人教A版（2019）必修第二册必杀技第7章素养检测（含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册必杀技第7章素养检测

学校:__________姓名：__________班级：_________—考号：___________

一、单选题

则复数名的虚部是

1.设i为虚数单位，

-1+Z

3/3/-33

A.一B.——C.-D.——

2222

若复数Z满足仔="其中5为复数Z

2.设i为虚数单位，的共规复数，则|z|=

B.V2C.也

A.1D.2

2

4/

3.设复数z满足z=冬，则z在复平面内的对应点位于

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知复数Z满足（l-i）Z=/36（其中i为虚数单位），则W的虚部为（）

11〃1.1.

A.-B.—C.-1D.——i

2222

5.已知复数z=（〃--l)+(«-2)/(aeR),则“a=l”是“z为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

6.下列格式的运算结果为纯虚数的是

D.O1

A.+B.].C.+

/

7.在复平面内，复数3—4i,i（2+i）对应的点分别是A,B,则线段AB的中点C对应的

复数为（）

A.—2+2iB.2-2i

C.—1+iD.1-i

8.已知复数2=机-3+（机-1），（〃蚱2）在复平面内对应的点在第二象限，则斗

C.正D.-

A.V2B.2

22

9.设z=(2/+5/—3)+(/+2f+2)i,其中feR,则以下结论正确的是（）

A.z对应的点在第一象限B.z一定不为纯虚数

C.三对应的点在实轴的下方D.z一定为实数

10.设有下面四个命题

4：若z满足zeC,则z五eR;

P2:若虚数。+初(4eR,beR)是方程V+/+x+1=0的根，则a-4也是方程的根：

P、:已知复数2则zt=z的充要条件是ZReR：

文若复数4>Z2厕4,4eR.其中真命题的个数为

A.1B.2C.3D.4

11.已知Z1与Z2是共轮虚数，有4个命题①Z「<|Z2-；②*2=|斗2];(3)Z1+Z2€/?;(4)

五€R,一定正确的是

Z2

A.①②B.②③C.③④D.①②③

12.已知复数z=(3〃+2i)伍-i)的实部为4,其中。、6为正实数，则加+b的最小值为

c,亚D.建

A.2B.4

33

13.(l+z)(2-/)=

A.-3-zB.—3+iC.3-iD.3+i

14.若z(l+i)=2i,贝ljz=

A.-1—iB.—1+iC.1-iD.1+i

15.已知复数z=2+i,则z・N=

A.y/3B.5/5C.3D.5

_l+2i

16.=

l-2i

A43.43._3_4D--j+l

A-一歹不B.”+qCr-??,

17.下列各式的运算结果为纯虚数的是

A.(1+i)2B.i2(l-i)C.i(l+i)2D.i(l+i)

18.若复数z满足2z+5=3-2i,其中i为虚数单位，则2=

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

19.设有下面四个命题

P,：若复数z满足'eR,则zwR；

z

P2：若复数z满足Z2WR，则zeR;

Pi-若复数z/2满足z—eR,则4=Z；

P4：若复数zwR，则2eR.

试卷第2页，总4页

其中的真命题为

A.P\，P3B.P\,PA

D.〃2，P4

c.p2,p3

20.设z=-3+2i,则在复平面内［对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

21.设z=—；+2i,则1z|=

1+1

A.0B.yC.1D.V2

22.设■壕1=11#演,其中x,y是实数，则|x+M|=

A.1B.y/2C.73D.2

23.设复数z满足|z-i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则

A.(x+1)2+y2=iB.(x-l)2+y2=1C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=l

24.已知aeR,i是虚数单位，若z=a+6i,z-z=4，则”=

A.1或一1B."或C.-上D.上

25.若复数(l-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A.(-co,1)B.(—co,—1)

C.(1,+oo)D.(-1,+00)

二、填空题

26.实部为5,模与复数4-3,•的模相等的复数的个数为.

27.x,y互为共枕复数，且(X+y)2-3xyi=4-6i则可+仅|=.

28.设复数a+bi(a,6GR)的模为J2019,则3+历)(。一5)=

29.已知复数z,且|z|=l,则|z+3+4i|的最小值是.

30.己知复数S+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实数。的值是.

31.已知i是虚数单位，若(1+i)(1-历)=a,则:的值为______.

b

32.设aeR,若复数(l+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则。=.

33.已知复数z=(1+i)(l+2i),其中i是虚数单位，则z的模是

三、解答题

34.已知复数z=(m2-5m+6)+(m-2)i(meR).

(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

35.已知复数Z1=〃?-2i,复数Z2=l-〃i,其中i是虚数单位，加，〃为实数.

(1)若"?=1,n--\,求B+Z2I的值;

(2)若Z1=z；,求机，”的值.

36.已知复数z=(/n-l)(m+2)+(m—l)i(me/?,i为虚数单位)

(1)若z是纯虚数，求实数，"的值；

Z+i

(2)若m=2,设---=a+hi(6f,Z?eR),试求a+力.

z-l

37.已知z=l+i,i为虚数单位.

(1)若0=z2+3乞-4,求同;

(2)若z-+az+〃=j,求实数”，。的值.

z2-z+1

38.(1)已知关于X的实系数方程x?+,nr+〃=O,若1+J元是方程V+/nv+〃=0的一

个复数根，求出加，”的值；

(2)已知zeC,z+3i,云均为实数，且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象

限，求实数〃的取值范围.

39.已知z=-，+曲■.

22

(1)三是z的共甑复数，求的值；

(2)求2T”的值.

四、双空题

40.已知a,bCR,(a+bi>=3+4i(i是虚数单位)则/+从=,ab=.

试卷第4页，总4页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

参考答案

1.D

【详解】

3/3;(-1-;)3-3i=33.

由题意得:-l+i-(-l+i)(-l-j)~2~2~21

，复数春的虚部是

-1+z2

故选D

2.B

【分析】

根据复数的乘法运算得到2=i(l-i)=1+i,再由共规复数的概念得到z=l-i,进而求得模长.

【详解】

由题得5==l+i:.z=l-i;.目==丘，

故选B.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问

题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的

加减乘除运算，复数的模长的计算.

3.A

【分析】

先对复数z进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案.

【详解】

4i4i(l-i)4i+4/、

由题意，z=二二二'、/「.、=1厂=2+2i,故z在复平面内对应点为(2,2),在第一象限,

1+1+2

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题.

4.B

【分析】

答案第1页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

根据题意求出Z=1+!，，即可得到得出虚部.

【详解】

•.•2016=4x504,.•.严|6=/=1...z=__L=1+1i,.•二的虚部为故选:B.

1-z22222

【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.

5.A

【分析】

解出复数z=(a2-l)+(a-2),•为纯虚数〃的取值范围，即可得解.

【详解】

复数z=(〃—i)+(q-2)i为纯虚数，则/_]=(),且“一2¥0,解得a=±l,所以“a=l”

是“z为纯虚数”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确求出复数2=(/-1)+(4-2),•为纯虚数

a的取值范围.

6.C

【详解】

A、z(l+z)2=/(2/)=-2；

B、」_=业@=±；

l-i22

C、(1+/)2=2Z；

D、工刍一

ii

所以纯虚数的是c.故选c.

7.D

【解析】

•；i(2+i)=-l+2i,.•.复数3—4i,i(2+i)对应的点+8的坐标分别为A(3,-4),8(—1,

2)....线段AB的中点C的坐标为(1,-1),则线段48的中点C对应的复数为1—i.故选D.

答案第2页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

8.C

【详解】

分析：由题意得到关于加的不等式组，求解不等式组确定机的范围，然后结合题意即可求

得最终结果.

x-3<0

详解：由题意可得：，>。，即1<加<3且，〃eZ,故〃?=2,

m&Z

则：z=-1+/,由复数的性质H=j=

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.

9.C

【分析】

根据/+2/+2=(/+1)2+1>0,2r+5r-3可正可负也可为0,即可判定.

【详解】

•.•产+2f+2=(f+l)2+l>0,，z不可能为实数，所以D错误；

・•.z对应的点在实轴的上方，又〈z与三对应的点关于实轴对称，I对应的点在实轴的下方,

所以C正确；

-3</<|,2r2+5z-3<0,z对应的点在第二象限，所以A错误；

r=1,2r2+5r-3=0,z可能为纯虚数，所以B错误；

C项正确.

故选：C

【点睛】

此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.

10.C

【详解】

分析：根据复数的基本概念和复数的几何特征，逐一分析，即可得到答案.

答案第3页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

详解：对于R：中若zeC,设z=a+阳a/eR）,贝ij=/+〃6R,所以是正确的；

对于外：中，若虚数4+从（。力eR）是方程的根，则a-沅也一定是方程的一个根，所以是正

确的；

对于。3：中，例如z=i则l=_1,此时zi=l，所以不正确；

对于中，若A>??，则4*2必为实数，所以是正确的，

综上正确命题的个数为三个，故选C.

点睛:本题主要考查了复数的基本概念,其中熟记复数的基本概念和几何特征是解答的关键，

着重考查了分析问题和解答问题的能力.

11.B

【详解】

设4^+阳区北尺府。），则马=a-砥力W0）,那么根据共辗复数性质可知，②③

正确，故选择B.

12.D

【详解】

复数2=（34+2，）仅—。=（3劭+2）+（»-3。的实部为4,所以3而+2=4,劭=：,则

2a+h>242ah=^y-,故选D.

13.D

【分析】

由复数的乘法运算展开即可.

【详解】

解：（l+i）（2-i）=2-i+2i-i2=3+/

故选D.

【点睛】

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

14.D

【分析】

根据复数运算法则求解即可.

答案第4页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【详解】

2i2i(l-i)

z=-----=l+i.故选D.

1+i(l+i)(l-i)

【点睛】

本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养.采取运算法则法，利用方程思想解题.

15.D

【分析】

题先求得之，然后根据复数的乘法运算法则即得.

【详解】

Vz=2+i,z-z=(2+i)(2-i)=5故选D.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，共轨复数的定义等知识，属于基础题“

16.D

【详解】

分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.

,垩1+2i(l+2i)—-3+4/,小、

详解：­/----=------=-----.,.选D.

1-2/55

点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.

17.A

【分析】

利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.

【详解】

由题意，对于A中，复数(l+i>=2，为纯虚数，所以正确；

对于B中，复数=+i不是纯虚数，所以不正确；

对于C中，复数3(1+毋=-2不是纯虚数，所以不正确；

对于D中，复数3(1+，)=-1+1不是纯虚数，所以不正确，故选A.

【点睛】

本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切

实掌握其四则运算技巧和常规思路.其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键,

着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

答案第5页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

18.B

【详解】

试题分析：设z=a+Ai,则2z+2=3a+6i=3-2i,故域=4善=一签，贝ijz=l-2i,选B.

【考点】注意共轨复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，

复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生

必定得分的题目之一.

19.B

【详解】

^z=a+hi(a,beR),则由,=—=与名■《R得匕=。，所以zwR,故Pi正确；

za+bia+h~

当z=i时，因为z?=i?=-leR,而z=i任R知，故P?不正确；

当4=Z2=i时，满足44=-leR,但4仙2,故P3不正确;

对于P」，因为实数的共枕复数是它本身，也属于实数，故P,正确，故选B.

点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共加复数，化简成

z=a+bi(a,beR)的形式进行判断，共加复数只需实部不变，虚部变为原来的相

反数即可.

20.C

【分析】

先求出共规复数再判断结果.

【详解】

由z=-3+2i,得」=-3-2i,则「=-3-2t,对应点(-3,-2)位于第三象限.故选C.

【点睛】

本题考点为共轨复数，为基础题目.

21.C

【详解】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共粗复数，化简复数z,然后求

解复数的模.

答案第6页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

详解一1-i小=哥高+方

=—i+2i=i,

则|z|=l,故选c.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部

的理解，掌握纯虚数、共朝复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实

数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成

不必要的失分.

22.B

【详解】

试题分析：因为(l+i)x=l+yi,所以x+_xi=l+yi,所以x=l,y=x=l,故|%+川=|l+i]=&,故选B.

【考点】复数运算

【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，属得分题.高考中考

查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轨复数、复数的模及复数的乘除运算.

这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误,特别是i2=7中的负号易忽略,所以做复数题

时要注意运算的准确性.

23.C

【分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根据点(x,y)和点

(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.

【详解】

z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,+(y-l)2=1,则xXy-lf=1.故选C.

【点睛】

本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何

法，利用方程思想解题.

24.A

【详解】

由z=a+6i,z.z=4得6?+3=4,所以a=±l,故选A.

答案第7页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【名师点睛】复数砥SwR)的共朝复数是a-历Q旬R),据此结合已知条件，

求得“的方程即可.

25.B

【详解】

,,,、/.,、[a+l<0

试题分析:设z=(l-i)(a+i)=(a+l)+(l—a)i,因为复数对应的点在第二象限，所以J。〉。

解得：«<-1,故选B.

【考点】复数的运算

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条

件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.复数z=a

+历|一”.复平面内的点Z(a,b)(a,ftGR).复数z=“+6i(“，bGR)[平面向量反.

26.1

【分析】

设z=5+初(AeR),根据模长关系建立等式求解即可.

【详解】

依题意设z=5+仇MeR),

则忖=也5+从,rru|4-3;|=742+(-3)2=5.

所以收而'=5,即6=0.所以z=5.故满足题意的复数只有一个.

故答案为：1

【点睛】

此题考查复数概念的辨析和模长的计算，关键在于熟练掌握复数相关概念准确辨析求解.

27.2近

【详解】

设x=a+,则有y=a-bi,a,beR

则x+y=2a,xy=a2+b2

由(x+y)?-3xyz=4-6/得(为『一3(/+^2)i=4-6i

4/=4

由复数相等的意义有｛“2人2\(

31a+b")=6

答案第8页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

解得。2=1,从=1

所以W=J.2+/=41

故W+3=2夜.

本题考查复数的概念

28.2019

【解析】

【分析】

由复数的模长列式得a?+b2=2019,再化简所求式得出答案.

【详解】

解：因为复数a+历的模为行寿

所以Ja?+b2=,2019，BPa2+b2=2019

所以(。+历)(a—6i)=a2+b2=2019

故答案为2019.

【点睛】

本题考查了复数的模长，复数的运算，属于基础题.

29.4

【分析】

方法一：根据绝对值不等式间一步凶。+匕凶。|+|例，求出|z+3+4i|的最小值即可.方法二：利用

复数的几何意义求解即可

【详解】

方法一：；复数z满足|z|=l,

|z+3+4i|>|3+4i|-|z|=5-1=4,

；.|z+3+4i|的最小值是4.

方法二：复数z满足|z|=l,点z表示以原点为圆心、1为半径的圆.

则|z+3+4i|表示z点对应的复数与点(-3,-4)之间的距离，

圆心O到点(-3,-4)之间的距离d=J(-3)2+(Y)2=5,

•Fz+3+4i|的最小值为5-1=4,

故答案为4.

答案第9页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点睛】

本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的儿何意义及运算问题，属基础题.

30.2.

【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得z,然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.

【详解】

•<,(a+2z)(l+i)=a+ai+2z+2z2=a—2+(a+2)i,

令a-2=0得4=2.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能

力.

31.2

【详解】

\+b=afa=2〃

试题分析：由(l+i)(l-从)=l+8+(l-b)i=a,可得(八，、，所以，，，y=2,故答案

1-^=0h=\h

为2.

【考点】复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四

则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(«+bi)(c+di)=(ac—h<J)+(ad+hc)i(a,h,c,cleR),

a+bi(ac+bd)+(be-ad)i,,小井、JH»4.-皿山乂心J人.人皿

——-=----------------L(za,b,c,dwR),.其次要熟悉1n.l复t数的相关基a本概•3念，如复数

c+dic+小

。+〃(“力€/?)的实部为。、虚部为方、模为必存、共朝复数为a-6.

32.-1.

【详解】

试题分析：由题意得(l+i)(a+i)=a-l+("+l»eR=a=T.

【考点】复数运算

【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于

多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的

形式，再将分母实数化.

答案第10页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

33.何

【分析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.

【详解】

解：复数z=(1+z)(l+2i)=1-2+3z=-l+3z,

22

­•.|Z|=5/(-1)+3=Vio.

故答案为

【点睛】

对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(。+沆)(c+力)=

(ac-bd)+｛ad+bc)i(a,b,c,dGR).其次要熟悉复数相关概念，如复数eR)的实部

为。、虚部为匕、模为77寿、对应点为(。，切、共轨复数为a-6.

34.(1)m=3(2)(2,3)

【分析】

(1)由纯虚数的概念列方程组求解即可；

m~—5"?4-6<0

(2)由复数的几何意义得｛、八，解不等式即可得解.

/n-2>0

【详解】

，力一Sx-vtI

(1)因为复数Z为纯虚数，所以｛一c「，

〃?一2Ho

解之得，m=3.

(2)因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以｛"'一5'：+，<°,

m-2>0

2<m<3

解之得｛c,得2Vm<3.

m>2

所以实数〃?的取值范围为(2,3).

【点睛】

本题主要考查了复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.

答案第11页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

r-[/n=0,

35.(1)石(2),

[〃=1.

【分析】

(1)根据题意求出4+Z2=(l-2i)+(l+i)=2-i,即可得到模长；

(2)根据Z1=z；,化简得〃L2i=0-1)_2〃i,列方程组即可求解.

【详解】

(1)当m=1,〃=一1时Z[=l-2i,z2=1+/,

所以Z1+Z2=(l-2i)+(l+，)=2—i,所以k+Z2|=j22+(-l)2=VL

(2)若Z]=z；,则加一2i=(1-应『，

所以加-2i=(l一〃>2%所以.'I二解得｛：：：

【点睛】

此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.

8

36.(1)阳=一2；(2)一

5

【解析】

分析：(I)先把复数整理成z=a+bi的形式，由虚部等于。得到实数m的值；

(II)把复数上匚整理成a+bi的形式，根据复数相等的条件得到a、b的值进而求

Z-1

出a+b.

详解：(I)若z是纯虚数，则I八，，，)

[加一IwO[/n-1^0,

解得m=—2.

(II)若m=2,则z=4+i.

..a+bi==4+2i=(4+2i)(3--)=7+11

4+i-l3+i(3+i)(3-i)55

„,,.4+i+i4+2i(4+2i)(3-i)

4+i-l3+i(3+i)(3-i)

71.

-+-1,

55

答案第12页，总15页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

♦.a=—,b=-・・a+b=-.

5595

点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算.对于复数要掌握常规运算

技巧和常规思路，其次要熟记复数a+初的实部、虚部、模、几何意义、共枕复

数等知识点.

37.(1)同=及;(2)

【分析】

(1)求出z=l+i的共规复数，代入3=Z2+32—4化简，再求网；

(2)根据z：+"z+b=i_j,得到(a+b)+(a+2)j=i+i,列方程组即可求解.

Z-Z+1

【详解】

(1)已知z=l+i,:.z=\-i,

.-.<y=(l+?)2+3(l-/)-4=-l-z,

|o|=5/2.

,6z2+az+h(a+8)+(a+2