新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题14 圆锥曲线中的证明问题（原卷版）

专题14圆锥曲线中的证明问题一、考情分析圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现,主要有两大类：一是证明点线位置关系,如直线或曲线过某个点、直线平行与垂直、直线对称等问题,二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系,如相等与不相等.二、解题秘籍(一)证明直线或圆过定点证明直线过定点,通常是设出直线方程SKIPIF1<0,由已知条件确定SKIPIF1<0的关系.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则直线过定点SKIPIF1<0,证明圆过定点,常见题型是证明以AB为直径的圆过定点P,只需证明SKIPIF1<0.【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期质量检测）已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：SKIPIF1<0与椭圆C交于异于点B的两点P,Q,直线BP,BQ与x轴相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,求证：直线SKIPIF1<0过一定点,并求出定点坐标．【解析】（1）∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．故椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）联立直线和椭圆可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,于是有：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．由题意BP：SKIPIF1<0,BQ：SKIPIF1<0,分别和SKIPIF1<0联立得,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时,直线SKIPIF1<0过点B,与题意矛盾,应舍去.故直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0,过定点为SKIPIF1<0．【例2】（2023届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,已知点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,点M到l的距离为d,若点M满足SKIPIF1<0,记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率不为0的直线与C交于P,Q两点,设SKIPIF1<0,证明：以P,Q为直径的圆经过点A．【解析】（1）设点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,两边平方整理得SKIPIF1<0,则所求曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立方程SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于两点,故SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即以P,Q为直径的圆经过点A.(二)证明与斜率有关的定值问题证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题,此类问题通常是把斜率之和或斜率之积用点的坐标表示,再通过化简使结果为定值,此外证明垂直问题可转化为斜率之积为SKIPIF1<0,证明两直线关于直线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0对称,可转化为证明斜率之和为0.【例3】（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,面积为SKIPIF1<0的正方形ABCD的顶点都在SKIPIF1<0上.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)已知P为椭圆SKIPIF1<0上一点,过点P作SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）根据对称性,不妨设正方形的一个顶点为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0.①又SKIPIF1<0,②由①②解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故所求椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）由已知及（1）可得SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.设过点P与SKIPIF1<0相切的直线l的方程为SKIPIF1<0,与SKIPIF1<0联立消去y整理可得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,整理可得SKIPIF1<0,③根据题意SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为方程③的两个不等实根,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.【例4】（2023届天津市第四十七中学高三上学期测试）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点和上顶点均在直线SKIPIF1<0上.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)已知点SKIPIF1<0,若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）对于直线SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以椭圆方程为SKIPIF1<0,（2）因为SKIPIF1<0在椭圆外,过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于不同的两点,所以直线SKIPIF1<0的斜率一定存在,所以设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(三)证明与线段长度有关的等式证明与线段长度有关的等式问题,一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式,再借助根与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等.【例5】（2023届江苏省高三上学期起航调研）在平面直角坐标系xOy中,抛物线SKIPIF1<0．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为C上两点,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别在第一、四象限．直线SKIPIF1<0与x正半轴交于SKIPIF1<0,与y负半轴交于SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0横坐标的取值范围；(2)记SKIPIF1<0的重心为G,直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0,证明：λ为定值．【解析】（1）设SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0,整理可得,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0横坐标的取值范围SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,化简得,SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0,所以λ为定值．【例6】已知双曲线SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的一个焦点,且点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程.(2)设点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上,过点SKIPIF1<0作两条直线SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点.若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补,证明：SKIPIF1<0.【解析】根据双曲线的对称性,不妨设SKIPIF1<0,其渐近线方程为SKIPIF1<0,因为焦点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离是2.所以SKIPIF1<0,因为双曲线SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0所以,双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）证明：由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率存在,设SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.(四)证明代数式的值为定值或证明与代数式有关的恒等式证明此类问题一般是把代数式用点的坐标表示后化简，或构造方程求解【例7】（2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期检测）椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,过椭圆左焦点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线在第二象限与椭圆相交于点SKIPIF1<0,椭圆的右焦点为SKIPIF1<0,已知SKIPIF1<0,椭圆过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0点,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）依题可知：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0又∵椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．（2）设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意可知,直线SKIPIF1<0的斜率存在,可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由于点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0的内部,直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0必有两个交点,由韦达定理可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．【例8】（2023届广东省揭阳市高三上学期8月调研）已知SKIPIF1<0､SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左､右焦点,点SKIPIF1<0SKIPIF1<0是椭圆上的动点．(1)求SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)设点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内切圆圆心,求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）连接SKIPIF1<0,由三角形重心性质知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的三等分点处（靠近原点）设SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0；（2）根据对称性,不妨设点SKIPIF1<0在第一象限内,易知圆SKIPIF1<0的半径为等于SKIPIF1<0,利用等面积法有：SKIPIF1<0结合椭圆定义：SKIPIF1<0有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两点的坐标可知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0根据圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于半径,有SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0由已知得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．三、跟踪检测1．（2023届湖南省长沙市一中等名校联考联合体高三上学期11月联考）设椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是该椭圆SKIPIF1<0的下顶点和右顶点,且SKIPIF1<0,若该椭圆的离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0下方）,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值.2．（2023届河南省焦作市高三上学期期中）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0的右顶点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最小距离；(2)若经过SKIPIF1<0点的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,证明：当直线SKIPIF1<0的倾斜角任意变化时,总存在实数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0.3．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左、右焦点,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动,且SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0并延长分别交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)证明：SKIPIF1<0为定值.4．（2022届湖北省十堰市丹江口市高三下学期模拟）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0,右焦点为SKIPIF1<0,点P为C上一动点（异于SKIPIF1<0两点）,直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0分别交于M,N两点,当SKIPIF1<0垂直于x轴时,SKIPIF1<0的面积为2．(1)求C的方程；(2)求证：SKIPIF1<0为定值,并求出该定值．5．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期10月联考）记以坐标原点为顶点、SKIPIF1<0为焦点的抛物线为SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点.(1)已知点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0最大时直线SKIPIF1<0的倾斜角；(2)当SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时,若平行SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0,证明：点SKIPIF1<0在定直线上.6．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,以线段SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相切．(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上横坐标为2的点,SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,交曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线于点SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0.7．已知双曲线SKIPIF1<0,双曲线SKIPIF1<0的右焦点为F,圆C的圆心在y轴正半轴上,且经过坐标原点O,圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．(1)当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形,求△OFA的面积；(2)若点A的坐标是SKIPIF1<0,求直线AB的方程；(3)求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．8．（2023届湖北省重点高中智学联盟高三上学期10月联考）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0,与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0）．(1)求点SKIPIF1<0的坐标；(2)直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,证明：SKIPIF1<0．9．（2023届重庆市巴蜀中学校2023届高三上学期月考）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点分别为SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0的长半轴的长等于它的焦距,且过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点（不同于SKIPIF1<0）,直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0,证明：SKIPIF1<0轴.10．已知抛物线C：SKIPIF1<0,其焦点为F,O为坐标原点,直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B,M为AB的中点.(1)若SKIPIF1<0,M的坐标为SKIPIF1<0,求直线l的方程.(2)若直线l过焦点F,AB的垂直平分线交x轴于点N,求证：SKIPIF1<0为定值.11．（2023届河北省邯郸市大名县第一中学高三月考）己知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0,左顶点为SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0．设过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线为SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值．12．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点到