点，贝山•••/=/+。2+牡，.•./+，一。2=_灰,

bc124

cos」+j-一，又0<A<»，A=—，故选C.

2bc2bc23

【易错点睛】在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时，在化筒过程中，耍保证等价

变形，一定不要漏解。如:

⑴新课标A版第10页，第B2题(例题)在AASC中，如果有性质acosA=/?cosB,试

问这个三角形的形状具有什么特点.

【解析】法一：利用正弦定理及QCOSA=bcosB,得sinAcosA=sinBcosB,即

sin2A=sin2B;

•••0<A,8<〃，.•.2A=2B或2A+2B=〃，即A=B或4+B=工，所以三角形是等腰三角

-------------------------2

形或白:角三角形.

法二：利用余弦定理及acosA=bcos3,得。•幺士——=——,化简得

2bclac

(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)^0,则。=、或Y+/=c?,即三角形是等腰三角形或直角三

角形.

热点三、利用正余弦定理求三角形面积

1.【2014高考福建卷第12题】在AA8C中，A=60。,AC=4,8。=,则的面积

等于.

【答案】2G

【解析】

试题分析：由正弦定理可得$；"d=1..'.B-.所以X-i.BC的面积等于2^3.

考点：1.正弦定理.2.三角形的面.

2.12014江西高考理第4题】在AABC中，内角A,B,C所对应的边分别为”,Ac,,若

2=仅一切2+6,。=9，则4/18。的面积()

r3百

A.3C.-------D.3百

2

【答案】c

t解析】

zzz

试题分析：因为c：=(a-W：+6,C=I所以由余弦声N3：C=a+b-labcos^,即

-2ab+6=-ab;ab=6,因此、18c的H为士a5sinC=3><立=卫.选C.

2">"

考点：余弦定理

3.【2014重庆高考理第10题】

已知A48C的内角A,B,C满足sin24+sin(A-8+C)=sin(C—A-3)+g,面积S满足

1<S<2,记仇c分别为A,8,C所对的边，则下列不等式一定成立的是()

A.bc(Z?+c)>8B.ac(a+/?)>16后C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】A

【解析】

试题分析：由题设得：sin2J-sinl^r-25)=sin(2C-;TI-=>sin2J*sin2B*sin2C=—

nsinI2z-\2B+2CIj-sin2B-sin2C=」=sin2BsinIC-sin1254-2CI=—

\\2\

、，、1,1

=sin2511-cos2Cl+sin2CIl-cos2B):二^>4sin5sir:Isin5cosC+cos5sinCl=—

\\2\、

sin-4sin5sinC=—.......................…(1)

8

由三角形面积公式s=1々SsinC及正芯定理得：.=—AnAsin5sinC

*>)

所以/?2=4s,乂因为所以4<R2<8,

/7+「。+「

所以Z?c(/?+c)=abcx------=8/??sinAsinBsinCx------->R，恒成立，所以bc(b+c)>8

aa

故选A.

考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.

4.12014天津高考理第12题】在DA6C中，内角4,6,C所对的边分别是〃力,c,已知

b-c=—a2sinB=3sinC,则cosA的值为_______.

4f

t答案】-L.

4

【解析】因为：2sin3=3sinC..,,2^,=3c.「.3=三仁代入6—c=」a得a=2c,由余弦定理得

24

,d:-c:-a:1

cosA=----------------=——.

2bc4

【考点】1.正弦定理；2.余弦定理LJ推论.

5.【2014高考上海理科第21题】如图，某公司要在4、8两地连线上的定点C处建造广告

牌C。，其中。为顶端，4C长35米，长80米，设4、8在同一水平面上，从A和B

看。的仰角分别为丽

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求a221，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后.CO与铅垂方向有偏差，现在实测得a=38.12°,£=18.45°,求CZ）的长

（结果精确到0.01米）？

【答案】⑴|CD|*28.28米；（2）|3）卜26.93米.

【解析】

试题分析：这属于解三角形问题，条件a22与可转化为tar.，2tan2与，SPtana>-,而

1-tan-/5

tan&tan尸可用8的长表示出来，从而得〜弋；仁必的不等工解之可得所求结论，⑵根据已知条件,

要求CD的长，可在7CD或ABCD中耳信，由此巴求得.⑷<3D的长，然后利用余弦定理，求得CD,

而一切或两边要JU3Z）中，可用正弦定理求得.

试题解析：（1）由题得，a>l（3,且0v2尸Sav：F，:tana2tan2尸

|££|

即！—也一，解得，\c^\<10yT，二|CD|V28.28米

35|CZ)|'

1-6400

(2)由题得，Z,4P5=180s-"o.l2!-18.^cs=123.43s,

35+80_|.切|

二|一北，143.61米

sinl23.43：sinlS.45;

.­|CD|：=35:+|.4Z）|：-2-35.|jP；cos38J1,|3卜26.93米

【考点】三角函数的应用，解三角形.

6.【2014高考浙江理第18题】在A48c中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

aWb,c,cos24-cos?B=GsinAcosA-GsinBcosB.

（I）求角C的大小；

4—

（II）若sinA=-,求AA8C的面积.

5

【答案】（I）c=~；（IDs=

325

【解析】

试题分析：（I）求角C的大小，由已知LJUH-CT8=#jinAcosA-sinBcosB,，可利用降幕公

式进行降幕，及倍角公式变形得比亚:一1+1一$=丈sin2A-立sin23，移项整理，

—sin2J--cos2A=—sin2B--cos2"J；%相和与差的三角函数关系，得

sinQa-=）=sin（28-1）,可得H+3=4,从而可得（H）求AJBC的面积，由已知,=道，

66JJ

4丁§1

sinJ=-,且。=二，可由正弦定理零工a=-.可由S=・・acsin3求面积，故求出sinB即可，由

5352

47T

sinA=-,C=二，故由sin3=sin（'a+Cj即可求出sin8,从而得面积.

53

、-…l/八,皿〜口14-cos2Al+cos2B<3.…J3.…

试就解析：（I）由就总侍，-----------------------------——sin2A-------sin28>即nn

2222

—sin2?l--cos2/l=—sin25--cos25

2222

jrIT

sin(2A一一)=sin(2B一一),由"w"得，AwB,又A+8w(0,7r),得

66

2A--+2B--=7T,即4+8=?,所以C=工；

6633

(II)由c="x/§',sin.1=—,—--=---得4=§，由av，，得从而cosH=±,故

5sinAsi.C55

4+'

sin8=sin修+Cj=sinJcosC+cosHFC=---「所以AX3C的面积为

10

<1._S>/3+18

S=—acsinB=-------.

225

试题点评：本题主要考查诱导公式，两角和W差的三伊卫数公式•二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三

角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力.

7.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标II数学卷】

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

(I)求B；

(II)若b=2,求aABC面积的最大值.

解：(I)因为a=bcosC+csinB>所以由正弦定理得：sinA=s5"[cosC+sinCsinB,所以

丁

sin(B-HZ)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsi*'3,因为「〃£工0,所以tan8=1,解得B二二；

4

(0)由余弦定理得；bz=az+cz-laccos即4=rJ-c：-J5ac,由不等式得：a：+c：22ac,

当且仅当a=c时，取等号，所以42(2-解得所以△ABC的面积为

:acsin：Wx(4+2W)=J5"+L所以aAi〜面积的最大值为W+l.

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】

在△48C中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cos(8+C)=l.

(I)求角4的大小；

(H)若△ABC的面积S=56,b=5,求sinBsinC的值.

解：(I)由cos2A—3cos(8+C)=l,得2cos?A+3cosA-2=0,

BP(2cosA-l)(cosA+2)=0,解得cosA=；或cosA=-2(舍去.

因为0<4<兀，所以A=工.

3

（II）由S=^bcsinA===5括，得bc=20.乂。=5,知c=4.

2224

由余弦定理得/=/+C2-2ACOSA=25+16-20=21,故。二⑨.

又由正弦定理得sin8sinC=—sinA—sin/^=^|-sin2A=—x-=—.

aaa22147

【方法规律】常用三角形的面积公式

①S=-ah

2

②S=-absinC=-besmA=—acsinB

~222

,o-L-「

③S=7Pp—ap—bp—c=2•r（2是周长的一半,即,=二~^---,r为内切

圆半径）；

④5=爷（"为外接圆半径）.

【解题技巧】在解三角形问题时.，要注意正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合使用.

如：【浙江省“六市六校”联盟2014届高考模拟考试】在AABC中，内角4,8,C的对边分别

为a,b,c,K2acosA=/?cosC+ccosB.

（1）求角A的大小；

（2）若”=6,b+c=8,求AABC的面积.

解析：（1）日2a8s月=6cosC-ccosF二宗反定二二女正员工.名可缉cosM....4分

所以X……6分

?Q

（2）由余弦定理乐=4+二一2必Ub-+c--\、：.又计尸S,所以加=,……10分

由三角形面积公式$=聂加』得△x5Ct三伙为芈....1

考点：1、正弦定理；2、两角和的三户口数；3、代正定理.

【易错点睛】在利用面积公式解三角形时.，要注意不要漏解.如：

已知AABC的面积为之，且b=2,c=JJ,则/A等于（）

2

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

11qA7

【解析】由三角形的面积公式S=—AsinA,得一x2xgsinA=—,